2025~2026学年山东青岛恒星高级中学下册高一六月阶段性检测数学试题 含答案

/青岛恒星高级中学2025-2026学年度第二学期阶段性检测高一数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本大题共计8道小题，每小题5分，共计40分）1.若复数（i为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正确答案】A【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点，位于第一象限.2.设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则【正确答案】D【分析】根据空间位置关系结合选项条件判断选项中位置的所有关系后判断ABC，对于D，可利用面面垂直的判断定理证明.【详解】对于A，若，，则或异面或相交，故A错误；对于B，若，，则或相交，故B错误；对于C，若，，则或或相交，故C错误；对于D，设，，过平面内一点，分别作，，如图所示，因为，，，，所以，又因为，所以，同理：，又因为，、，所以，故D正确.3.在中，角，，的对边分别为，，，为的面积，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】在中，由余弦定理得，三角形面积，则，即，，，，．4.已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（

）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据圆锥的体积公式求解即可.【详解】以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：；以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：；以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为.因为，所以，所以.5.棱长为2的正方体，点在棱上，满足最小，则三棱锥的体积为（）A. B. C. D.1【正确答案】C【分析】根据题意，点为的中点，最小，再利用转化法求体积.【详解】根据题意，将平面展开与平面共面，连接，交于点，则点为的中点，此时最小，则.6.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（

）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离.【详解】设球的半径为，取的中点，连接.三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且，球心O是的中点，，.在中，，，在中，，，在中，，.又，平面，平面，，平面，点到底面的距离为.7.重庆某校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许、某同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为30°，45°，60°，且，则木铎金声钟的高约为（）（参考数据：，，）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】设，通过仰角分别得到，再通过，结合余弦定理代入数据求解即可.【详解】设木铎钟总高，因为水平面，在点仰角：，在点仰角：，在点仰角：，又，即，是中点，在中，，在中，，因为，所以，则，即，又，得，化简可得：，代入各表达式：，化简计算：，因此木铎金声钟的高约为.8.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】如图，根据球的性质可得平面，根据中位线的性质和勾股定理可得且，分类讨论当在线段上和在线段的延长线上时2种情况，结合球的性质和表面积公式计算即可求解．【详解】如图，连接，设，因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心．连接，则平面，分别取的中点，根据几何体的对称性可知，直线交于点．连接，则，且为的中点，因为，所以，连接，在与中，易知，所以梯形为等腰梯形，所以，且．设，球的半径为，连接，当在线段上时，由球的性质可知，易得，则，此时无解．当在线段的延长线上时，由球的性质可知，，解得，所以，所以球的表面积，故选：D．二、多选题（本大题共计3道小题，每小题6分，共计18分）9.如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与是平行直线 B.直线与是异面直线C.直线与所成的角为 D.，，，四点共面【正确答案】BCD【分析】对于A，取的中点为，连接，易得，结合，相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线与所成的角，再求角即可判断；对于D，连接，易知，再由平面确定定理即可判断．【详解】解：对于A，取的中点为，连接，如下图所示：由正方体性质可知，若直线与是平行直线，则可得，，三点共线，显然这与，相交于点矛盾，故A错误；对于B，易知平面，平面，直线，平面，可得直线与是异面直线，故B正确；对于C，连接，，如下图：可得，故为直线与所成的角，而，可得直线与所成的角为，故C正确；对于D，连接，易知，可知，，，四点共面，故D正确．10.已知复数，其中，且，设在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（

）A.的虚部为 B.点在第二象限C.点在直线上 D.的最大值为【正确答案】BC【分析】对复数进行分母实数化、逐步化简，结合选项一一求解.【详解】，选项A，的虚部是实数，不是，所以A错误.选项B，对应点的坐标为，因为，所以，，点在第二象限，B正确.选项C，点的坐标，满足，所以点在直线上，C正确.选项D，，当时，，D错误.11.如图，已知正方形的边长为2，动点在以为直径的半圆弧上（正方形内部，含边界），则下列结论正确的是（）A.B.的最大值为2C.若，则的最大值为D.若为图中半圆内（含边界）的动点，则的取值范围为【正确答案】ACD【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示、正弦函数的性质及辅助角公式即可判断选项ABC；取的中点，连接，求出的取值范围，再根据结合数量积的运算律求解即可判断选项D.【详解】以为原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，则，，，.选项A：，，所以，故A正确.选项B：取中点，则.设，则，所以，，所以，当即（或）时最大值为4，故B错误.选项C：，，，由得，则.所以，当，即时，取得最大值，为，故C正确.选项D：取的中点，连接，因为是边长为2的正方形，动点为图中半圆内（含边界）的动点，所以当在点或点时，取得最大值，当在弧中点时，取得最小值1，即又，，所以，故D正确.三、填空题（本大题共计3道小题，每小题5分，共计15分）12.已知方程的两虚根为、，若，则实数的值为_____【正确答案】【分析】由求根公式得，解方程即可求解.【详解】因为方程的两虚根为、，则,若，则，解得，适合题意，故答案为.13.如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为__________､__________.【正确答案】①.②.【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可.【详解】在中，，根据正弦定理，代入，，，得，解得.在中，，，，所以，且，根据余弦定理，在中，，代入得，因此.故答案为.14.如图，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折成，使得平面平面，则下列说法中正确的是__________.(填序号)（1）在平面内存在直线与平行；（2）在平面内存在直线与垂直（3）存在点使得直线平面（4）平面内存在直线与平面平行.（5）存在点使得直线平面【正确答案】（2）（4）【分析】采用逐一验证法，利用线面的位置关系判断，可得结果.【详解】（1）错，若在平面内存在直线与平行，则//平面，可知//，而与相交，故矛盾（2）对，如图作，根据题意可知平面平面所以，作，点在平面，则平面，而平面，所以，故正确（3）错，若平面，则，而所以平面，则，矛盾（4）对，如图延长交于点连接,作//平面，平面，平面，所以//平面，故存在（5）错，若平面，则又，所以平面所以，可知点在以为直径的圆上又该圆与无交点，所以不存在.故（2）（4）本题主要考查线线，线面，面面之间的关系，数形结合在此发挥重要作用，属中档题.四、解答题（本大题共计5道小题，15题13分，16.17题15分，18.19题17分）15.在中，角所对的边分别为，且满足.（1）求角；（2）若的面积为，且，求的周长.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由已知条件结合余弦定理求解即可；（2）由（1）结合三角形面积公式求得，再利用已知条件求得，得解.【小问1详解】因为，又，所以，得，又，所以.【小问2详解】由（1）得，，得，又，解得，所以，故，所以的周长为.16.如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．【正确答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）．【分析】（1）由题可得，再根据线面平行的判定即可证明；（2）通过证明平面PBC，再根据线面的性质即可证得；（3）根据题意知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又平面ABCD，再根据锥体体积公式即可求解.【小问1详解】，F是BC，PB的中点．．又平面，平面，平面．【小问2详解】平面ABCD，平面ABCD，．，平面PAB，平面PAB，平面PAB，，，F是PB中点，，，EB、平面PBC，平面PBC，平面PBC，；【小问3详解】三棱锥的体积等于三棱锥的体积，平面ABCD，ABCD是矩形，，，三棱锥的体积为．17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数，（1）求角A的大小；（2）在中，，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值.（2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围.【小问1详解】由已知，可以得到再利用面积公式可以得到，由余弦定理知，所以有即.因为，所以.【小问2详解】由数量积公式可知由二倍角公式和辅助角公式可得.所以.由正弦定理可得，所以,，因为,所以，所以，因为，所以.所以，所以的取值范围为.18.如图，在直三棱柱中，，且，点P为线段上的动点．（1）当P为线段中点时，求证：平面平面；（2）当直线AP与平面所成角的正切值为时，求二面角P-AB-C的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由题意，得平面，从而，又，可得平面，由此可证得结论；（2）由（1）得平面，所以直线AP与平面所成角即为，求得，作，，可证得∠PNM为二面角P-AB-C的平面角，求解即可.【小问1详解】由题意，，，，平面，故平面，∵平面，∴，∵P为的中点，∴，且，平面∴平面，又∵平面ABP，∴平面平面.【小问2详解】由（1）得平面，所以直线AP与平面所成角即为，故，解得．作，，连接PN如图．则平面ABC，又平面ABC，故．又，平面PMN，故平面PMN，故∠PNM为二面角P-AB-C的平面角，又，，故，故，即二面角P-AB-C的余弦值为.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，设点P为的费马点，求；（3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结