2026年中考数学二轮复习06分式方程及其应用考点专题学案

分式方程及其应用考点精讲构建知识体系考点梳理1.分式方程的有关概念(1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程(2)增根：使分式方程的分母为零的根叫做增根(3)产生增根的原因：分式方程本身隐含分母不为0的条件，将其化为整式方程后没有此条件限制了2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程(2)解法：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根3.分式方程的实际应用(1)常见类型及关系式：①行程问题：路程速度②工程问题：工作总量工作效率＝工作时间(当题干中没有给出具体的工作总量时，默认工作总量为1)③购买问题：总价单价④航行问题：顺水速度＝静水船速＋水流速度；逆水速度＝静水船速－水流速度(2)一般步骤：(3)双检验：①检验是否是分式方程的根；②检验是否符合实际问题练考点1.下列方程中不是分式方程的是()A.x23－x＝0B.2C.23－x＝x D.1y2.解下列方程：(1)2x+1＝(2)32－x－3.小明在一家便利店买了若干瓶酸奶，结账时共计48元，收银员告诉他满50元打八折，于是小明又拿了一瓶相同的酸奶，共花费了44.8元.设该酸奶单价为x元/瓶，则可列方程为.高频考点考点1分式方程及其解法例1已知关于x的分式方程2－x2x(1)若分式方程的解为x＝3，则m的值为；(2)若m＝1，则该方程的解为；(3)若分式方程有增根，则m的值为；(4)若分式方程无解，则m的值为.易错警示分式方程的增根与无解并非同一概念.(1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根；(2)分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0.变式1分式方程2x－1＝1－mx－1A.m＞－3 B.m＞－3且m≠－2 C.m＜3 D.m＜3且m≠－2考点2分式方程的实际应用例2中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因.为传承优秀传统文化，某校园内掀起了传统文化学习的热潮.为满足同学们的学习热情，该校特派两名学生代表小伟和小聪去采购相关书籍.(1)两人要去距离学校10km的图书批发市场购买图书，因小伟有事耽搁，故小聪骑自行车先走，过了20min后，小伟乘汽车出发，结果两人同时到达.已知汽车的平均速度是自行车平均速度的2倍，求小聪骑自行车的平均速度；(2)两人决定购买《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，则每套《水浒传》连环画的价格为多少元？(3)将书全部运回学校后，小伟和小聪开始整理所买书籍，小聪和小伟两人共同整理5min后，因小聪有事退出，小伟需再单独整理7min才能完成任务，若小聪单独整理所买书籍需要15min，求小伟单独整理所买书籍需要多长时间？真题及变式命题点1解分式方程1.(人教八上例题改编)方程2x－3＝3xA.x＝－3 B.x＝－9 C.x＝3 D.x＝9命题点2分式方程的实际应用(人教八上习题改编)某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km.甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度.变式2.1变情景——将同向出发变为相向出发A，B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米.已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度.拓展训练一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等，则江水的流速为多少？新考法4.[跨物理学科](人教八上例题改编)照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f＝1u＋1v(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u＝A.ff－v B.f－5.[新定义运算](北师八下复习题改编)对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝1a－b2，这里等式右边是实数运算.例如：1⊗3＝11－32＝－18.则方程x⊗(－A.x＝7 B.x＝6 C.x＝5 D.x＝46.[与数轴结合](人教八上习题改编)在数轴上，点A表示的数为1x，王老师让同学们在数轴上再标出一点B.点B表示数x+83x，且AB比OA大2.若点A与点B的位置如图所示，求第6题图

练考点1.A2.解：(1)方程两边同乘x(x＋1)，得2x＝3(x＋1)，去括号，得2x＝3x＋3，系数化为1，得x＝－3，检验：当x＝－3时，x(x＋1)≠0，∴x＝－3是原分式方程的解；(2)方程两边同乘(x－2)，得－3－1＝x－2，移项，合并同类项，得x＝－2，检验：当x＝－2时，x－2≠0，∴x＝－2是原分式方程的解.3.44.80.高频考点例1解：(1)－16(2)x＝(3)－32【解析】去分母得，2－x＝2mx，移项，合并同类项，得(2m＋1)x＝2，系数化为1，得x＝22m+1.∵分式方程有增根，∴2m+1≠0(4)－12或－32【解析】由(3)得分式方程的解为x＝22m+1.∵分式方程无解，∴分两种情况，当整式方程无解时，即2m＋1＝0，解得m＝－12，当整式方程有解，分式方程无解时，即2m+1≠022m+1＝－变式1B【解析】方程两边同时乘以x－1得，2＝x－1－m，解得x＝m＋3，∵分式方程2x－1＝1－mx－1的解为正数，∴m＋3＞0，∴m＞－3，∵x≠1，即m＋3≠1，∴m≠－2，∴m的取值范围为m＞－例2解：(1)设小聪骑自行车的平均速度为xkm/h，则汽车的平均速度为2xkm/h，由题意得10x－102x＝解得x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，答：小聪骑自行车的平均速度为15km/h；(2)设每套《水浒传》连环画的价格为x元，则每套《三国演义》连环画的价格为(x＋60)元，由题意得4800x＝解得x＝120，经检验，x＝120是原分式方程的解且符合题意，答：每套《水浒传》连环画的价格为120元；(3)设小伟单独整理所买书籍需要xmin，由题意得(115＋1x)×5＋7×1x解得x＝18，经检验，x＝18是原分式方程的解且符合题意，答：小伟单独整理所买书籍需要18min.真题及变式1.D【解析】2x－3＝3x，2x＝3(x－3)，解得x＝9，检验：当x＝9时，x(x－3)≠0，∴x2.解：设乙同学骑自行车的速度为xkm/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2xkm/h，由题意得12x－121.解得x＝12，经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合实际，答：乙同学骑自行车的速度为12km/h.变式2.1解：设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为(x＋30)千米/时，由题意，得80x＝200解得x＝60，经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合实际，∴x＋30＝90.答：甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时.3.解：设江水的流速为xkm/h，则沿江顺流航行的速度为(40＋x)km/h，沿江逆流航行的速度为(40－x)km/h，根据题意得12040+x＝解得x＝