2026届甘肃兰州新区贺阳高级中学等校高三下册考前模拟数学试题 含答案

/数学试卷本试卷共4页，19题.全卷满分150分.建议用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A.5 B. C. D.50答案：B解析：由题得，所以.2.已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以.3.已知向量，，若，则（）A. B.1 C.2 D.3答案：C解析：由，得，即，则，而向量，，因此，所以.4.函数的大致图象为（）A. B. C. D.答案：B解析：，函数的定义域为，关于原点对称，由，所以为奇函数，排除A；又，排除C和D.5.如图，有一块菜地被分成四部分，现要在这四部分种植蔬菜，要求每部分只种植一种，现有4种不同的蔬菜种子可供选择，则在相邻部分不种植同一种蔬菜的条件下，恰好种了3种蔬菜的概率为（）1234A. B. C. D.答案：C解析：恰好种植4种蔬菜有种方法；恰好种植3种蔬菜有种方法；恰好种植2种蔬菜有种方法，因此符合条件的不同种植方法总数是，所以恰好种了3种蔬菜的概率.6.记，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：，,因,故..综上可得大小关系.7.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：如图，由，得，由，得三点共线，连接，设，则，，，在中，由勾股定理得，即，在中，由勾股定理得，化简得，所以，即，因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以，，即，得，所以，即的方程为.8.在三棱锥中，，均为等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：如图，取的中点，连接，，因为、所以，，所以，又，所以.分别取与的外心，，易知点，分别在，上，过点，分别作两平面的垂线，两垂线交于点，则点为三棱锥外接球的球心.由已知可得，，连接，易得，所以，则，则，所以在中，QUOTEOC2=OF2+CF所以该三棱锥外接球的表面积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（）A.B.所调查市民年龄众数的估计值为40C.所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5D.所调查市民的平均年龄约为34.5岁答案：ACD解析：对于A，由题可得，解得，故A正确：对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误；对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确；对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确.10.如图，，，是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则（）A.B.直线是图象的一条对称轴C.的单调递增区间为D.将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的零点为答案：BCD解析：由题意，是函数图象与直线的三个相邻交点.因，则，.根据正弦函数图象的对称性及周期性，点与点是相邻的两个同相位点，所以等于一个周期，即周期.又因，则，所以.对于A，两点关于函数图象的某条对称轴（波峰所在直线）对称.由，，取，得对称轴.因为，所以.代入函数解析式，可得，故A错误.对于B，令，解得.当时，，即直线是图象的一条对称轴，故B正确.对于C，令，解得.所以的单调递增区间为，故C正确.对于D，将的图象向左平移个单位长度，得到.再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到.令，即，则，解得，故D正确.11.若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（）A.B.为奇函数C.函数在区间上为“凹函数”D.若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为答案：AD解析：∵函数的定义域为，满足，且，令，得，即，∵，∴.令，得，即，代入原式验证：左边，右边，等式成立，故.对选项A：∵，∴A正确.对选项B：∵，，故，故不是奇函数，B错误.对选项C：，则，设函数的导函数为则，当时，，，故，即在上为减函数，不符合凹函数定义，C错误.对选项D：，故，则，设函数的导函数为，若为上的凹函数，则为上的增函数，即对任意恒成立，故恒成立，即对任意恒成立.令，则，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故，∴，即，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，，则______.答案：4解析：.13.已知1，，，…，，100构成正项等比数列，该数列的前项的积为，，则数列的通项公式为______.答案：解析：设该正项等比数列的公比为，由题意可知数列共有项，首项为1，第项为100，根据等比数列通项公式得：，，将代入上式：，所以.14.过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______.答案：解析：设，，.由在双曲线上得，.两式作差得.，，.由题意，离心率，.代入得，故.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.纪录片《重返狼群》再度翻红，某市为了了解市民是否关注《重返狼群》与性别的关联性，在本市随机调查了1000名市民，得到如下列联表.性别是否关注《重返狼群》合计不关注关注男52080600女38020400合计9001001000（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民是否关注《重返狼群》与性别有关；（2）将频率视为概率，现从全市市民中随机抽取3名，记关注《重返狼群》的人数为，求的数学期望.附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）认为市民是否关注《重返狼群》与性别有关（2）解析：【小问1详解】零假设：市民是否关注《重返狼群》与性别无关，计算得，所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为市民是否关注《重返狼群》与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001；【小问2详解】由列联表知1000名市民中有100人关注，关注率为，用频率估计概率，可知任意抽取一名市民，该市民关注《重返狼群》的概率为，则，所以．16.如图，在平面四边形中，，，.（1）若，求的长；（2）当四边形的面积取最大值时，求.答案：（1）（2）.解析：【小问1详解】由题得，，所以，在中，由正弦定理得，所以.在中，由余弦定理得：.所以.【小问2详解】设，，则，，在中，由正弦定理得，所以四边形的面积.因为，所以，所以当，即时，四边形的面积取最大值.即当四边形的面积取最大值时，.17.如图，在四棱锥中，，，，点满足.（1）求证：平面；（2）若平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）.解析：【小问1详解】过点作，交于点，连接，因为.所以，因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，，平面，所以，，又，所以，，两两垂直.以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则.即，令，得，，则，设平面的法向量为，则，即，令，得，，则.设平面与平面的夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且的面积为4.（1）求的方程；（2），为上两点.（ⅰ）若直线过点，且倾斜角为，过点且与直线垂直的直线交于，两点，求四边形的面积；（ⅱ）若点，，过点作于点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出此定点和定值；若不存在，请说明理由.答案：（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）定点，使得为定值.解析：【小问1详解】抛物线，焦点，准线，.过垂直轴的直线，代入抛物线得，所以，.由且，得.抛物线的方程.【小问2详解】（ⅰ）由，焦点.抛物线，焦点，.过焦点直线设为，联立，消去得.设交点纵坐标为，则，.弦长，化简得焦点弦长公式.直线的倾斜角为，则斜率.因为，所以.将代入焦点弦长公式，，.将代入公式，，.所以对角线互相垂直的四边形面积.（ⅱ）由题可知直线斜率不为.设直线的方程为，，.联立，消去得.由韦达定理得，.因为，所以.又，，则.将，代入上式得.展开并整理得.将，代入得.化简得，即.解得或（舍去，因为当时，直线过点）.所以直线的方程为，即.故直线过定点.因为，所以点的轨迹是以为直径的圆（除去，两点）.的中点坐标为，.则圆的半径为.所以存在定点，使得为定值.19.已知函数.（1）若在处的切线的斜率为1，求的值；（2）若，，求的取值范围；（3）若有3个零点，，，且，证明.答案：（1）（2）（3）见解析解析：【小问1详解】定义域为，，因为在处的切线的斜率为，所以