河南省周口市等2地2026届高三数学上学期开学检测试题含解析

考试时间：120分钟满分：150分

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超．出．答．题．区．域．

书．写．的．答．案．无．效．，．在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．作．答．无．效．.．

预祝你们考试成功！

一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.

1.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则

所得新数据的平均数和方差分别是

A.57.2，3.6B.57.2，56.4

C.62.8，63.6D.62.8，3.6

2.已知复数，（为虚数单位，2），则复数对应的点位于（）

z11iz22iii1zz2z1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

x2y2

3.已知焦点在x轴上的椭圆1，其焦点F与上顶点A和左顶点B构成面积为33的三角形，

9b2

且BAF60，则椭圆的离心率为（）

1

A.B.2C.1D.2

3322

ππ

4.已知函数fxsinx的图象关于直线x对称，则的取值可以是（）

63

A.3B.4C.5D.6

5．若loglogclog则的大小关系为（）

6

32

A．�=47,�=B．58,=9�,�,�C．D．

6．已知�等>差�数>列�的前�项>和�>满�足：�>�>�，则数列�>的�最>小�项是第（）项.

��

��202520242026�

A．2026�B．�2027��C<．�4048<�D．4�049

7.若函数f(x)，g(x)满足fxxgxx2，且f(1)1，则f(1)g(1)（）

A.1B.2C.3D.4

8.甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙

箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有i个红球”为Ai(i0,1,2)，“从乙

箱中取出的球是黑球”为B，则（）

1551

PA0PB|A1P(B)PA2|B

A.3B.6C.9D.8

二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9.下列计算结果为有理数的是（）

π

A.tanB.2lg2lg25

3

1

ln3

C.3eD.log43log36log68

10.已知fx定义域为R，fxf2x，且fxfx，当x0,1时，fxx.则下列

说法正确的有（）

A.直线x5是fx的对称轴

B.fx在2025,2023上单调递减

C.f0f1f20251

11

D.设yx与fx图象的第i个交点为x,y（iR），若yfx与yx的图象有n个

2025ii2025

xxx

交点，则12n0

n

11.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，BD3，若

3AC

bsinCccos2，则（）

62

π

A.BB.b取值范围为2,23

6

C.ABC面积的最大值为3D.ABC周长的最大值为6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

2π

12.在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC，ABAC23，PA2，则该三棱锥

3

外接球的表面积为_________

13.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十

一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数

的2倍，则塔的顶层灯数为_____________

14．已知数列的通项公式是，记为在区间内的项的个数，则使得不

�

等式��成立的�的�=最2小�值−为1��.��[�,2)(�∈�+)

��+1−��>2025�

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

2

15.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a38a1a2，S562.

（1）求数列{an}的通项公式；

1

（2）记bn，求数列bn的前48项和T48.

log2anlog2an1

x2y213

16.已知椭圆C：1（ab0）的离心率e，且椭圆过点1,.

a2b222

（1）求C的方程：

（2）过点M0,1直线l与椭圆有两个交点A，B，已知y轴上点N0,3，求证：kNAkNB0.

17.在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，

解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

22

xyx1x2y1y2

18.定义：若椭圆1ab0上的两个点Ax1,y1，Bx2,y2满足0，则称A，

a2b2a2b2

x2y2

B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作A,B．已知椭圆C：1上一点A3,1．

124

（1）求“共轭点对”A,B中点B所在直线l的方程．

（2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且PQ//OA，（1）中的直线l与椭圆C交于两点B1,B2．

①求点B1，B2的坐标；

②设四点B1，P，B2，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形B1PB2Q的面积小于83．

2222

19.动圆C与圆C1:(x2)y50和圆C2:(x2)y2都内切，记动圆圆心C的轨迹为E.

（1）求E的方程；

（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为Ax22BxyCy22Dx2EyF0，则曲线

上一点x0,y0处的切线方程为：Ax0xBx0yy0xCy0yDx0xEy0yF0，试运用

该性质解决以下问题：点P为直线x8上一点（P不在x轴上），过点P作E的两条切线PA,PB，切点分

别为A,B.

（i）证明：直线AB过定点；

（ii）点A关于x轴的对称点为A，连接AB交x轴于点M，设AC2M,BC2M的面积分别为S1,S2，

求S1S2的最大值.

参考答案

1.【答案】D

【详解】平均数是2.8+60=62.8,根据方差公式可知方差不变．

2.【答案】D

【详解】因为复数z11i，z22i，

所以复数zz2z12i(1i)12i，

所以z对应的点Z(1,2)在第四象限.

故选：D.

3.【答案】B

【详解】

x2y2

由1可得a3，由图知，|AF|a3，|AB|b29，

9b2

1

又BAF60，则△BAF的面积为3b29sin6033，

2

c2

解得b27，则c9b22，则椭圆的离心率为e.

a3

故选：B.

4.【答案】B

πππ

【详解】由题意，kπ,kZ，得3k1,kZ，

362

当k1时，ω=4，

故选：B.

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

【详解】令x1，所以f1g11，因为f(1)1，所以g10，

因为fxgxxgx2x，

所以f1g1g12，

所以f1g12g12.

故选：B.

8.【答案】D

C21C1C12

【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则2，22，

PA02PA12

C46C43

C21

2，故A不正确；

PA22

C46

554231

乙箱中有1个红球和3个黑球，则PB|A，PB|A，PB|A，

042614232422

故B不正确；

1522112

则有P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)，故C不正确；

0011226633623

11

P(AB)P(A)PB|A1

则PA|B22262，故D正确；

2P(B)P(B)28

3

故选：D

9.【答案】BCD

π

【详解】tan3，不是有理数，故A错误；

3

2lg2lg25lg4lg25lg425lg1002，是有理数，故B正确；

1lne

，是有理数，故C正确；

3ln3e3ln3e3log3eeee0

ln3ln6ln8ln83ln23

log3log6log8，是有理数，故D正确.

436ln4ln3ln6ln42ln22

故选:BCD.

10.【答案】ACD

【详解】由题可知：fxf2x，可知函数关于x1对称，又fxfx，可知函数为奇函

数，

所以fxf2xfx，则f2xfxfx4fx2fx，

即f2xfxfx4fx，所以4为函数fx的一个周期.

对A，由函数关于x1对称，且4为函数fx的一个周期，故x5是fx的对称轴，正确；

对B，202550641,202320241，所以函数在2025,2023的单调性与函数在1,1单调

性相同，

由x0,1，fxx，且函数为R上的奇函数，所以函数fx在1,1单调递增，错误；

对C,f00,f11,f2f00,f3f1f11,f4f00，则

f1f2f3f40

又f2025f5064+1=f11，所以

f0f1f2...f2025506f1f2f3f4f0f11，正确；

1

对D，函数yx为R上的奇函数，函数fx也为R上的奇函数，所以可知两函数图象在y轴的左

2025

右两边交点个数相同，

xx...x

且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以12n0，正确.

n

故选：ACD

11.【答案】BC

2AC113

【详解】对于A，ccos1cosACc1cosBbsinC.

2226

B

2sin2

31cosBB3

由正弦定理边角互化可得：sinBsinCsinC1cosB2tan，

BB

3sinB2sincos23

22

Bππ

则B，故A错误；

263

1222

对于B，BDBABC4BDBABC2BABCcosB，

2

则12c2a2acc2a212ac2acac4，当且仅当ac取等号.

π

由余弦定理，b2a2c22accosb2a2c2ac，又c2a212ac，

3

22

则b122ac，因0ac4，则b122ac4,12b2,23，故B正确；

113

对于C，由B分析可知，ac4，则SacsinB43，故C正确；

ABC222

22

对于D，由B分析，12c2a2acacacacac124，

2222

得ac4.b2a2c2acac3acac3ac36362ac.

令act，则t4，b362t2，由三角形三边关系可得acb，

则t362t2t2362t2t23，则23t4.

则2，令2，.

abct362tftt362tt23,4

4t362t24t

则ft1，令362t24t2t2，

362t2362t2

2

因t23,4，则362t4tft0ft在23,4上单调递减，

则ftt362t2f2343，即ABC周长无最大值，恒小于43，

故D错误.

故选：BC

12【答案】52π

2π

【详解】在底面ABC中，BAC，ABAC23，

3

221

由余弦定理，可得BC2323223236，

2

设ABC的外接圆圆心为O1，半径为r1，三棱锥外接球的球心为O，半径为r2，

BC6

2r43

在中，由正弦定理可得1，解得，

ABCsinBAC3r123

2

因为PA平面ABC，OO1平面ABC，且球心O到点P,A的距离相等，

1

所以球心O到底面ABC的距离为dOOPA1，

12

2

在RtOBO中，2222，

1r2r1d23113

故该三棱锥外接球的表面积为2，

4πr252π

故答案为：52π

13.【答案】3

详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，

7

a1(12)

∴S7==381，解得a1=3．故答案为3.

12

14．【详解】由，得，

�

��+12+1�−11

�≤2�−1<22≤�<2=2+2

当为奇数时，；

�−1�+1�−1�1

���=2−2+1=2−2+2

当为偶数时，，

�−1�+2�−1�

���=2−2+1=2−2

则当为奇数时，，

��+1�−1�1�−1

�+1�

由��，解−得�=(2，−而2为)奇−数(2，则−2+2；)=2−1

�−1

当2为偶−数1时>，2025�≥12��≥13，由，解得，

��+11�−1��−1�−1

�+1�

所以�使得不等式�−�=(2−成2立+的2)的−最(2小值−为21)2.=22>2025�≥12

��+1−�n�>202*5�

15.【答案】（1）an2nN

48

（2）

49

【小问1详解】

2

设公比为，由2，有2，解得=.

qq0a38a1a2a1q8a1a1qq2

a125

又由，有1，解得.

S56262a12

12

故n1n，即数列的通项公式为n*.

an222anan2nN

【小问2详解】

1111

由bnnn1，

log22log22nn1nn1

1111111148

有T4811.

2233448494949

x2y2

16.【答案】（1）1；

43

（2）证明见解析.

【小问1详解】

x2y21a2b21

由椭圆C：1的离心率e，得e2，则4b23a2，

a2b22a24

319

由椭圆C过点(1,)，得1，解得a24,b23，

2a24b2

x2y2

所以椭圆C的方程为1.

43

【小问2详解】

依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程l：ykx1，

x2y2

1

由43消去y，得(34k2)x28kx80，

ykx1

,,(,)

设A(x1y1)Bx2y2，显然0，

8k8

则xx，xx，

1234k21234k2

y13y23(kx11)3(kx21)3kx12kx22

所以kNAkNB

x1x2x1x2x1x2

8k

11xx28k

2k2()2k2122k234k2k20.

8

x1x2x1x28

34k2

17.【答案】（1）不会；（2）详见解析

试题解析：（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

（）（），2

设Ax1,0,

Bx2,0,则x1x2满足xmx20，所以x1x22.

111

又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况.

x1x22

x11x

（2）BC的中点坐标为（2，），可得BC的中垂线方程为yx（x2）.

22222

m

由（1）可得xxm，所以AB的中垂线方程为x.

122

mm

x=，x=，

222

联立又xmx20，可得

1x221

y=xx2，y=，

2222

m1m29

所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（，），半径r，

222

m

故圆在y轴上截得的弦长为2r2（）23，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

2

18.【答案】（1）xy0

（2）①，；②证明见解析

B13,3B23,3

【小问1详解】

设A,B中点B的坐标为Bx,y，

x2y2

对于椭圆C：1上的点A3,1，由“共轭点对”A,B的定义，

124

3xy

可知直线l的方程为0，即l：xy0．

124

【小问2详解】

yx,

x3x3

①联立直线l和椭圆C的方程，得x2y2解得或，

1,y3y3

124

所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，．

B13,3B23,3

x2y2

PP1

124

②设点，，则，

PxP,yPQxQ,yQ22

xQyQ

1

124

xPxQxPxQyPyQyPyQ

两式相减得0．

124

yPyQ1

又PQ//OA，所以，所以yPyQxpxQ，

xPxQ3

yyxx

即PQPQ，线段PQ被直线l平分．

22

设点PxP,yP到直线xy0的距离为d，

1

则四边形的面积．

B1PB2QS四边形2S△PBB2B1B2d

B1PB2Q122

22

由B3,3，B3,3，得．

12B1B2333326

设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为xym，则当l1与C相切时，d取得最大值．

xym,

22

由x2y2消去y得4x6mx3m40．

1,

124

令36m248m240，解得m4，

2

当m4时，此时方程为4x224x360，即x30，解得x3，

则此时点P或点Q必有一个和点A3,1重合，不符合条件PQ//OA，

故直线l1与C不可能相切，

4

即d小于平行直线xy0和xy4（或xy4）的距离22．

2

1

故.

S四边形2B1B2d2622262283

B1PB2Q2

19．（1）函数，恒成立，

ln�ln�

�(�)=�ln�,�(�)=�ln�∀�∈(0,+∞),�(�)≥�(�)⇔�≥�

令函数，求导得，当e时，；当e时，，

ln�1−ln�

'2''

ℎ(�)=�ℎ(�)=�0<�<ℎ(�)>0�>ℎ(�)<0

函数在e上单调递增，在e上单调递减，e，

e

1

ℎ(�)(0,)(,+∞)ℎ(�)max=ℎ()=

则，由，得，即，因此，解得e，

eeee

ln�11ln�1ln�1

所以�实≥数a的�取>值0集合是ℎ(�e).≤�≤�=�=

（2）由（1）知，{e}，e，函数的定义域为，

12

�(�)=ln��(�)=ln(