2026年人教版高二第二学期数学期末学情调研试卷（附答案可下载）

2026年人教版高二第二学期数学期末学情调研试卷（附答案可下载）

2026年人教版高二第二学期数学期末学情调研试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，第1~8题只有一项符合题目要求，第9~12题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。1.已知空间向量a=(1,2,-1)，b=(2,0,1)，则a·b等于（）A.0B.1C.2D.32.过点P(1,2)且斜率为2的直线方程是（）A.2x-y=0B.2x+y-4=0C.x-2y+3=0D.x+2y-5=03.某班级要从5名男生、3名女生中选派2人参加社区服务，则选派的2人都是男生的概率为（）A.1/14B.5/14C.5/8D.3/84.椭圆x²/4+y²=1的离心率是（）A.√3/2B.1/2C.√5/2D.√5/45.在空间直角坐标系中，点A(1,0,2)关于原点的对称点坐标是（）A.(-1,0,-2)B.(1,0,-2)C.(0,1,-2)D.(-1,0,2)6.已知直线l:x+y-1=0与圆C:(x-2)²+(y+1)²=4，则直线l与圆C的位置关系是（）A.相交且过圆心B.相交不过圆心C.相切D.相离7.(x-2)⁴展开式中x²项的系数是（）A.6B.-6C.24D.-248.已知双曲线x²/a²-y²/16=1(a>0)的一条渐近线方程是y=2x，则a等于（）A.√2B.2C.4D.89.（多选）下列命题正确的是（）A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角α，0≤α<πB.若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanαC.任意一条直线都有唯一的倾斜角D.任意一条直线都有唯一的斜率10.（多选）已知空间几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列向量的数量积等于0的是（）A.AB·BCB.AB·B1C1C.AB·DD1D.AB·A1B111.（多选）已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=3，D(X)=2，则（）A.n=9B.p=1/3C.P(X=1)=4/9D.P(X=0)=(2/3)⁹12.（多选）已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A,B两点，若A到准线的距离为3，则（）A.B到准线的距离为4B.|AB|=9/2C.直线AB的斜率为±2√2D.原点到AB的距离为2√2/3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知空间向量a=(2,3,1)，b=(x,-6,2)，且a∥b，则x=______。14.过圆x²+y²=25上一点(3,4)的切线方程是______。15.从4名男生和3名女生中选出3人参加演讲比赛，要求既有男生又有女生，则不同的选法共有______种。16.在空间直角坐标系中，四面体ABCD的顶点分别为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，则四面体ABCD的体积为______。三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知空间向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)，求：（1）|a|；（2）a与b的夹角θ的余弦值；（3）向量b在a方向上的投影向量。18.（12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率为√2/2，点P(√2,1)在椭圆C上。（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F2作直线l与椭圆C交于A,B两点，求△ABF1的周长。19.（12分）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，从中任选3人参加学校的义务劳动。（1）求选中的3人都是男生的概率；（2）求选中的3人恰好有1名女生的概率；（3）设选中的3人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)。20.（12分）已知直线l:y=kx+1与圆C:(x-1)²+(y-2)²=9相交于A,B两点，O为坐标原点。（1）当k=1时，求弦AB的长；（2）是否存在实数k，使得OA⊥OB？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。21.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PC的中点。（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求二面角B-PC-D的余弦值。22.（12分）已知双曲线C:x²-y²/2=1，过点P(2,1)的直线l与双曲线C交于A,B两点，且P为AB的中点，求直线l的方程。参考答案：一、选择题1.B解析：a·b=1×2+2×0+(-1)×1=1，故选B。2.A解析：由点斜式得y-2=2(x-1)，整理得2x-y=0，故选A。3.B解析：总选法C(8,2)=28，选2名男生的选法C(5,2)=10，概率10/28=5/14，故选B。4.A解析：a²=4，b²=1，c²=3，离心率e=c/a=√3/2，故选A。5.A解析：关于原点对称点坐标为(-x,-y,-z)，故选A。6.A解析：圆心(2,-1)代入直线x+y-1得0，故直线过圆心，选A。7.C解析：(x-2)^4展开式x²项为C(4,2)x²×(-2)^2=6×4=24，选C。8.B解析：双曲线渐近线y=±(4/a)x，故4/a=2，a=2，选B。9.AC解析：倾斜角π/2时斜率不存在，故B、D错误，选AC。10.AC解析：正方体中AB⊥BC、AB⊥DD1，数量积为0，其余不为0，选AC。11.ABD解析：由E(X)=np=3，D(X)=np(1-p)=2，得p=1/3，n=9，P(X=1)=C(9,1)(1/3)(2/3)^8≠4/9，选ABD。12.BCD解析：A到准线距离3得A横坐标2，直线斜率±2√2，|AB|=9/2，原点到AB距离2√2/3，选BCD。二、填空题13.-4解析：a∥b得2/x=3/(-6)，x=-4。14.3x+4y-25=0解析：切线斜率与OP斜率乘积为-1，OP斜率4/3，切线斜率-3/4，整理得方程。15.30解析：总选法C(7,3)=35，减去全男生C(4,3)=4、全女生C(3,3)=1，得30。16.4/3解析：底面ABC面积2，高2，体积1/3×2×2=4/3。三、解答题17.解：（1）|a|=√(1²+1²+0²)=√2；（2）a·b=1×(-1)+1×0+0×2=-1，|b|=√((-1)²+0²+2²)=√5，故cosθ=-1/(√2×√5)=-√10/10；（3）投影向量为(a·b/|a|²)a=(-1/2)(1,1,0)=(-1/2,-1/2,0)。18.解：（1）离心率e=c/a=√2/2，故b²=a²/2，椭圆方程x²/a²+2y²/a²=1，代入P(√2,1)得2/a²+2/a²=1，a²=4，b²=2，椭圆方程x²/4+y²/2=1；（2）△ABF1周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8。19.解：（1）概率=C(4,3)/C(6,3)=4/20=1/5；（2）概率=C(2,1)C(4,2)/20=12/20=3/5；（3）X的可能值0,1,2，P(X=0)=1/5，P(X=1)=3/5，P(X=2)=1/5，分布列略，E(X)=0×1/5+1×3/5+2×1/5=1。20.解：（1）k=1时，直线y=x+1过圆心，弦长=直径=6；（2）联立方程得(1+k²)x²-2(1+2k)x+1=0，OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，代入化简得6k²+2k+2=0，判别式<0，不存在k。21.（1）证明：以A为原点建系，A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1)，AE=(1,1,1)，PB=(2,0,-2)，AE·PB=0，BC=(0,2,0)，BC⊥平面PAB故BC⊥AE，PB∩BC=B，得AE⊥平面PBC；（2）平面PBC法向量