2026届宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市第一中学高三考前模拟考试数学试题 含答案

/青铜峡市第一中学2026届高三第四次模拟考试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数组1，2，2，4，5中加入3，6两个数之后，不变的统计量是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【正确答案】C【分析】分别计算原数组和加入3、6后的新数组的四个统计量，对比判断.【详解】原数组（排序后），共个数据；加入后新数组（排序后），共个数据，对于A：原平均数；新平均数，平均数改变，A错误；对于B：原数组共个数据，中位数为第个数据，即；新数组共个数据，中位数为第个数据，即，中位数改变，B错误；对于C：原数组中出现次，其余数都只出现次，众数为；新数组中依然只有出现次，其余数都只出现次，众数仍为，众数不变，C正确；对于D：原数组方差，新数组方差，D错误.2.设集合，，若，则由实数组成的集合为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解.【详解】当时，方程无解，即，满足；当时，由方程，解得，即，因为，可得或，解得或，所以由实数组成的集合为.3.双曲线的实轴长为（）A.1 B. C.2 D.【正确答案】D【分析】根据已知条件求得，进而求得实轴长.【详解】双曲线，对应，所以，所以实轴长为.4.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】根据平面向量平行的坐标性质，若，，则，代入，得：，即，解得或，判断充分必要性：若，一定能推出，充分性成立；若，还可以取，不能推出，必要性不成立，因此是的充分而不必要条件.5.已知正项等比数列中，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】令正项等比数列的公比为，由题有，消得，解得或，又，所以，，则.6.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（）A.1 B. C.2 D.【正确答案】B【分析】利用余弦定理边化角，求出角，利用公式求面积即可.【详解】由余弦定理得，又得，又，从而，又，所以从而的面积.7.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】分析函数的奇偶性与函数值的正负，使用排除法求解.【详解】令函数，定义域为，，故是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项、，当时，，排除选项，所以函数的图象大致为选项.8.已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为（）A. B.－C. D.－【正确答案】A【分析】利用同角三角函数的平方关系以及两角差的余弦公式即可求解.【详解】∵α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为，乙组的合格率为．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的，．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（）A. B. C. D.【正确答案】AC【分析】先明确已知的先验概率和条件概率，结合乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式逐项分析判断.【详解】由题意可得：，，，.对于A，根据乘法公式，，故A正确.对于B，根据乘法公式，，故B错误.对于C，根据全概率公式，，故C正确.对于D，根据条件概率公式，，故D错误.10.已知函数，x为实数，下列选项中正确的是（）A.的最小正周期为 B.在点处取得极大值C.的值域为 D.在区间上单调递增【正确答案】ACD【分析】先利用二倍角正弦公式化简函数为，再结合正弦函数的性质逐一判断各选项.【详解】，对于A：，A正确；对于B：当时，，，即此时，是函数的极小值，并非极大值，B错误；对于C：的值域为，因此的值域为，C正确；对于D：当时，，正弦函数在上单调递增，因此在该区间单调递增，D正确.11.设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（）A.B.的最小值为2C.若为的中点，则D.点到上点的距离的最小值为3【正确答案】AC【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，准线为，所以，由抛物线的定义可知：，故A正确；对于B，设直线的方程为，联立，设，所以，由抛物线的定义可知：，当时，的最小值为4，故B错误；对于C，若为的中点，,,因为所以，所以，又因为所以，故C正确；对于D，设上任意一点为，则该点到的距离为：，当时，，故D错误.三､填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分．12.设i是虚数单位，计算：______．【正确答案】【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可.【详解】，所以.13.若定义在上的奇函数满足时，，则________．【正确答案】【分析】由奇函数的性质求出a，再利用函数的奇偶性及题中所给解析式进行求解.【详解】由题意知，解得，因为，所以．故14.如图，已知三棱锥和三棱锥均为正三棱锥，其中，，则其内部能放入的最大的球的半径________．【正确答案】【分析】根据题意可得该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，利用等体积法可知：，分别计算出该几何体的体积以及表面积即可求解.【详解】取的中心O，连接DO，EO，则DO，EO即分别为两个正三棱锥的高，易知D，O，E三点共线，连接AO，延长后与BC相交于点M，则为中点，，，，，，，该几何体内部能放入的最大的球为该几何体的内切球，其半径为，由题意可得：，又，则，由等体积法可知：，所以可得．四､解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和为，数列是等差数列，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【正确答案】（1），（2）【小问1详解】当时，，当时，，经检验，时符合上式，所以，．由上可知，，设的公差为，则，所以，，即．【小问2详解】由(1)得，则数列的前项和为：，，，，所以，数列的前项和．16.如图，在几何体中，四边形是菱形，，且，三角形是正三角形，平面平面.点在平面上的投影为与的交点，且.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）先由菱形性质得,再由投影得底面,故；因与交于且共面,从而证得平面.（2）方法一:以菱形对角线交点为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,求出各点坐标与等向量,设平面的法向量并由线线垂直列方程求解,再利用线面角公式计算正弦值.方法二:作得正三角形的高，利用将与平面的线面角转化为与平面的线面角,用等体积法求点到平面的距离，再由线面角定义计算正弦值.（3）方法一：先设出平面的法向量,根据法向量与平面内两向量、垂直列出方程组,对未知量赋值求出具体法向量,再选取从平面内一点指向点的向量，最后代入点到平面的向量距离公式,计算模长与数量积得到点到平面的距离.方法二：先由得四点共面,将点到平面的距离转化为到平面的距离；取中点，证明面面垂直,作得到垂线段即为所求距离；再用余弦定理与等面积法求出、，最后在三角形中算得.【小问1详解】证明：在菱形中，对角线互相垂直，所以，因为在底面上的投影为，所以平面，又平面，故.又平面，平面，，所以平面.【小问2详解】方法一：由，，得，，，如图1，作于点，则.因为平面平面，交线为，所以平面.以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，.所以，，.设平面的法向量为，则，即令，得，故.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.方法二：如图2，过点作于点，因为三角形为正三角形，所以为中点.由平面平面，平面平面,平面.故平面.由平面，平面，故.由勾股定理得，可得.连接，则.因为面，面.所以且，即四边形为平行四边形.所以，因为、分别为、中点所以，所以.所以与平面所成角的正弦值即为与平面所成角的正弦值.，在中，.所以.设点到平面的距离为，则.即，所以.故所求正弦值为.【小问3详解】方法一：设平面的法向量为，则即令，得，故，又，所以点到平面的距离.方法二：由（2）方法二可得，所以，，，四点共面，所以点到平面的距离即为点到平面的距离.如图2，取的中点，连接，.因为三角形和三角形都是正三角形所以，所以，同理，又，所以平面，又平面，所以平面平面.作于，平面平面，平面，所以平面，所以即为所求距离.在中，，由（2）方法二可得在中由余弦定理可得.解得，所以.解得，同理在中由余弦定理和等面积法可得.所以.设边上的高为，则.解得.17.已知函数（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值．【正确答案】（1）极大值为，无极小值（2）当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是.【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果；（2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值.【小问1详解】当时，，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，无极小值.【小问2详解】由得：，，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；①当，即时，在上单调递减，此时的最小值为；②当，即时，在上单调递增，在上单调递减；，，，当时，，此时；当时，，此时；③当，即时，在上单调递增，此时的最小值为；综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是.18.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方．（1）求的方程；（2）若，求直线的方程；（3）设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值．【正确答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程；（3）由题意可知，设点，将直线、的方程联立，可求出点的纵坐标，结合韦达定理可求得的取值范围，结合三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】由题意可得，该椭圆的离心率为，可得，所以，故椭圆的标准方程为.【小问2详解】若直线与轴重合时，则轴经过，，不符合题意；设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，所以，解得，故直线的方程为或，即或.【小问3详解】由题意可知，设点，所以直线的方程为，直线的方程为，联立可得，即，解得，由（2）可得，所以，当且仅当时，等号成立，即，故的面积为，即面积的最大值为.19.2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．）（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望；（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大.【正确答案】（1）（2）（ⅰ）分布列见解析，期望；（ⅱ）时利润最大.【分析】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利