2026年人教版高二第二学期数学期末重难点突破试卷（附答案可下载）

2026年人教版高二第二学期数学期末重难点突破试卷（附答案可下载）

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知空间向量a=(1,-2,3)，b=(2,x,-1)，若a⊥b，则x=（）A.-4B.4C.-2D.22.椭圆x²/4+y²/3=1的离心率为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/33.从5名男生和3名女生中选2人参加志愿者活动，要求至少有1名女生，不同的选法种数为（）A.15B.18C.28D.304.若直线l的方向向量为v=(2,-1,2)，平面α的法向量为n=(-4,2,-4)，则直线l与平面α的位置关系是（）A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α相交但不垂直5.某射手射击一次命中目标的概率为0.8，若他连续射击3次，则至少命中1次的概率为（）A.0.008B.0.512C.0.992D.0.86.圆(x-1)²+(y+2)²=5的圆心到直线2x+y-1=0的距离为（）A.√5B.√5/5C.1D.√27.二项式(x+1/x)^6的展开式中，常数项为（）A.15B.20C.30D.408.已知向量a=(1,0,2)，b=(0,1,-2)，则a和b的夹角为（）A.0°B.90°C.180°D.60°9.双曲线x²/3-y²=1的渐近线方程为（）A.y=±√3xB.y=±(√3/3)xC.y=±3xD.y=±(1/3)x10.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X<2)=P(X>6)=0.15，则P(2≤X<4)=（）A.0.3B.0.35C.0.7D.0.7511.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，AB=√3，AA1=2，则球O的表面积为（）A.8πB.12πC.16πD.20π12.已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为2√2，则直线l的斜率为（）A.±1B.±√2C.±2D.±√3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在题中横线上）13.已知双曲线的标准方程为y²/4-x²/9=1，则它的渐近线方程为______。14.安排3名教师到2所学校支教，每所学校至少安排1名教师，不同的安排方法共有______种。15.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，B(2,-1,5)，则向量AB的模为______。16.若(1+2x)^n的展开式中，x²项的系数为60，则n=______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PD的中点。（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）求直线AE与平面PBC所成角的正弦值。18.（本小题满分12分）已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率为√2/2，且过点(2,√2)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值。19.（本小题满分12分）某班有5名男生和4名女生，从中选3人参加学校组织的知识竞赛，要求至少有1名女生参加。（1）求不同的选法种数；（2）若选出的3人分别担任队长、副队长、队员，求恰好有1名男生和2名女生的概率。20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D为BC的中点。（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面A1BD与平面A1AD所成二面角的正弦值。21.（本小题满分12分）某工厂生产的某种产品，每箱装10件，其中可能有次品，且已知每箱有次品的概率为0.1，次品数为0、1、2的概率分别为0.8、0.15、0.05。现从某箱中随机抽取3件产品进行检验，求：（1）抽取的3件产品中恰有1件次品的概率；（2）抽取的3件产品中次品数X的分布列和期望E(X)。22.（本小题满分12分）已知双曲线Γ：x²/a²-y²/b²=1（a>0，b>0）的离心率为√2，且过点(2,√3)。（1）求双曲线Γ的标准方程；（2）若直线l与双曲线Γ交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求证：原点O到直线l的距离为定值。参考答案：一、选择题（每小题5分，共60分）1.B2.A3.B4.B5.C6.C7.B8.B9.B10.B11.C12.C二、填空题（每小题5分，共20分）13.y=±(2/3)x14.615.√1416.6三、解答题（共70分）17.（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以PA⊥CD，AD⊥CD。又PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD。又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE。因为PA=AD=2，E为PD中点，所以AE⊥PD。又CD∩PD=D，CD,PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD。（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)。向量AE=(0,1,1)，PB=(2,0,-2)，PC=(2,2,-2)。设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则n·PB=0，n·PC=0，即2x-2z=0，2x+2y-2z=0，令x=1，得z=1，y=0，所以n=(1,0,1)。设直线AE与平面PBC所成角为θ，则sinθ=|AE·n|/(|AE|·|n|)=|0×1+1×0+1×1|/(√(0²+1²+1²)×√(1²+0²+1²))=1/(√2×√2)=1/2。所以直线AE与平面PBC所成角的正弦值为1/2。18.（1）解：由离心率e=c/a=√2/2，得c²/a²=1/2，又c²=a²-b²，所以(a²-b²)/a²=1/2，即a²=2b²。椭圆过点(2,√2)，所以4/a²+2/b²=1，代入a²=2b²，得4/(2b²)+2/b²=1，即2/b²+2/b²=1，解得b²=4，所以a²=8，椭圆C的标准方程为x²/8+y²/4=1。（2）解：联立y=x+m和x²/8+y²/4=1，得x²+2(x+m)²=8，即3x²+4mx+2m²-8=0。设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则Δ=16m²-12(2m²-8)=-8m²+96>0，得m²<12。x1+x2=-4m/3，x1x2=(2m²-8)/3。|AB|=√(1+1²)×√[(x1+x2)²-4x1x2]=√2×√[(16m²/9)-4×(2m²-8)/3]=√2×√[(16m²-24m²+96)/9]=√2×√[(-8m²+96)/9]=(4√(12-m²))/3。原点O到直线l的距离d=|m|/√(1+1)=|m|/√2。所以△AOB的面积S=1/2×|AB|×d=1/2×(4√(12-m²)/3)×(|m|/√2)=(√2/3)×√(m²(12-m²))。由基本不等式，m²(12-m²)≤[(m²+12-m²)/2]^2=36，当且仅当m²=12-m²，即m²=6时取等号，此时Δ=-8×6+96=48>0，符合条件。所以S最大值=(√2/3)×√36=2√2，即△AOB面积的最大值为2√2。19.（1）解：从9人中选3人，总选法种数为C(9,3)=84，全是男生的选法为C(5,3)=10，故至少有1名女生的选法为84-10=74，即不同的选法种数为74。（2）解：选出的3人恰好有1名男生和2名女生的选法为C(5,1)×C(4,2)=5×6=30；3人担任不同职务的总情况数为A(9,3)=9×8×7=504，故所求概率P=30/504=5/84。20.（1）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，C1(0,2,2)，D为BC中点，故D(1,1,0)。向量A1B=(2,0,-2)，C1D=(1,-1,-2)。异面直线所成角θ的余弦值cosθ=|A1B·C1D|/(|A1B|·|C1D|)=|2×1+0×(-1)+(-2)×(-2)|/(√(2²+0²+(-2)²)×√(1²+(-1)²+(-2)²))=6/(√8×√6)=√3/2，即异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为√3/2。（2）解：向量A1B=(2,0,-2)，A1D=(1,1,-2)，AD=(1,1,0)。设平面A1BD的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1·A1B=0，n1·A1D=0，得2x1-2z1=0，x1+y1-2z1=0，令x1=1，得z1=1，y1=1，故n1=(1,1,1)。设平面A1AD的法向量为n2=(x2,y2,z2)，A1A=(0,0,-2)，则n2·A1A=0，n2·AD=0，得z2=0，x2+y2=0，令x2=1，得y2=-1，故n2=(1,-1,0)。两平面所成二面角φ的余弦值|cosφ|=|n1·n2|/(|n1|·|n2|)=0，故φ=90°，sinφ=1，即二面角的正弦值为1。21.（1）解：设事件Bk为“该箱中有k件次品”（k=0,1,2），根据全概率公式，P(抽取3件恰有1件次品)=P(B0)×0+P(B1)×[C(1,1)C(9,2)/C(10,3)]+P(B2)×[C(2,1)C(8,2)/C(10,3)]。代入P(B0)=0.8，P(B1)=0.15，P(B2)=0.05，计算得：C(9,2)=36，C(8,2)=28，C(10,3)=120，故概率=0.15×(36/120)+0.05×(56/120)=0.045+7/300≈0.0683。（2）解：X的可能取值为0,1,2。P(X=0)=0.8×1+0.15×[C(9,3)/120]+0.05×[C(8,3)/120]=0.8+0.105+0.0233≈0.9283；P(X=1)≈0.0683；P(X=2)=0.05×[C(2,2)C(8,1)/120]=0.05×(8/120)≈0.0034。分布列为：X=0时P≈0.9283，X=1时P≈0.0683，X=2时P≈0.0034；期望E(X)=0×0.9283+1×0.0683+2×0.0034≈0.075。22.（1）解：离心率e=c/a=√2，故b²=a²，双曲线过(2,√3)，代入得4/a²-3/a²=1，解得a²=1，b²=1，故双曲线Γ的标准方程为x²-y²=1。（2）证明：设直线l：y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立y=kx+m与x²-