因式分解法课件2026-2027学年数学人教版九年级上册

25.2.3因式分解法第1课时

用因式分解法解一元二次方程1．了解因式分解法．2．掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤，体会“降次”的数学思想方法（重点、难点）．①配方法：把常数项移到方程的右边，得x2－3x＝－2．

∴x1＝2，x2＝1．问题请用两种不同方法解下面的一元二次方程：

x2－3x＋2＝0．问题请用两种不同方法解下面的一元二次方程：

x2－3x＋2＝0．②公式法：这里a＝1，b＝－3，c＝2．∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0，

∴x1＝2，x2＝1．还有其他解法吗？根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs后物体离地面的高度（单位：m）为10x－4.9x2．问题

设物体经过

x

s落回地面，请说说你列出的方程．10x－4.9x2＝0．你能用配方法或公式法解方程10x－4.9x2＝0吗？是否还有更简单的方法呢？分解因式：左边提公因式，得x(10－4.9x)＝0，降次：把方程化为两个一次方程，得x＝0或10－4.9x＝0，求解：解这两个一次方程，得x1＝0，x2＝

．思考解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？解方程10x－4.9x2＝0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．理论依据：ab＝0a＝0或b＝0．降次结构特征：等号左边是两个因式的乘积，右边是0．例1(教材p13例4)解方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0．整体思想：公因式x－2解法一用到了整体思想，解法二用到了十字相乘法．解：（1）解法一：因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0．于是得x－2＝0，或x＋1＝0，∴x1＝2，x2＝－1．解法二：整理，得x2－x－2＝0，因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0．于是得x－2＝0，或x＋1＝0，∴x1＝2，x2＝－1．（2）平方差公式解：（2）移项、合并同类项，得4x2－1＝0．因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0．于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，

例1(教材p13例4)解方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0．（2）方法总结

用因式分解法解一元二次方程的步骤注意：不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x－1)＝x，若约去x，则会丢失x＝0这个根．1．移项：将方程的右边化为0；2．分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；3．转化：令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4．求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解．

针对训练

用因式分解法解下列方程：(1)4x2－121＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x－4)2＝(5－2x)2.

针对训练

用因式分解法解下列方程：(1)4x2－121＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x－4)2＝(5－2x)2.（3）移项，得(x－4)2－(5－2x)2＝0.因式分解，得[(x－4)＋(5－2x)][(x－4)－(5－2x)]＝0.即(1－x)(3x－9)＝0.∴1－x＝0或3x－9＝0，∴x1＝1，x2＝3.针对训练

用因式分解法解下列方程：(1)4x2－121＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x－4)2＝(5－2x)2.1．下列方程，最适合用因式分解法解的是（）A．(x－1)(x－2)＝3

B．2(x－1)2＝x2－1C．x2＋2x－1＝0

D．x2＋4x＝2B解析：选项A，整理得x2－3x－1＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项B，原方程可化为2(x－1)2＝(x＋1)(x－1)，移项后方程左边可提取公因式(x－1)，能进行因式分解；选项C，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项D，整理得x2＋4x－2＝0，方程左边不能进行因式分解，故不适合．

D3．解下列方程：（1）（2）解：（1）化为一般式x2－2x＋1＝0．因式分解，得(x－1)(x－1)＝0．∴x－1＝0，∴x1＝x2＝1．（2）因式分解，得(2x＋11)(2x－11)＝0．∴2x＋11＝0，或2x－11＝0，∴4．由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．（1）尝试．分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋

)(x＋

)；24（2）应用．

请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0．解：（2）∵x2－3x－4＝x2＋(－4＋1)x＋(－4)×1＝(x－4)(x＋1)＝0，∴x－4＝0，或x＋1＝0，∴x1＝4，x2＝－1．因式分解法概念步骤如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0原理将方程左边因式分解，右边＝01．移项；2．分解；3．转化；4．求解第2课时

一元二次方程解法的灵活选用1．能根据方程的特征，体会方程的不同解法．2．能用配方法、公式法、因式分解法解对应形式的一元二次方程（重点）．解一元二次方程的方法：直接开平方法配方法公式法因式分解法基本思路：将二次方程化为一次方程，即降次．配方法：分别用配方法、公式法和因式分解法解方程10x－4.9x2＝0．

10x－4.9x2＝0化为一般式为4.9x2－10x＝0．公式法：∵a＝4.9，b＝－10，c＝0．∴b2－4ac＝(－10)2－4×4.9×0＝100．

分别用配方法、公式法和因式分解法解方程10x－4.9x2＝0．因式分解法：

10x－4.9x2＝0，x(10－4.9x)＝0，x＝0或10－4.9x＝0，分别用配方法、公式法和因式分解法解方程10x－4.9x2＝0．一元二次方程解法的比较方法理论依据适用方程关键步骤主要特点直接开平方法平方根的定义(ax＋b)2＝n(a≠0，n≥0)型方程开平方求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程因式分解法若ab＝0，则a＝0或b＝0能化为一边为0，另一边为两个因式乘积的形式的方程分解因式求解迅速、准确，但适用范围小配方法完全平方公式所有一元二次方程配方解法繁琐，当二次项系数为1时用此法比较简单公式法配方所有一元二次方程代入求根公式计算量大，易出现符号错误配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．例

用适当的方法解方程：（1）3x(x＋5)＝5(x＋5)；

（2）(5x＋1)2＝1；分析：该式左右两边含公因式，所以用因式分解法解答较快．解：变形得(3x－5)(x＋5)＝0．即3x－5＝0，或x＋5＝0．解得分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法．解：开平方，得5x＋1＝±1．解得x1＝0，x2＝开平方，得例

用适当的方法解方程：（3）x2－12x＝4；

（4）3x2＝4x＋1．分析：二次项系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法．解：整理成一般形式，得3x2－4x－1＝0．∵Δ＝b2－4ac＝28＞0，分析：二次项系数为1，可用配方法．解：配方，得x2－12x＋62＝4＋62，即(x－6)2＝40．解得x1＝，x2＝方法总结

一元二次方程的解法选择基本思路1．一般地，当一次项系数为0时(ax2＋c＝0)，应选用直接开平方法；2．若常数项为0(ax2＋bx＝0)，应选用因式分解法；3．化为一般式(ax2＋bx＋c＝0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法．系数含根式时也可选公式法．针对训练

若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足a2－ac－ab＋bc＝0，试判断△ABC的形状．解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC为等腰三角形．1．将下列序号填到对应的横线上．①x2－3x＋1＝0；②3x2－1＝0；③－3t2＋t＝0；④x2－4x＝2；⑤2x2－x＝0；⑥5(m＋2)2＝8；⑦3y2－y－1＝0；⑧2x2＋4x－1＝0；⑨(x－2)2＝2(x－2)．适合运用直接开平方法：___________________；适合运用因式分解法：___________________；适合运用公式法：___________________；适合运用配方法：___________________．②⑥③⑤⑨①⑦⑧④2．按题目要求的方法解下列方程：

3．用适当方法解下列方程：（1）(2x＋3)2－25＝0；