河南省周口市等2地2026届高三数学上学期开学检测试题-附答案

考试时间：120分钟满分：150分考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.预祝你们考试成功！一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是A.57.2，3.6 B.57.2，56.4C.62.8，63.6 D.62.8，3.62.已知复数，（为虚数单位，），则复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知焦点在x轴上的椭圆其焦点F与上顶点A和左顶点B构成面积为的三角形，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（）A.3 B.4 C.5 D.65．若a=log47,b=log5A．a>c>b B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a6．已知等差数列an的前n项和Sn满足：S2025<SA．2026 B．2027 C．4048 D．40497.若函数，满足，且，则（

）A.1 B.2 C.3 D.48.甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有个红球”为，“从乙箱中取出的球是黑球”为，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列计算结果为有理数的是（）A. B.C. D.10.已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（）A.直线是的对称轴B.在上单调递减C.D.设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则11.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（）A. B.b取值范围为C.面积的最大值为 D.周长的最大值为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________13.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________14．已知数列an的通项公式是an=2n-1，记bm为an在区间[m,2m四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前48项和.16.已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点.（1）求的方程：（2）过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：.17.在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.18.定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点．（1）求“共轭点对”中点B所在直线l的方程．（2）设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点．①求点，的坐标；②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于．19.动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.（i）证明：直线过定点；（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.

参考答案1.【答案】D【详解】平均数是2.8+60=62.8,根据方差公式可知方差不变．2.【答案】D【详解】因为复数，，所以复数，所以对应的点在第四象限.故选：D.3.【答案】B【详解】由可得，由图知，，，又，则的面积为，解得，则，则椭圆的离心率为.故选：B.4.【答案】B【详解】由题意，，得，当时，，故选：B.5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B【详解】令，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故选：B.8.【答案】D【详解】根据题意，甲箱中有2个红球和2个黑球，则，，，故A不正确；乙箱中有1个红球和3个黑球，则，，，故B不正确；则有，故C不正确；则，故D正确；故选：D9.【答案】BCD【详解】，不是有理数，故A错误；，是有理数，故B正确；，是有理数，故C正确；，是有理数，故D正确.故选:BCD.10.【答案】ACD【详解】由题可知：，可知函数关于对称，又，可知函数为奇函数，所以，则，即，所以4为函数的一个周期.对A，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，故是的对称轴，正确；对B，，所以函数在的单调性与函数在单调性相同，由，，且函数为上的奇函数，所以函数在单调递增，错误；对C,，则又，所以，正确；对D，函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数，所以可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同，且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以，正确.故选：ACD11.【答案】BC【详解】对于A，.由正弦定理边角互化可得：，则，故A错误；对于B，，则，当且仅当取等号.由余弦定理，，又，则，因，则，故B正确；对于C，由B分析可知，，则，故C正确；对于D，由B分析，，得..令，则，由三角形三边关系可得，则，则.则，令.则，令，因，则在上单调递减，则，即周长无最大值，恒小于，故D错误.故选：BC12【答案】【详解】在底面中，，，由余弦定理，可得，设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为，在中，由正弦定理可得，解得，因为平面，平面，且球心到点的距离相等，所以球心到底面的距离为，在中，，故该三棱锥外接球的表面积为，故答案为：13.【答案】3详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故答案为3.14．【详解】由m≤2n-1<2m，得当m为奇数时，bm当m为偶数时，bm则当m为奇数时，bm+1由2m-1-1>2025，解得m≥12，而m为奇数，则当m为偶数时，bm+1-bm=(所以使得不等式bm+1-b15.【答案】（1）（2）【小问1详解】设公比为，由，有，解得.又由，有，解得.故，即数列的通项公式为.【小问2详解】由，有.16.【答案】（1）；（2）证明见解析.【小问1详解】由椭圆：的离心率，得，则，由椭圆过点，得，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：，由消去，得，设，显然，则，，所以.17.【答案】（1）不会；（2）详见解析试题解析：（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设,,则满足，所以.又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现AC⊥BC的情况.（2）BC的中点坐标为（），可得BC的中垂线方程为.由（1）可得，所以AB的中垂线方程为.联立又，可得所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（），半径故圆在y轴上截得的弦长为，即过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.18.【答案】（1）（2）①，；②证明见解析【小问1详解】设中点B的坐标为，对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义，可知直线l的方程为，即l：．【小问2详解】①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或，所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，．②设点，，则，两式相减得．又，所以，所以，即，线段PQ被直线l平分．设点到直线的距离为d，则四边形的面积．由，，得．设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值．由消去y得．令，解得，当时，此时方程为，即，解得，则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，故直线与C不可能相切，即d小于平行直线和（或）的距离．故.19．（1）函数f(x)=xlna,g(x)=aln令函数h(x)=lnxx，求导得h'(x)=1-lnxx函数h(x)在(0,e)上单调递增，在(e则lnaa≥1e，由a>0，得h(a)≤1e所以实数a的取值集合是{e（2）