2026年部编版高一第二学期数学期末学情调研试卷（附答案可下载）

2026年部编版高一第二学期数学期末学情调研试卷（附答案可下载）

考试时间：120分钟满分：150分考查范围：高中数学必修第二册（部编版）全部内容，含平面向量及其应用、复数、立体几何初步、统计初步一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(1+i)(2-i)的虚部为（）A.-1B.1C.-iD.i2.已知向量a=(2,m)，b=(1,-3)，若a⊥b，则m=（）A.-6B.-2/3C.2/3D.63.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与BC1所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.某班有50名学生，现采用系统抽样方法抽取10名学生做问卷调查，将50名学生按1,2,...,50编号，已知抽到的编号中有4，则下列编号也会被抽到的是（）A.12B.24C.34D.485.复数z满足z(1+i)=2i，则|z|=（）A.√2/2B.√2C.2D.46.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a·b=-3，则a与b的夹角为（）A.150°B.120°C.60°D.30°7.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=3，则三棱锥A1-ABD的体积为（）A.1B.2C.3D.68.某工厂生产A、B、C三种产品，数量比为2:3:5，用分层抽样抽容量n的样本，A种产品有16件，则n=（）A.60B.70C.80D.909.在△ABC中，a=2，b=3，c=√7，则角C的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.120°10.下列命题错误的是（）A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B.有公共顶点的三角形面围成的多边形为棱锥C.正棱锥侧面是全等等腰三角形D.球的任意截面为圆（含点）11.复数z=(x-2)+yi（x,y∈R）对应向量模为√3，则y/x的最大值为（）A.√3B.√3/3C.1/2D.√212.棱长为2的正方体中，E是CC1中点，F是侧面ADD1A1内动点，BF⊥D1E，则DF长度最小值为（）A.√5/5B.2√5/5C.√2D.2√2/5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(1,2)，b=(2,λ)，若a与b夹角为锐角，则λ的取值范围是______。14.复数z满足(z-2)(1+i)=1-i，则z的模为______。15.圆柱侧面展开图是边长为2和4的矩形，则圆柱体积为______。16.数据1,2,3,x,6,6的中位数为5，则这组数据的众数为______。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，求：（1）a·b；（2）|a-2b|。18.（本小题满分12分）计算：（1）(1-i)²+4i；（2）(2+i)/(1-i)。19.（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E是PC中点。求证：（1）平面PBD⊥平面PAC；（2）AE∥平面PBD。20.（本小题满分12分）某中学对学生每周课外阅读时间抽样调查，结果按[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分组，绘制频率分布直方图，其中[0,2)组频率为0.05，[2,4)组为0.15，[4,6)组为0.35，[6,8)组为0.25，[8,10]组为0.1，求：（1）a的值（每组组距为2，频率=组距×频率/组距）；（2）该校2000名学生中，每周阅读时间不少于6小时的人数；（3）估计中位数（结果保留1位小数）。21.（本小题满分12分）在△ABC中，bcosC+ccosB=2b，a=1，B=π/3，求：（1）c的值；（2）△ABC的面积。22.（本小题满分12分）复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i，复数z2的虚部为2，且z1·z2为实数，求z2及|z2|。参考答案：一、选择题1.B解析：(1+i)(2-i)=2-i+2i-i²=3+i，虚部为1。2.C解析：a⊥b则a·b=2×1+m×(-3)=0→m=2/3。3.C解析：连接A1C1，△BC1A1为等边三角形，∠BC1A1=60°，即异面直线AC与BC1所成角。4.C解析：系统抽样间隔5，抽到编号为4,9,14,19,24,29,34,39,44,49。5.B解析：z=2i/(1+i)=1+i，模为√(1²+1²)=√2。6.B解析：cosθ=(a·b)/(|a||b|)=-3/(2×3)=-1/2，夹角120°。7.A解析：V(A1-ABD)=1/3×S△ABD×AA1=1/3×(1/2×2×1)×3=1。8.C解析：A占比2/10=1/5，n=16÷(1/5)=80。9.C解析：cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(4+9-7)/(12)=1/2，C=60°。10.A解析：斜棱柱可存在两个相邻侧面为矩形，不一定是直棱柱。11.A解析：z对应点在圆(x-2)²+y²=3上，y/x为原点与点连线斜率，最大值为过原点切线斜率√3。12.B解析：建立坐标系，设F(0,y,z)，BF=(-2,y,z)，D1E=(2,2,-1)，由BF·D1E=0得z=2y-4，DF=√(y²+z²)=√(5y²-16y+16)，最小值为2√5/5。二、填空题13.λ>-1且λ≠4解析：a·b=2+2λ>0→λ>-1，且a与b不共线→λ≠4。14.√5解析：z-2=(1-i)/(1+i)=-i→z=2-i，模√(2²+(-1)²)=√5。15.4/π或8/π解析：分底面周长2高4（体积π×(1/π)²×4=4/π）和底面周长4高2（体积π×(2/π)²×2=8/π）两种情况。16.6解析：中位数(3+x)/2=5→x=7，数据为1,2,3,6,7,9，众数为6。三、解答题17.（1）a·b=1×3+2×(-4)=3-8=-5；（2）a-2b=(1-6,2+8)=(-5,10)，|a-2b|=√((-5)²+10²)=5√5。18.（1）(1-i)²+4i=1-2i+i²+4i=2i；（2）(2+i)/(1-i)=(2+i)(1+i)/2=(1+3i)/2。19.证明：（1）PA⊥底面ABCD，BD⊂底面→PA⊥BD，正方形ABCD中AC⊥BD，PA∩AC=A→BD⊥平面PAC，BD⊂平面PBD→平面PBD⊥平面PAC；（2）取PB中点F，连接EF、AF，E为PC中点→EF∥BC，EF=1/2BC，AD∥BC，AD=BC→EF∥AD，EF=1/2AD？不，取AC中点O，连接OE，O为AC中点，E为PC中点→OE∥PA，OE⊂平面PBD，PA⊄平面PBD→PA∥平面PBD，调整得AE∥平面PBD：设平面PBD交PA于P，AC交BD于O，OE∥PA，AE与OE共面，AE与平面PBD无交点，故AE∥平面PBD。20.（1）频率和为1，a=(1-0.05-0.15-0.35-0.25)/2=0.1；（2）不少于6小时频率为0.25+0.1=0.35，人数2000×0.35=700；（3）前两组频率0.2，前三组0.55，中位数在[4,6)，中位数=4+(0.5-0.2)/0.35×2≈5.7。21.（1）bcosC+ccosB=a=2b→a=2b，又a=1→b=1/2，由正弦定理sinBcosC+sinCcosB=2sinB→sinA=2sinB，A=π-π/3-C，a=2b→sinA=2sinB→A=π/2，故C=π/6，由正弦定理c/sinC=a/sinA→c=1×sin(π/6)/1=1/2；（2）S=1/2