2026年山东省中考数学试卷真题及答案详解（精校打印版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页二〇二六年全省初中学生学业水平考试（山东统考）数学试题注意事项：1．本试卷共8页，满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．下列实数中，比1大的数是（

）A． B．0 C． D．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里．将160000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．如图所示几何体的俯视图是（

）A． B． C． D．5．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．6．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（

）A． B． C． D．7．计算的结果是（

）A． B． C． D．8．甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图．根据图中信息，下列结论正确的是（

）A．甲的跳绳成绩总是高于乙B．甲的跳绳成绩的众数为184C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙D．甲的跳绳成绩的方差小于乙9．在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（）A． B． C． D．10．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（

）A．B．C．对任意实数，总成立D．若点，在抛物线上，则二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．11．计算：________．12．如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于________．13．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________．14．如图，一组反比例函数，，，，其中，，，为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数的图象相交，交点依次记为，，，…，．若…，则________．15．如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则的面积为________．三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．按要求完成下列各题：(1)计算：；(2)解不等式组：．17．如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点．(1)求证：；(2)判断四边形的形状，并说明理由．18．在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：请根据他们的对话解答下列问题：(1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；(2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？19．如图，是的直径，，是上的两点，，连接，，，过点作交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．20．某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查：【调查内容】关于项目式学习活动的调查问卷问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选）①绘制校园平面地图

②读书长廊地面铺设设计

③测量校园内旗杆高度④制定旅游最优路线

⑤体育运动与心率的关系探究问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选）A．查阅文献

B．上网查询

C．同伴合作

D．寻求指导

E．专业咨询问题问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？【数据处理】信息1：将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．信息2：将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表．解决困难的方式ABCDE选择人数3241333528信息3：问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济．【分析应用】根据调查信息，解答下列问题：(1)求参与调查的学生总数，并补全条形统计图；(2)若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数；(3)甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率．【决策建议】(4)假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议．21．我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．【模型制作】综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形为正方形，为悬挂重物的铅垂线，为左矩，为右矩，标有均匀刻度的和组成矩尺盘，以点为圆心，为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘．【操作发现】使用矩盘测量时，需要将左矩或右矩与视线重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数．(1)如图2，左矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为6（），可知仰角，．如图3，右矩与视线重合，角度盘读数为（），矩尺盘读数为（），则仰角________，________（结果精确到）．【应用探究】(2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端到地面的距离（的长度）．如图5，某同学站在城门楼一侧处，用矩盘的左矩与视线重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线前进，穿过城门到达城门楼另一侧处，在处将矩盘右矩与视线重合，角度盘读数为．已知，该同学眼睛到地面的高度是，求城门楼的顶端到地面的距离（结果精确到）．22．“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．(1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为．①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．(2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度．23．在中，，．【观察与发现】(1)如图1，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点与点是对应点．点，分别在边，上，，连接，．求证：．【思考与探究】(2)如图2，过点作交于点．点，分别在边，上，，连接，，．猜想线段与的数量关系，并说明理由．【拓展与延伸】(3)如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，．若，，求线段的长度．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】本题考查实数大小比较，只需将各选项的数与1比较，即可得出结果【详解】解：∵负数小于正数，0小于正数，∴，，又∵，，∴只有比1大2．A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形．3．B【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数，只需按要求确定和的值即可．【详解】解：．4．C【分析】根据俯视图的定义，从物体的正上方往下看，分析看到的平面图形形状及线条即可．【详解】解：从上面看，该几何体的俯视图为：5．B【分析】运用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的法则逐个判断选项，即可得到正确结果．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误；B、，运算正确，∴B正确；C、，∴C错误；D、，∴D错误．6．C【分析】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解．【详解】解：由作图可知，平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴；在中，7．A【分析】利用同分母分式减法法则计算后，对分子因式分解再约分即可得到结果．【详解】解：．8．D【分析】根据折线统计图读取甲、乙两人的成绩数据，分别计算或观察众数、中位数及波动情况（方差）进行判断即可．【详解】解：由图可知，甲的成绩为：；乙的成绩为：；对于A，第3天甲的成绩小于乙的成绩，故A错误；对于B，甲的成绩中所有数据都出现1次，无众数，故B错误；对于C，甲的成绩从小到大排列为，中位数为；乙的成绩从小到大排列为，中位数为；，甲的中位数大于乙，故C错误；对于D，甲成绩为平均数为：，方差为：；乙成绩为平均数为：，方差为：∵，∴甲的跳绳成绩的方差小于乙，故D正确．9．C【分析】根据函数图象获取小英和小杰的速度及运动状态信息，小英先匀速行进25分钟走了，停留15分钟后按原速继续行进；小杰全程匀速行进，25分钟走了，设出发后分钟小英追上小杰，根据两人路程相等列方程求解即可【详解】解：由图象可知，小英在内行走了，小英的速度为，∵小杰在内行走了，小杰的速度为，小英途中停留了，小英再次出发的时刻为第，此时路程为，设小英追上小杰的时刻为出发后，根据题意得：，解得，两人从起点出发，小英追上小杰的时刻是．10．B【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项．【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则.顶点的坐标为，对称轴为直线，即，，即，故A错误；设抛物线的解析式为.令，得，即抛物线与轴的交点坐标为.由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方，，解得，故B正确；根据图象得：当时，取得最大值为：，对任意实数，，∴，故C错误；∵对称轴为，∴，，当时，两点到对称轴的距离相等，∴，故D错误．11．【详解】解：．12．##720度【分析】观察图形可知该多边形为正六边形，根据多边形内角和公式代入计算即可．【详解】解：由图可知，该正多边形为正六边形，即边数，根据多边形内角和公式，得．13．【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根．【详解】解：已知方程为得或，解得，，方程的一个根是，，因此方程的另一个根为2．14．【分析】联立反比例函数与正比例函数解析式求出交点的坐标，利用两点间距离公式结合已知条件得出，进而发现的数值规律，求出的值即可求解．【详解】解：联立，解得（负值舍去）点的坐标为，点的坐标为，，，，，，，，，，，，．15．####【分析】先由折叠和推出，从而四边形是菱形，得且为中点，再利用菱形及中点构造中位线得到且，结合可证并求得，最后通过面积法求，利用相似三角形求出，从而算出的面积．【详解】解：连接，作，，点是边的中点，，根据折叠可知，，，，，由折叠可知，，，由折叠可知，，四边形是菱形，，设交点为，为中点，，且，，，，在中，，，，设交点为，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查平行四边形与折叠的综合应用，核心知识点是菱形判定、中位线性质、勾股定理及相似三角形求高，解题关键是通过折叠与平行推出四边形为菱形，从而得到垂直、中点及边长关系，进而用面积和相似计算三角形面积．16．(1)(2)【详解】（1）解：；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．17．(1)证明：∵，∴．在中，点E是的中点，∴．同理．∵，∴；(2)解：四边形是平行四边形，理由如下：∵点E，F，G是的中点，∴是的中位线，∴，∴四边形是平行四边形．【详解】（1）略（2）略18．(1)描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元．(2)购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元．【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解；（2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个，得出总费用，再利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设描金琉璃瓶单价为元，内画瓶单价为元．根据题意列方程组：，解得：，答：描金琉璃瓶单价40元，内画瓶单价30元．（2）设购买描金琉璃瓶个，则内画瓶为个．，解得（为整数）．设总费用为，则．因，则随增大而增大，故当时，最小．（元）此时内画瓶数量为，最少费用为元．答：购买14个描金琉璃瓶和6个内画瓶时总费用最少，为740元．19．(1)证明：∵，∴，∴，∵，∴，又∵是的直径，∴是的切线．(2)【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得，进而判断，由即可得出，由此判定是的切线．（2）连接，过点作，垂足为，构造矩形和直角三角形，利用求出，在中根据勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）略（2）解：连接，过点作，垂足为，∵，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，∵在中，，∴，解得：，（负值不合题意已经舍去），∴，设的半径为，即，则，∵在中，，∴，解得：，答：的半径为，【点睛】已知半径证垂直是解（1）的关键，小问（2）求圆的半径，最经典的套路就是“构造直角三角形，用勾股定理列方程”．20．(1)参与调查的学生总数为50人，补全条形统计图如下：(2)采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410人(3)两人恰好选择同一领域的概率为(4)优先开设学生选择人数较多的主题②“读书长廊地面铺设设计”和主题④“制定旅游最优路线”，活动中多分组鼓励学生同伴合作探究．（言之有理即可）【分析】（1）由图可知，主题①的人数为5人，对应占比为，据此即可求解参与调查的总人数，由主题⑤的占比为可得主题⑤的人数，再利用总数减去已知的人数可得主题③的人数，即可补全条形统计图；（2）根据采用“上网查询”的方式解决困难的占比即可求解；（3）通过列表可得一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况，即可求解；（4）根据抽查结果可知，选择主题②和主题④的占比更多，据此可以给出建议．【详解】（1）解：参与调查的学生总数为（人），选择项目⑤的学生人数为(人)，选择项目③的学生人数为（人），补全条形统计图略．（2）解：（人），∴采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约为410人．（3）解：设分别用表示科技、交通、经济三个领域，列表如下：ABCABC由表可得，一共有9种等可能的结果，其中选择同一领域的有3种情况，∴两人恰好选择同一领域的概率为．（4）略21．(1)；(2)【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出，根据，结合正切定义，求出结果即可；（2）设，