第三章问题解决活动-距离最短-【导学练评】北师大版数学八年级下册

第三章问题解决活动-距离最短-【导学练评】北师大版数学八年级下册学习目标：1、能利用轴对称、平移、旋转的性质解决“两点在一条直线异侧”的最短路径问题。2、通过“将军饮马”模型的探究，体会“化折为直”的转化思想，经历将实际问题抽象为数学模型的过程。感受数学在生活中的应用价值，培养勇于探索、严谨求实的科学态度。学习重点：构建模型、转化思想。学习难点：严谨的逻辑语音证明最短距离问题。“将军饮马”由来相传亚历山大城有一位精通数学的学者海伦。某日，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传。抽象为数学模型：直线同侧有两个定点A、B,请在直线上找一点C,使AC+BC值最小。如果点A、B在直线的两侧，我们便可用两点之间线段最短，找到点C的位置了。即连接AB交直线于点C。因此，构造点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线于点C，点C就找到了。（找对称点，本质上是通过AC=A'C,把问题转化为求A'C+BC最小值）提出问题如图，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过地下通道去工厂上班，已知地下通道长a米，那么地下通道的两个出口应该设计在何处，才能使居民经过地下通道去工厂上班的线路最短？请画出这条最短线路并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度）理解问题上述问题可以抽象怎样的数学问题，试着写一写，画一画。。拟定计划（1）你以前遇到过类似的问题吗？（2）解决这个问题的最大困难时什么？（3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？实施计划（1）写出你的解决方案，（2）说明方案的合理性。（1）居民区点A沿城铁方向平移am到A，，连接A（2）作AD平行A，理论根据：AD+DC+CB=A，C+CB+a=A(两点之间线段最短）回顾反思将固定的一段线路平移，将问题转化成两点之间线段最短的问题来解答；解决最短距离问题的关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决【强调】：最短距离问题，关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。一、基础达标1：1．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A． B．C． D．2．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使ΔPAB周长最小的是()A． B．C． D．3．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（）A． B．C． D．5．如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭的道路两旁，现计划修建一座天桥，要求天桥与道路垂直，那么天桥建在何处才能使由甲到乙的路程最短？二、能力提升1：6．已知点P（0，1），Q（5，4），点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为．三、拓展迁移1：7．如图，在△ABC中，AB=AC．（1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，①若∠A=30°，求∠DBC的度数；②若△ABC的面积是12，BC=4，点M、N分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值．四、基础达标2：8．如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A．（－2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0）9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）．A．15° B．22.5° C．30° D．45°10．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（）．A．29 B．21 C．74 D．4511．已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（）米．A．1400 B．1300 C．1200 D．110012．如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新建两个储物点，两个储物点的距离固定，工作人员每天进入大门后先到甲储物点取物品。然后沿道路到乙储物点取物品，最后到另一侧的车间，请画图说明两个储物点设在何处，使工作人员所走的路程最短？五、能力提升2：13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是．六、拓展迁移2：14．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：作点P关于直线l的对称点P'，连接QP'交直线l于M.根据两点之间，线段最短，则所需管道最短.故选：C.【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.2．【答案】D【解析】【解答】解：分别在∠O的两边上找点A，B，使△PAB周长最小的是D选项故答案为：D.【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.3．【答案】A【解析】【解答】解：解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，AP+BP的最小值是4.故答案为：A.【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可.4．【答案】D5．【答案】解：如图为所求的天桥的位置.【解析】【分析】把甲点沿垂直方向平移至C，平移距离等于天桥的长度，连接C乙两点，交道路的另一边于N，作MN垂直于道路。则MN就是天桥的位置.6．【答案】(1，0)【解析】【解答】解：如图所示，作P点关于x轴对称点P∵P点坐标为(0，1)，∴P1点坐标连接P1Q，则P1Q与x轴的交点应满足(QM+PM的最小值，即为点M设P1把P1−1=b4=5k+b，解得：k=1∴y=x−1，当y=0时，x=1，∴点M坐标是(1，0)，故答案为(1，0).【分析】作P点关于x轴对称点P1，根据轴对称的性质PM=P1M,MP+MQ的最小值可以转化为QP17．【答案】（1）解：如图，DE为所作；（2）解：①∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=12×（180°-30°）=75°，∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=30°，∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=75°-30°=45°；②如图，∵DE垂直平分AB，∴NA=NB，∴BN+NM=AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号），∵当AM⊥BC时，AM的长度最小，∵12∴AM=6，∴BN+NM的最小值为6【解析】【分析】(1)利用基本作图作AB的垂直平分线即可；(2)①根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠C=75∘,再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到.∠DBA=∠A=3②如图，根据线段垂直平分线的性质得到NA=NB，利用三角形三边的关系得到BN+NM=AN+MN≥AM(当且仅当A、N、M共线时取等号)，再利用垂线段最短得到当AM⟂BC'时，AM的长度最小，然后根据三角形面积公式计算出AM即可.8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，先作点N关于AC的对称点N'，由两点之间线段最短可知BN'即为BM+MN的最小值，根据对称的性质可知.N'C=NC=5,∠ACB=∠ACN'=45在Rt△BCN'中，B故答案为：C【分析】先作点N关于AC的对称点N'，由两点之间线段最短可知.BN'即为BM+MN的最小值，根据对称的性质可知N'11．【答案】B【解析】【解答】解：点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点M，过点E作EN⊥AC于点N，由对称的性质可知，BD=ED，∠EDM=∠MDB，DM=DM，∴△MDE≌△MDB，∴BM=ME，BM+AM=ME+AM=AE，即AE为牧童要走的最短路程.∵EN=CD=500米，AN=NC+AC=700+500=1200米，∴在Rt△ANE中，AE=AN2故牧童至少要走1300米.故答案为：B.【分析】在CD边上找一点M，使AM和BM的和最小，延长BD到E点，使BD=DE，连接AE交CD边于点M，过点E作EN⊥AC于点N，则AE为所求的长即牧童最少要走的距离.12．【答案】如图，记大门为A，车间为B，道路为水平直线l，甲储物点为M，乙储物点为N，两个储物点的间距始终为m.将点A向右平移m个单位长度得到点A'，连接A'B，交直线l于点N，将线段A'N向左平移m个单位长度得到线段AM，则点M为甲储物间的位置，点N为乙储物间的位置，此时工作人员所走的路程最短.【解析】【分析】大门沿道路方向平移至点A，平移距离等于两个储物点之间的距离，连接A和车间两点，和道路相交的点就是乙储物点。根据两储物点的距离是固定的，再确定甲储物点的位置即可.13．【答案】（1）2（2）2+2【解析】【解答】解：解：(1)∵E是AB边的中点，F是AC边的中点，∴EF为△ABC的中位线，∵BC=4，∴EF=12(2)延长FC到P，使FC=PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED+FD最小，即△EDF的周长最小，∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，∵∠C=90°，∴∠EFC=90°，FC=PC=1∵在Rt△EFP中，EP=EF2∴△EDF的周长为：EF+FD+ED=2+ED+PD=2+EP=2+2故答案为：2；2+2【分析】(1)根据E是AB边的中点，F是AC边的中点可以得到EF为三角形的中位线，根据中位线定理求得EF的长即可；(2)根据对称点的性质，延长FC到P，使FC=PC，连接EP交BC于D，连