实际问题与反比例函数课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

27.3

实际问题与反比例函数

27.3.1

实际问题与反比例函数（1）1.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用函数方法解决问题的能力.2.

能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力.(重点、难点)3.能够根据实际问题确定自变量的取值范围．拉面小哥要把体积为15cm3的面团做成拉面，你能写出面条的总长度y(单位：cm)与面条粗细S(横截面积)(单位：cm2)的函数关系式吗？你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？探究1

市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)

有怎样的函数关系?解：根据圆柱体的体积公式，得

Sd=104，∴S关于d的函数解析式为(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下掘进多深?解得

d=20.如果把储存室的底面积定为500m²，施工时应向地下掘进20m深.解：把S=500代入

，得(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m.相应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)?解得

S≈666.67.当储存室的深度为15m时，底面积应改为666.67m².解：根据题意，把d=15代入

，得

思考

第(2)问实际上是已知函数S的值，求自变量

d的取值，

第(3)问则是与第(2)问相反．

探究2

码头工人每天往一艘轮船上装载30t货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：t/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系?

(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，则平均每天卸载48t.而观察求得的反比例

函数的解析式可知，t越小，v越大.这样若货物

不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48t.解：把t=5代入

，得

归纳在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答探究3

一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h平均速度用6h到达乙地.(1)甲、乙两地相距多少千米？解：80×6=480(km)答：甲、乙两地相距480km.(2)当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t

有怎样的函数关系？解：由题意，得vt=480，整理，得

(t＞0).

例

刘东家离工作单位的距离为7200m，他每天骑自行车上班时的速度为vm/min，所需时间为tmin．(1)速度v与时间t之间有怎样的函数关系？(2)若刘东到单位用30min，那么他骑车的平均速度是多少？解：解：把t=30代入函数的解析式，得答：他骑车的平均速度是240m/min.,(3)如果刘东骑车的速度最快为300m/min，那他至少需要几分钟到达单位?解：把v=300代入函数解析式，得解得t=24．答：他至少需要24

min到达单位．1.某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y(单位：公顷)与总人口

x(单位：人)的函数关系图象如图所示，则下列说法正确的是()A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C.若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D.当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷D2.A,B两城市相距720km，一列火车从A城去B城.(1)火车的速度v(km/h)和行驶的时间t(h)之间的函数关系是________．(2)若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在3h时内回到A城，则返回的速度不能低于____________．240km/h

转化回归明确数学问题分析实际情境建立函数模型注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同27.3.2

实际问题与反比例函数（2）1.通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的探究，使学生体会数学建模思想和学以致用的数学理念，并能从函数的观点来解决一些实际问题.(重点)2.掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想.(重点、难点)公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：

阻力×阻力臂=动力×动力臂.阻力动力阻力臂动力臂

探究1

小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N

和0.5m.(1)动力F

与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力?解：根据“杠杆原理”，得Fl

=1200×0.5，∴F关于l的函数解析式为当l=1.5

时，∴撬动石头至少需要400N的力.(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少?

点拨：

对于函数

，F随l的增大而减小.

因此，只要求出F=200N时对应的l

的值，就能确定动力臂l至少应加长的量解：当F=400×=200时，由200=，得3－1.5=1.5(m).∴动力臂至少要加长1.5m.想一想：1.什么是“杠杆定律”？已知阻力与阻力臂不变，设动力为F，动力臂为L，当F变大时，L怎么变？当F变小时，L又怎么变？

2.在第（2）问中，根据第（1）问的答案，可得F≤200，要求出动力臂至少要加长多少，就是要求L的什么值？由此判断我们在使用撬棍时，动力臂越长就越省力.

探究2

一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?解：根据电学知识，当U=220时，得(2)这个用电器功率的范围是多少?解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.

把电阻的最小值R=110代入求得的解析式，

得到功率的最大值

把电阻的最大值R=220代入求得的解析式，

得到功率的最小值因此用电器功率的范围为220~440W.想一想：当用电器两端的电压一定时，用电器的输出功率与它的电阻之间呈什么关系？这一特征说明用电器的输出功率与它的电阻之间满足什么函数关系？归纳：

解答问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

其中往往要用到电学中的公式PR＝U2，P指用电器的输出功率（W），U指用电器两端的电压（V），R指用电器的电阻（Ω）．例1

某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应(

)A.不大于B.小于

C.不小于D.大于CO60V/m3p/kPa1.6例2

当电压为220V时(电压=电流×电阻)，通过电路的电流I(A)与电路中的电阻R(Ω)之间的函数关系为()B.I=220RD.R=220IA.C.A

2.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)是体积V(单位：m3)的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是

.

21345V/m3ρ/(kg/m3)5O632411kg/m3

3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流

I

(单位：A)与电阻

R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过

6

A，那么用电器的可变电阻

R

应控制在()A.R≥2ΩB.0Ω＜R≤2ΩC.R≥1ΩD.0Ω＜R≤1ΩI/AR/Ω23OC反比例函数在其他学科中的应用与力学的综合与电学的综合

,杠杆原理，27.3.3

建立反比例函数模型解决实际问题1.经历的完整数学建模过程，体会数形结合思想.2.通过对散点图与函数图像的对比分析，提升从直观图形抽象出代数关系的能力.3.感受反比例函数在物理、生活、工程中的广泛应用，增强用数学眼光观察现实世界的意识.小明在课余时间找了几副度数不同的近视眼镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小.此时他测量了镜片到光斑的距离，得到的数据如下表：镜片度数

度…400625800

…镜片到光斑的距离

…0.250.160.1250.10…

（2）小亮的近视眼镜是500度，用小亮的眼镜做实验，请写出镜片到光斑的距离，并进行解释说明.（保留两位小数）

（4）如果是一副平光镜（近视度数为0），那么会不会有光斑存在？（直接写出结论，不需要解释）.

例视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表.

建立函数模型解决实际问题时的步骤．(1)采集几组有序数对；(2)将这些有序数对作为点的坐标在坐标系上描出来；(3)比对已学过的函数图象，确定这些点是在某一类函数图象的附近，并写出这一函数的一般式；(4)通过已知点的坐标确定函数一般式的参数；(5)根据实际问题确定参数的范围；(6)根据函数图象确定所研究的问题中变量的变化规律.

B2．如图，这是嘉嘉在做物理实验时，记录下的电阻R（Ω）与电流I（A）的几组对应值，其中一个数值被墨水污染，则污染的数值应该是__________．R/Ω1234I/A6

21.533．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式传播．5G技术的发展，使得依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f