2026届广东惠州大亚湾经济技术开发区第一中学高三下册第六次月考数学试题 含答案

/大亚湾一中2025-2026学年第二学期第六次月考高三数学试卷2026年5月本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】求出集合，，再结合交集的定义，即可求解.【详解】集合，，所以，故选：A.2.已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（）A.或 B. C. D.【正确答案】D【分析】由纯虚数的概念，列得方程组，从而可求出的值.【详解】因为复数（）是纯虚数，所以，由，得或，由，得，所以.故选：D.3.若向量满足，则在上的投影向量是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案.【详解】设投影向量是，则，所以，即在上的投影向量是．故选：D.4.记数列的前项和为，若，，则等于（）A.33 B.46 C.49 D.42【正确答案】A【分析】根据递推公式，结合前项和与第项的关系求出通项公式，进而求出目标值.【详解】数列中，，，当时，，当时，，则，，因此当时，数列是以为首项，公比为3的等比数列，，数列的通项公式为：，，，所以.故选：A5.已知，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可.【详解】由题意可知，.则，所以.则，所以.所以.故选：D.6.的展开式中，的系数为（）A.60 B.120 C.240 D.360【正确答案】B【分析】根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解.【详解】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取，即这一项为.故的系数为.故选：B7.某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据分层随机抽样的平均数和方差公式即可算出答案.【详解】，故选：D8.已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（）A.4 B. C.3 D.【正确答案】B【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果.【详解】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心在线段上，连接并延长交于，连接并延长交AB于D，设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式，∴，，设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式，∴，C=CD=，则，设正三棱台的外接球的半径,得，解得，即.故选：B.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知函数，则（）A.的最大值是 B.在上单调递增C. D.在上有两个零点【正确答案】AC【分析】利用三角函数的性质及诱导公式逐一判断即可求得结论.【详解】对于A，由于，且，所以的最大值是，故A正确；对于B，因为，所以在上不是单调递增的，故B错误；对于C，由于，故，故C正确；对于D，若，则，即，可得，，解得，，所以在上恰有个零点，故D错误.故选：AC.10.点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（）A.圆心的坐标为 B.圆上的点到直线距离的最大值为C.的最小值为3 D.的最大值为1【正确答案】ABD【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，求得圆心坐标可判定A；求得圆心到直线的距离，结合圆的性质可判定B；根据圆的切线长公式可判定C，连接，设，和，结合正弦的倍角公式，以及基本不等式可判定D.【详解】A，由圆，可化为，所以圆的圆心为，正确；B，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线最大距离为，正确；C，由切线长公式，可得，所以的最小值为，错误；D，如图所示，连接，则，设，则在直角中，设，则，且，因为，令，则，则，又因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以，即的最大值为，正确.故选：ABD11.已知数列满足，则（）A.数列为递增数列B.C.D.【正确答案】ACD【分析】对于A选项：构造函数，求导判断其单调递增．由算出，得．假设，可推出，再构造，求导判断其单调性，得出，所以数列递增．对于B选项：由A选项分析知，所以不存在使．对于C选项：要证，构造，多次求导判断单调性，得出，从而证明不等式成立．对于D选项：由C，取倒数后构造数列，再用累加法求和计算证明即可.【详解】设，对其求导可得．因为恒成立，所以在上单调递增．已知，则，依次有，,，设，，对求导得．当时，，所以，在上单调递减．则，即，所以为递增数列，A选项正确．

由上述分析可知，所以不存在，使得，B选项错误．

要证，即证．设，，对求导得．令，求导得，当时，，所以在上单调递减．则，所以在上单调递增．所以，即，所以，，C选项正确.由选项C知，移项可得，两边同时乘以得.两边同时取倒数得，移项可得.因为，所以，即.利用累加法：.已知，则，所以，两边同时取倒数得，移项可得，选项D正确.故选：ACD.三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分）12.若随机变量，且，则_____.【正确答案】0.4【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果.【详解】由可得，即，因为随机变量，且，故.故答案为.13.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．【正确答案】【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．14.已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且.若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______.【正确答案】##【详解】设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为即为直角三角形，所以，又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有，连接与左焦点，由可得为直角三角形且，由双曲线定义可知，，所以双曲线的离心率为.四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．15.如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点.（1）证明：平面；（2）设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用正四棱锥的性质，结合中点条件，通过等腰三角形三线合一证明与，与垂直，进而证明平面；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角的余弦值，设点的坐标参数，进而表示出平面的法向量，结合平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值，再根据参数范围求最大值.【小问1详解】因为的所有棱长相等，点是棱的中点，所以，，又因为，平面，所以平面.【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，设，由（1）知平面，则为平面的法向量.则，，设平面的法向量为，则，可取，记平面与平面所成角为，则.当时，取到最大值.16.设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点．【正确答案】（1）（2）依题意，设直线的方程为，，由消去得，则，，直线的斜率，直线的方程，由，得，由轴，得，则，因此，解得，所以直线：过定点.【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组，即可求解.（2）设直线，，联立直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间的关系即可求解.【小问1详解】由抛物线上的一点到焦点的距离为，得，解得，所以抛物线的标准方程为.【小问2详解】略17.在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知．（1）求；（2）若，，，求的面积．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，结合正弦定理可求得结果；（2）由平面向量的减法可得出，利用平面向量数量积的运算性质结合与余弦定理可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【小问1详解】由及正弦定理可得，即，即，即，因为为锐角，故，可得，由正弦定理得，故.【小问2详解】因为，则，故，所以，即，即①，由余弦定理可得，即②，联立①②可得，，故，因此，.18.已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，.【正确答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性即可；（2）应用导数探讨时，恒成立有，再判断所得范围的充分性，即可得；（3）根据（2）结论，令，得，即可证.【小问1详解】由题设，则且，当，，即在上单调递增，当，，即在上单调递减，当，，即在上单调递增；【小问2详解】由题设，令，则，对时，恒成立，且，只需，即，另一方面，时，，所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，则，满足题设，综上，；【小问3详解】由（2）取，在上，令，，则，即，所以，则，得证.19.某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号.（1）若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且.（i）求概率；（ii）记随机变量，求的均值.（2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59.【正确答案】（1）（i）；（ii）（2）①第一种情况，录用了面试得分第一的人.若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为：.②第二种情况，录用了面试得分第二的人.若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列，这种情况的