2025~2026学年辽宁营口开发区第二高级中学高三下册高考模拟考试数学试题 含答案

/高三数学试卷本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【详解】因为全集，集合，所以，又，所以，故选：A.2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】由题意得，，．3.使“”成立的一个充分不必要条件是（）A.或 B. C. D.【正确答案】B【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断即可.【详解】由得，等价于，解得，要满足题干条件，应判断选项集合是否为题干解集的真子集，因为是的真子集，所以使“”成立的一个充分不必要条件是“”，故选：B.4.设等差数列的前项和为，若，则的公差为（）A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】B【分析】根据已知及等差数列的通项公式列方程求基本量.【详解】设公差为，则，解得.故选：B5.函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】由题意知，，所以，故.令，，则，，所以该函数的对称中心为，，显然只有A符合.6.已知向量，，，，均为实数，且，，则（）A.25 B.16 C.5 D.4【正确答案】C【分析】根据向量垂直和平行列方程，求得，，根据向量坐标运算求得正确答案.【详解】因为，，所以，，得，，所以，故.7.已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.5【正确答案】D【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值．【详解】由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1，过点作直线，垂足为，如图所示，由抛物线定义可知，，所以，当点在同一直线时，可取到最小值，因为点到直线的距离为6，所以，即的最小值为5．8.如图，圆柱的表面积为，AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（）A. B. C. D.【正确答案】B【详解】连接，，，因为四面体ABCD为正四面体，所以，设，在中，，，，在，，，故圆柱的表面积为，解得.故．二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，则新数据与原数据相比（）A.极差相同 B.平均数不同 C.方差不同 D.中位数相同【正确答案】AB【分析】根据极差、平均数、方差、可判断选项ABC；对于选项D举反例即可.【详解】设数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为，新数据为，则新数据的极差为，因此新数据与原数据的极差相同，故A正确；原数据的平均数为，新数据的平均数为，由于，则新数据与原数据的平均数不同，故B正确；原数据的方差为，新数据的方差为，，则新数据与原数据的方差相同，故C错误；不妨设5个数分别为，则原数据的中位数为1，此时平均数，新数据为，则新数据的中位数为2，则新数据与原数据的中位数不同，故D错误.故选：AB10.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（）A. B.C.异面直线与所成的角为 D.【正确答案】AD【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D.【详解】对于A：，故A正确；对于B：因为，所以，所以，即，故B错误；对于C：因为，，所以，所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误；对于D：因为，，所以，所以，即，故D正确.故选：AD11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数且，则下列说法正确的是（）A.函数是偶函数 B.C.的图象关于点对称 D.【正确答案】ACD【分析】对于A，由得进而判断，对于B，由得，又得，即，由得，进而得，令即可判断，对于C，证明即可判断，对于D，先求，由结合即可求解，进而判断.【详解】对于A：由可得，则有，故函数是偶函数，故A正确；对于B：由是偶函数，，即关于对称，故，又，代入得，即，等式两边求导得：①，由等式两边同时求导得：②，由①和②可得：，令得，故B错误；对于C：由有，即③，又由有④，由③和④可得：，即，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D：由，又由，令得，又，则，，，故，故D正确.故选：ACD.三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知，则______.【正确答案】【分析】左右同时平方，利用及二倍角公式即可得答案.【详解】因为，左右同时平方得：，所以，则，所以.故答案为.本题考查同角三角函数的关系，二倍角公式的应用，考查计算化简的能力，属基础题.13.已知，若，且，则m的值为________.【正确答案】【分析】把x凑成x−【详解】因为x=x−m+即x12又因为，对应系数要相等，则又因为且，即，解得.14.设函数，若是的极大值点，则取值范围为________．【正确答案】【分析】求出函数的导数，结合极大值点化简，再按分类讨论求出范围.【详解】函数的定义域为，求导得，由，得，则，当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，因此；当时，，若，则，函数在上单调递增，函数无极值，不符合题意；若，由，得，由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，不符合题意；若，由，得，由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，符合题意，此时，则，所以取值范围为.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知分别是的角所对的边，且.（1）求；（2）若，求的面积.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理对已知式进行边角互化，并根据余弦定理求得，从而得到；（2）由已知条件求出，再根据三角形面积公式求得的面积.【小问1详解】由及正弦定理得，所以，由余弦定理得，因为，所以.【小问2详解】，因为，所以，解得，所以.16.如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，．（1）证明：；（2）求D到平面MOB的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明（2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解【小问1详解】连接PO，BD，如图一所示，，，∵平面平面ABCD，平面平面，平面，平面ABCD，平面ABCD，，又平面PAD，平面PAD，又平面PAD，.【小问2详解】由（1）得,又∵O为AD的中点,，,是正三角形，,.法一：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图一所示的空间直角坐标系，则，，设平面MOB的一个法向量为，则即，取，则，，∴点D到平面MOB的距离，∴点D到平面MOB的距离为.法二：连接MD，设点D到平面MOB的距离为h，，，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的，即，，，，∴点D到平面MOB的距离为.17.已知椭圆的短轴长为2，离心率为．（1）求的方程；（2）直线与有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于点为坐标原点，若的面积为，求．【正确答案】（1）（2）．【分析】（1）由条件列方程求可得结论；（2）分析相切条件并建立参数关系，再利用三角形面积公式得到关于的方程，进而求解参数的值.【小问1详解】由短轴长，得.由，得，解得.所以的方程为【小问2详解】联立，得，整理得.由题意知，，则，化简得.设，由根与系数的关系可知，，即，所以，所以直线的方程为，令，得，令，得.的面积，整理得，解得，故.18.某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为.（1）求随机变量的分布列；（2）设.（ⅰ）用含的式子表示；（ⅱ）证明：是等比数列，并求.【正确答案】（1）分布列见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析【分析】（1）先确定的取值，再根据取球规则计算各取值对应的概率，从而得到分布列.（2）第一问，根据的取值及取球规则，用表示各取值的概率，再代入数学期望公式计算.第二问，先通过构造证明是等比数列，然后求出.【小问1详解】根据题意，的可能取值为.即二次抽卡均抽到普通卡片，，即二次抽卡恰好抽到一普通一稀有卡片，，即二次抽卡均抽到稀有卡片，，所以的分布列为456【小问2详解】（ⅰ）设第次抽卡抽到稀有卡片为事件，则，..（ⅱ）由（ⅰ）及，得，，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即.19.已知，且直线与曲线相切．（1）求；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若的最小值为，证明：方程有唯一的实数根．（其中是自然对数的底数）．【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）设切点，利用导数的几何意义列出方程组求解出函数；（2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，通过求导判断函数单调性进而求出最值.先对求导，根据导数单调性和零点存在定理找到零点，确定单调性得出最小值范围.（3）先对求导，根据导数单调性和零点存在定理找到零点，确定单调性得出最小值范围.接着要证有唯一解，转化为证有唯一解，设，同样求导，由导数单调性和零点存在定理找到零点.再通过函数单调性得出，最后算出最小值为，说明有唯一零点，即方程有唯一解.【小问1详解】设直线与