人教版八年级数学《三角形》练习题

人教版八年级数学《三角形》练习题三角形作为平面几何的基石，其概念、性质及应用贯穿整个初中乃至高中数学学习。扎实掌握三角形的相关知识，不仅是应对当前学业的需要，更是培养逻辑推理与空间想象能力的关键。以下练习题旨在帮助同学们巩固基础、深化理解、提升解题技巧，题型涵盖选择、填空与解答，力求全面考察本章核心知识点。一、三角形的边与角（一）三角形的三边关系三角形三边关系是判断三条线段能否构成三角形以及解决与边长相关计算问题的依据。其核心在于：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。例题1：现有长度分别为3、5、7、9的四根木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：我们需要依次判断每一种组合是否满足三边关系。3、5、7：3+5>7，5+7>3，3+7>5；7-5<3，7-3<5，5-3<7，能组成。3、5、9：3+5=8<9，不满足，不能组成。3、7、9：3+7>9，7+9>3，3+9>7；9-7<3，9-3<7，7-3<9，能组成。5、7、9：5+7>9，7+9>5，5+9>7；9-7<5，9-5<7，7-5<9，能组成。综上，能组成的有3个，答案选C。练习题：1.若三角形的两边长分别为4和6，则第三边长x的取值范围是__________。2.一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是__________。（二）三角形的内角和与外角三角形内角和定理是几何证明与计算中最基本的定理之一，即三角形三个内角的和等于180°。三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角。例题2：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠A的度数是（）A.30°B.40°C.60°D.80°解析：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x。根据三角形内角和定理，2x+3x+4x=180°，解得9x=180°，x=20°。因此，∠A=2x=40°，答案选B。例题3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，则图中与∠A互余的角有（）A.1个B.2个C.3个D.4个（*此处应有示意图：直角三角形ABC，∠C为直角，CD⊥AB于D*）解析：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，所以∠B与∠A互余。在Rt△ACD中，∠A+∠ACD=90°，所以∠ACD与∠A互余。因此，与∠A互余的角有2个，答案选B。练习题：3.在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C的外角等于__________度。4.如图，直线a∥b，一块含30°角的直角三角板ABC的顶点A在直线a上，顶点C在直线b上，∠C=90°，∠A=30°，则∠1的度数为__________。（*此处应有示意图：直线a、b平行，三角板ABC，A在a上，C在b上，∠B在上方，∠1为直线a上A点右侧与三角板AB边形成的角*）二、三角形中的重要线段三角形的中线、高线和角平分线是三角形中的三条重要线段，它们各自具有独特的性质，在解决三角形面积、角度以及线段相等问题中有着广泛应用。（一）中线与重心三角形一边的中点与这边所对顶点的连线叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。例题4：已知△ABC的周长为18cm，BE、CF分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交BC于点D，若AF=3cm，AE=2cm，求BD的长。解析：因为BE、CF是中线，所以AF=BF，AE=EC。已知AF=3cm，AE=2cm，所以AB=2AF=6cm，AC=2AE=4cm。又因为△ABC周长为18cm，所以BC=18-AB-AC=18-6-4=8cm。因为AD是BC边上的中线（三条中线交于一点D），所以BD=DC=BC/2=4cm。练习题：5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD的面积为6，则△ABC的面积为__________。（*此处应有示意图：三角形ABC，AD为BC中线*）（二）高线与面积从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线。三角形的面积公式为面积=底×高÷2，灵活选择底和对应的高是计算面积的关键。例题5：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求△ABC的面积。解析：过点A作AD⊥BC于点D。因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD也是BC边上的中线，所以BD=DC=BC/2=3。在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，即AD²+3²=5²，AD²=25-9=16，所以AD=4。因此，△ABC的面积=BC×AD÷2=6×4÷2=12。练习题：6.已知钝角△ABC的三边为5、12、13，求最长边上的高。（三）角平分线三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。角平分线上的点到角两边的距离相等。例题6：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=3，AB=10，则△ABD的面积为（）A.15B.30C.20D.10（*此处应有示意图：直角三角形ABC，∠C=90°，AD平分∠A交BC于D*）解析：过点D作DE⊥AB于点E。因为AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，根据角平分线的性质，DE=CD=3。所以△ABD的面积=AB×DE÷2=10×3÷2=15。答案选A。练习题：7.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，则∠DAE的度数为__________度。（*此处应有示意图：三角形ABC，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E*）三、全等三角形全等三角形是平面几何证明的重要工具。掌握全等三角形的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS,HL），并能灵活运用它们证明线段相等、角相等，是本章的重点和难点。（一）全等三角形的判定与性质例题7：如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC。求证：△ABC≌△ADE。（*此处应有示意图：△ABC和△ADE，有公共顶点A，AB=AD，AC=AE*）证明：因为∠BAE=∠DAC，所以∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC，即∠BAC=∠DAE。在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，所以△ABC≌△ADE（SAS）。例题8：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF。求证：BC=EF。（*此处应有示意图：两个直角三角形ABC和DEF，直角边AC、DF对应相等，斜边AB、DE对应相等*）证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE，AC=DF，所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。因此，BC=EF（全等三角形对应边相等）。练习题：8.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。（*此处应有示意图：点B、E、C、F共线，BE=CF，AB=DE，AC=DF，形成△ABC和△DEF*）9.如图，AD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F。求证：BE=CF。（*此处应有示意图：AD为△ABC中线，BE⊥AD，CF⊥AD延长线*）（二）全等三角形的应用利用全等三角形可以解决许多实际问题，如测量无法直接到达的两点间的距离。其基本思路是构造两个全等三角形，将未知线段转化为已知线段。例题9：如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长。他叔叔帮他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度。DE的长度就是A、B间的距离。你能说明其中的道理吗？（*此处应有示意图：池塘两端A、B，点C，CD=CA，CE=CB，连接DE*）解析：在△ABC和△DEC中，CA=CD，∠ACB=∠DCE（对顶角相等），CB=CE，所以△ABC≌△DEC（SAS）。因此，AB=DE（全等三角形对应边相等）。所以测量出DE的长度就是A、B间的距离。练习题：10.如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。请说明理由。（*此处应有示意图：AB⊥BF于B，DE⊥BF于D，C在BD上，BC=CD，A、C、E共线*）四、等腰三角形与等边三角形等腰三角形和等边三角形是特殊的三角形，它们除了具有一般三角形的性质外，还有许多特殊的性质，这些性质在解题中非常有用。（一）等腰三角形的性质与判定等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。例题10：等腰三角形的一个内角是70°，则它的顶角的度数是（）A.70°B.40°C.70°或40°D.70°或55°解析：当70°角为顶角时，顶角就是70°；当70°角为底角时，顶角=180°-2×70°=40°。所以顶角的度数为70°或40°，答案选C。例题11：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求∠A的度数。（*此处应有示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，D在AC上，AD=BD，BD=BC*）解析：设∠A=x。因为AD=BD，所以∠ABD=∠A=x。∠BDC是△ABD的外角，所以∠BDC=∠A+∠ABD=2x。因为BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=2x。因为AB=AC，所以∠ABC=∠BCD=2x。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠BCD=180°，即x+2x+2x=180°，5x=180°，x=36°。所以∠A=36°。练习题：11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的度数为__________度。12.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在BA的延长线上，EP⊥BC于点P，交AC于点F。求证：AE=AF。（*此处应有示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，E在BA延长线上，EP⊥BC于P，交AC于F*）（二）等边三角形的性质与判定等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。例题12：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、AC上，且BD=AE，CD与BE相交于点F。求∠BFD的度数。（*此处应有示意图：等边三角形ABC，D在AB上，E在AC上，BD=AE，CD、BE交于F*）解析：因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°。在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠A=∠CBD=60°，AE=BD，所以△ABE≌△BCD（SAS）。因此，∠ABE=∠BCD。∠BFD是△BFC的一个外角，所以∠BFD=∠BCD+∠FBC=∠ABE+∠FBC=∠ABC=60°。练习题：13.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边△ADE。请判断AC与DE的位置关系，并说明理由。（*此处应有示意图：等边三角形ABC，AD为高，等边三角形ADE在AD右侧*）五、综合与拓展本部分题目综合性较强，需要灵活运用本章所学的多个知识点进行解答，旨在提升同学们分析问题和解决问题的能力。例题13：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。（*此处应有示意图：梯形ABCD，AD∥BC，E为AB中点，DE延长交CB延长线于F，G在BC上，∠GDF=∠ADF*）（1）证明：因为AD∥BC，所以∠ADE=∠F。因为E是AB的中点，所以AE=BE。在△ADE和△BFE中，∠ADE=∠F，∠AED=∠BEF，AE=BE，所以△ADE≌△BFE（AAS）。（2）解：EG与DF的位置关系是EG⊥DF。理由如下：由（1）知△ADE≌△BFE，所以DE=FE，即E是DF的中点。因为∠GDF=∠ADF，且∠ADE=∠F（已证），所以∠GDF=∠F。因此，GD=GF，