2026届山西省定襄县定襄中学校高考临考预测数学试题 含答案

/2026年普通高等学校招生全国统一考试临考预测卷数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】由题意得.2.若，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先利用虚数单位的幂次周期性化简分子和分母，再通过分母实数化计算得到的代数形式【详解】因为，，所以.3.已知直线，平面，则“”是“存在直线满足，且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】充分性：若，由线面平行的性质，过直线作平面与平交于直线，则.因为，，由线面垂直的性质可知.又因为，所以.所以当时，存在直线满足，且.即充分性成立.必要性：当存在直线满足，且时，或.所以必要性不成立.综上：“”是“存在直线满足，且”的充分不必要条件.4.设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】求导后代入求得切线的斜率，进而可求得切线的倾斜角.【详解】由题意得，则，即在点处的切线的斜率为，设该处切线的倾斜角为，则，因为，所以.5.的展开式中的系数为（）A. B. C.48 D.288【正确答案】B【详解】的展开式通项为：，要得到的展开式中的系数，分两类讨论：①取1乘的项：令，解得，对应系数为，②取乘的项：令，解得，对应系数为，将两类系数求和，得的总系数为.6.已知函数是奇函数，则（）A. B.1 C. D.2【正确答案】C【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算.【详解】函数有意义需满足且，即，由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内，代入分子得，解得，求参数：将代入得：

，由于在定义域内，奇函数满足，代入得：，解得，此时函数，，则，即，则是奇函数，满足题意，故

.7.在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】首先根据面面垂直的性质，结合直角三角形的性质判断球心的位置，进而列方程求得半径，再利用球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为，且，所以，所以是以为斜边的等腰直角三角形，设的中点为，连接，因为是边长为2的等边三角形，所以，且.又因为二面角的大小为，所以平面平面，又平面平面，所以平面，所以三棱锥外接球的球心在上，设为，如图，连接，设球的半径为，所以有，所以三棱锥外接球的表面积为.8.一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】设事件为第一次和第三次摸到红球，事件为第二次摸到绿球，分别求解，再结合条件概率公式计算.【详解】设事件：第一次和第三次摸到红球，事件：第二次摸到绿球，可得：第一次摸红球：初始9球，4红，概率，摸后加1红，总球变为10，红球5个；第二次摸绿球：10球中3绿，概率，摸后加1绿，总球变为11，红球仍为5个；第三次摸红球：11球中5红，概率；所以.因为连续三次摸到红球的概率：；三次摸球顺序为红，绿，红的概率：；三次摸球顺序为红，蓝，红的概率：，所以，故.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数（），则（）A.的最大值为2B.当时，在区间上单调递增C.将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象D.若在上有两个零点，则的取值范围是【正确答案】AD【分析】由辅助角公式化简原函数，结合正弦型函数的性质可以判断A；结合正弦型函数的单调性可以判断B；结合三角函数图象平移变换规律可以判断C；结合“整体法”和正弦型函数零点的性质可以判断D.【详解】由题意得选项A，当时，的最大值为2，正确；选项B，当时，，时，，在上单调递减，因此在区间上单调递减，错误；选项C，图象右移个单位可得：，仅当时才得到，对任意不成立，错误；选项D，时，，即，要区间内有两个零点，即有两个落在内，对应两个零点为、，则，解得，即，正确.10.已知抛物线：的焦点为，以为圆心，为半径作圆，记圆与交于，两点，则（）A. B.当时，的面积为C.当时， D.【正确答案】ABD【详解】由题可知，圆,联立方程，消去并化简得：，解得（负值舍去），对于A，因为圆与交于，两点，所以，即，解得，A正确；对于B，当时，或，所以，所以，B正确；对于C，根据对称性可知，所以，化简得，解得，C错误；对于D，不妨取，则，所以，D正确.11.已知函数及其导函数的定义域均为，，且，则（）A. B.存在使得C. D.的图象关于直线对称【正确答案】ACD【分析】通过赋值法求的值，判断选项A；构造辅助函数，确定的表达式，进而根据的值域判断选项B；求导，判断选项C；利用函数的对称性判断选项D．【详解】令，代入等式得：，解得或，若，令，则对任意有，此时，与矛盾，故，A正确；构造辅助函数，可得，即，由可导知，故，求导得，代入得，故，指数函数对任意恒成立，故恒成立，不存在使得，故B错误；由且，得，故C正确；，故，对任意，，故的图象关于直线对称，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，若，则的取值范围是________．【正确答案】【分析】利用向量坐标的数量积运算，将不等式转化为关于t的不等式，解不等式即可．【详解】因为，，故；；故等价于，即，即，解得：；故的取值范围是．13.已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在轴的正半轴上，是椭圆上一点，且满足．若的中垂线过点，则椭圆的离心率为________．【正确答案】【分析】利用向量共线定比分点公式求出点坐标，结合中垂线性质建立参数关系，最后代入椭圆方程求解离心率.【详解】设（），由得，整理得.因的中垂线过点，故，即.即.化简得，解得.从而点的纵坐标平方为，横坐标平方为.将点坐标代入椭圆方程，得.两边同乘并利用及变形得.令，整理得，即.解得或，因，故，即.14.在中，已知，的角平分线交于点，且，则________．【正确答案】##【分析】利用正弦定理，结合两角和差的正弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】设，，因为，的角平分线交于点，所以，由正弦定理，得，所以可得，则由，由正弦定理，得，或，当时，因为，且，所以解得，，负值舍去，当时，，因为，所以方程没有实数解，综上所述.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，．（1）求和的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【正确答案】（1），（2）【分析】（1）对利用前项和与通项的关系推导其为等比数列求通项，对利用等差数列基本量求公差得通项；（2）数列为等差乘等比的结构，采用错位相减法求解前项和.【小问1详解】当时，，解得；当时，，整理得，故是首项为2、公比为2的等比数列，，设等差数列的公差为，由，得，解得，.【小问2详解】由（1）得，故①，又②，①②得，化简得，.16.已知函数．（1）若是的极值点，求；（2）若有两个零点，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零构造方程求解，注意最后要检验；（2）把有两个零点，转化为方程有两个正实数根，分离参数得到，令问题转化为与的交点个数，令求导，并分析的单调性求出最小值，再分段讨论求解．【小问1详解】函数求导得，已知是极值点，则，解得．当时，，当时，；当时，，故是极小值点，符合题意．故．【小问2详解】已知有两个零点，即方程有两个正实数根，则，设，问题转化为与的交点个数，令，则，，令，得，当时，，单调递减；当且时，，单调递增；当时，在处取得极小值，，故在处取得极小值，为；当和时，；当时，且单调递增，故单调递增且，故方程最多有一个零点；要使有两个零点，需满足与在内有两个交点，即．17.如图，在中，，垂足为，，．将绕翻折至．（1）是否存在某个翻折位置，使得平面？若存在，求出此时的大小；若不存在，请说明理由．（2）当在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值．【正确答案】（1）翻折到时，平面，此时.（2）【分析】（1）先证明平面得，再根据时，结合勾股定理，进而即可证明平面，此时求得；（2）结合（1），建立空间直角坐标系，设，，再根据向量法求解线面角，并结合三角恒等变换求解即可.【小问1详解】因为在中，，垂足为，所以，翻折至时，，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，．所以，，所以，当翻折到时，，即，因为，平面，所以平面，综上，当翻折到时，平面，此时.【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，设，则，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，整理得，所以，设直线与平面所成角为，则，因为，所以，，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值的最小值为.18.某实验室研究某细胞繁殖过程中的变异规律、细胞的变异等级用正整数表示，初始等级记为．每繁殖一代，变异等级按以下规律变化：若当前等级为.则下一代等级为的概率为，为的概率为，不变的概率为，其中，且．特别地，当变异等级为1时，下一代变异等级为2的概率为，保持不变的概率为．各代变异相互独立．已知初始等级，概率，．（1）求经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4的概率．（2）记为细胞经过两代繁殖后的变异等级，求的分布列和数学期望．（3）实验室计划在细胞繁殖时进行干预，调整下一代的变异情况，每次干预需选择以下方案之一（每次干预只影响一代）．方案：，；方案：，．现计划在第二代繁殖和第三代繁殖时各干预一次．若规定第三代变异等级为危险事件，请制定干预策略（每次干预独立选择方案或），使发生危险事件的概率最小，并求出该最小概率．【正确答案】（1）经过两代繁殖后变异等级为4的概率为0.3；（2）的分布列为：123450.040.120.290.30.25；（3）最优干预策略为第二代繁殖和第三代繁殖均选择方案A，发生危险事件的最小概率为0.222.【分析】(1)初始等级,经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4有两种途径:和，分别计算对应概率即可；(2)类比（1），分析细胞变异的途径，分别计算对应概率，再利用期望公式求值;(3)分析可知第三代变异等级有3种途径，且干预策略有，，，四种，分别计算对应概率，再比较即可求解.【小问1详解】初始等级,经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4,有两种路径：路径1:，；路径2:，；所以经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4的概率.【小问2详解】可能的取值为：1,2,3,4,5,，，，，，所以的分布列为：123450.040.120.290.30.25.【小问3详解】由题可知，若，则第三代变异等级路径有，若，则第三代变异等级路径有，或6,第二代繁殖和第三代繁殖时各干预一次，共4种策略组合：，，，.策略.策略.策略.策略.由上可知：最优干预策略为第二代繁殖和第三代繁殖均选择方案A，发生危险事件的最小概率为0.222.19.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，设为上一点，为双曲线渐近线上一点（在第一象限），且，．（1）求的离心率．（2）设，过点的直线与的右支交于，两点．（ⅰ）证明：以为直径的圆过定点；（ⅱ）若的外接圆与内切圆半径的比值为，求直线的方程．【正确答案】（1）（2）（ⅰ）由题和（1）可知，所以双曲线方程为：，设直线的方程为：，，联立，化简得：，所以，，所以，因为直线与的右支交于，两点，所以，所以以为直径的圆的圆心坐标为，，所以以为直径的圆的方程为：，去分母得：，令，则，即，则，解得，所以以为直径的圆过定点;（ⅱ）或.【分析】（1）利用点在渐近线上，设，根据垂直两直线斜率积为，列方程求出的坐标，设，根据求出坐标，结合在双曲线上，列方程，求出离心率；（2）（ⅰ）设直线方程，