实际问题与二次函数课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4实际问题与二次函数第1课时

最大高度与几何图形面积问题1．分析实际问题中变量之间的二次函数关系（难点）．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决最大高度和图形中最大面积问题（重点）．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值．（1）y＝x2－4x－5；（2）y＝－x2－3x＋4．解：（1）开口方向：向上；对称轴：x＝2；顶点坐标：(2，－9)；最小值：－9．（2）开口方向：向下；对称轴：x＝

；顶点坐标：(，)；最大值：

．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？分析：①由a＝－5可得，图象的开口向下；②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图；③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度．解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度．即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m．一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x＝

时，二次函数有最小（大）值．用总长为60

m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？lS(30－l)l(30－l)0＜l＜30何时取最大值呢？分析：①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长是

m，场地面积S＝

m2．②由一边长l及另一边长30－l都是正数，可列不等式组：

．解不等式组得l的范围是

．分析：③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口

，对称轴是

，顶点坐标是

，与横轴的交点坐标是

，与纵轴的交点坐标是

．向下直线l＝15(15，225)(0，0)，(30，0)(0，0)lS用总长为60

m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？④根据l的取值范围及③，画出该函数图象的草图．50100S150200250O－5050l由图象知：点

是图象的最高点，即当l＝

时，S有最

（选填“大”或“小”）值．(15，225)15大用总长为60

m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？可列方程S＝l(30－l)，即S＝－l2＋30l(0＜l＜30)．即当l是15m时，场地的面积S最大为225m2．lS解：矩形场地的周长是60m，一边长为lm，所以另一边长为m.用总长为60

m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？例1

在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.）解：对于二次函数h=-4.9t²+2.8t+11,

因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m.用二次函数解决实际问题的一般步骤：1．审：仔细审题，厘清题意．2．设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数．3．列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式．4．解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题．5．检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论．例2

如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？解：设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为(20-2x)m,矩形菜园的面积S=x(20-2x),即S=-2x²+20x(0<x<10).因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m².

利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：1．根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；2．确定自变量的取值范围；3．根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；4．根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值．2．用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A．20

B．40

C．100

D．1201．已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为（

）A．25cm2

B．50cm2

C．100cm2

D．不确定BD3．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：h=-5t2+20t,则小球运动中的最大高度是

m.解：h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，∵-5＜0，∴当t=2时，h有最大值，最大值为20，204．如图，四边形的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？解：设AC＝x，四边形ABCD面积为y，则BD＝(10－x)．即当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大．最大高度和最大面积问题一个关键一个注意建立函数关系式最值在顶点处或不在顶点处取得第2课时

最大利润问题1．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题（重点）．2．能弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围（难点）．在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题．商品买卖过程中，作为商家，利润最大化是永恒的追求．如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？你知道这些数量关系吗？（1）销售额＝售价×销售量；（2）利润＝销售额－总成本＝单件利润×销售量；（3）单件利润＝售价－进价．调整价格包括涨价和降价两种情况．让我们一起来分析一下吧！（1）涨价销售①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：建立函数关系式：y＝(20＋x)(300－10x)，即：y＝－10x2＋100x＋6000．单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售20300(20＋x)(300－10x)(20＋x)(300－10x)6000②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300－10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30．③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y＝－10x2＋100x＋6000，所以当

时，y＝－10×52＋100×5＋6000＝6250．即涨价5元时，最大利润是6250元．建立函数关系式：y＝(20－x)(300＋20x)，即：y＝－20x2＋100x＋6000．（2）降价销售①设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售20300(20－x)(300＋20x)(20－x)(300＋20x)6000营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20－x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20．③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？即降价2.5元时，最大利润是6125元．综上可知，定价57.5元时，最大利润是6125元．y＝－20x2＋100x＋6000，②自变量x的取值范围如何确定？当

时，由（1）（2）的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗？求解最大利润问题的一般步骤1．建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝单件利润×销售量”；2．结合实际意义，确定自变量的取值范围；3．在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出．例王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式．(70，75)(80，70)解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，

故y与x之间的函数关系式是y＝－0.5x＋110．（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？解：设合作社每天获得的利润为w元，由（1）可知游客居住房间数为y＝－0.5x＋110，则w＝x(－0.5x＋110)－20(－0.5x＋110)＝－0.5x2＋120x－2200＝－0.5(x－120)2＋5000．因为60≤x≤150，所以当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5000，故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．方法总结

利用二次函数解决利润最大问题的一般策略(1)明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式.(2)讨论最大值时，可转化为顶点式y=a(x-h)²+k,并利用二次函数的性质确定最大值.1．某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为________元．252．进价为80元/件的某衬衣定价为100元/件时，每月可卖出2000件；售价每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出该衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________，每月利润w（元）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________________（以上关系式只列式不化简）．y＝2000－5(x－100)w＝[2000－5(x－100)](x－80)3．一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元．产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件．如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则w＝[12＋2(x－1)][80－4(x－1)]＝(10＋2x)(84－4x)＝－8x2＋128x＋840＝－8(x－8)2＋1352．因为x≤9，故当x＝8时，w有最大值，且w最大＝1352．答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元．4．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y＝ax2＋bx－75．其图象如图．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？解：由题中条件可求y＝－x2＋20x－75．∵－1＜0，对称轴为x＝10，∴当x＝10时，y值最大，最大值为25．7x/元y/元516O即销售单价定为10元时，销售利润最大为25元．（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：由对称性知y＝16时，x＝7或13．7x/元y/元516O故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元．最大利润问题建立函数关系式确定自变量的取值范围确定最大利润总利润＝单件利润×销售量＝总售价－总成本涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出第3课时

建立二次函数模型解决实际问题1．能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题（重点、难点）．2．进一步巩固二次函数的性质与图象特征．生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等，还有其他的例子吗？如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（如图）．解：设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．

当水面下降1m时，水面的纵坐标为－3．

还有其他建坐标系的方式吗？xyOxyOxyO注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式，通常应使已知点在坐标轴上．例1如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋2x＋c表示．（1）请写出该抛物线的函数关系式；解：根据题意得C(0，4)，把C(0，4)代入y＝－x2＋2x＋c得c＝4，所以抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋4．（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？∴这辆货车能安全通过．∴对称轴为x＝6，由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，当x＝2或x＝10时，y＝＞6，解：抛物线解析式为y＝－

x2＋2x＋4＝－(x－6)2＋10，例2如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；设y＝a(x－8)2＋8，xy解：如图，以O为原点建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为(8，8)．将点(0，0)代入上式，得0＝64a＋8，解得故函数的解析式为(0≤x≤16)．（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．即允许的最大高度为6米，解：由题意得车沿着隔离带