2027届新高三数学热点突破复习函数的模型及应用

2027届新高三数学热点突破复习函数的模型及应用五年高考考点函数模型1.★★(2021全国甲,文6,理4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助

视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小

数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力

的小数记录法的数据约为(

≈1.259)()A.1.5

B.1.2

C.0.8

D.0.6

C

解析将L=4.9代入L=5+lgV,得4.9=5+lgV,即lgV=-0.1=-

=lg1

,∴V=1

=

≈

≈0.8,∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.2.★★(2025北京,9,4分)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需

要的时间T=klog2N(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增

加到1.024×109个单位时,训练时间增加20h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到

4.096×109个单位时,训练时间增加

()A.2h

B.4h

C.20h

D.40h

B

解析设三次训练的时间分别为T1h,T2h,T3h,由题意得T1=klog2106,T2=klog21.024×109=k(log21024+log2106)=k(log2106+10),两式相减得T2-T1=10k=20,即k=2,则T3-T2=2log24.096×109-2(log2106+10)=2(log2106+12)-2(log2106+10)=4.故选B.3.★★★(2022北京,7,4分)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二

氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧

化碳所处的状态与T和lgP的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列

结论中正确的是

()

D

A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态解析对于A,当T=220,P=1026时,lgP=lg1026=3+lg1.026∈(3,4),由题图可知,二氧化

碳处于固态,∴A错误.对于B,当T=270,P=128时,lgP=lg128=2+lg1.28∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于液态,

∴B错误.对于C,当T=300,P=9987时,lgP=3+lg9.987≈3+1=4,由题图可知,二氧化碳处于固态,∴C错误.对于D,当T=360,P=729时,lgP=lg729=2+lg7.29∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于超临

界状态,∴D正确.故选D.4.★★★(多选)(2023新课标Ⅰ,10,5分)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量

声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg

,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,

则(

)A.p1≥p2

B.p2>10p3C.p3=100p0

D.p1≤100p2

ACD

解析对于C,由题意知20×lg

=40,即lg

=2,故p3=100p0,故C正确.对于A,由题意知

≥

,所以20×lg

≥20×lg

,所以p1≥p2,故A正确.对于B,

=20×lg

∈[50,60],所以

≤lg

≤3,所以p2∈[1

p0,103p0],即p2≤103p0=10p3,故B错误.对于D,

=20×lg

∈[60,90],所以3≤lg

≤

,所以p1∈[103p0,1

p0],因为100p2∈[1

p0,105p0],所以p1≤100p2,故D正确,故选ACD.三年模拟1.★★(2026届江苏盐城七校联盟检测,4)为了解决大尺度问题的压缩,物理学家、地震

学家里克特设计了一种度量方式:里克特震级,简称里氏震级,后来经同行古登堡的改进

和完善,得到了震级的计算公式M=lg

,其中A是被测地震的最大振幅,A0是标准地震的振幅,并通过研究得出了地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关

系lgE=4.8+1.5M.则10.0级地震释放的能量是6.0级地震的

()A.1

倍

B.103倍

C.106倍

D.109倍

C

解析设10.0级地震释放的能量为E1焦耳,6.0级地震释放的能量为E2焦耳,则lgE1=4.8+

1.5×10.0=19.8,lgE2=4.8+1.5×6.0=13.8,则E1=1019.8,E2=1013.8,则

=

=106.故选C.2.★★(2025届吉林长春质量监测,4)某学校科技创新小组准备模拟东风-31弹道导弹的

发射过程,假设该小组采用的飞行器的飞行高度y(单位:米)与飞行时间x(单位:秒)之间

的关系可以近似用函数y=alog3x+b来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米,

经过6秒时的高度为30米,欲达到50米的高度,需要

()A.15秒

B.16秒

C.18秒

D.20秒

C

解析由题意可得

解得a=20,b=10-20log32,设达到50米的高度需要t秒.则20log3t+10-20log32=50,解得t=18,所以达到50米的高度需要18秒.故选C.3.★★(2026届广东揭阳联考,6)为了研究中学生远程网络学习的学习效率,某研究小组

将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化,通过调查研究发现,研究对象在40分

钟的远程网络学习中,注意力指数y与时间t之间的关系近似满足如图所示的曲线.当t∈

[0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0

且a≠1)图象的一部分,根据专家研究发现,当注意力指数不低于80时,学习效率最佳.据

此可以判断,研究对象在40分钟的远程网络学习过程中,学习效率最佳的时间共有

()(参考数据:

≈1.414,

≈1.732,lg2≈0.301,lg3≈0.477)

A

A.22.828分钟

B.9.172分钟C.21.172分钟

D.21.477分钟解析由题意可设f(t)=k(t-12)2+82,t∈[0,14],由题图得f(14)=81,所以k=-

.又因为81=loga(14-5)+83,所以loga9=-2,解得a=

,要使学习效率最佳,需y≥80,所以

或

解得12-2

≤t≤14或14≤t≤32,所以12-2

≤t≤32,因为32-(12-2

)=20+2

≈22.828,所以学习效率最佳的时间共有22.828分钟.故选A.4.★★(2026届湖北黄冈调研,5)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安

全,根据国家有关规定:100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车,8

0mg及以上认定为醉酒驾车.某天,驾驶员张某在家喝了一定量的酒后,其血液中的酒精

含量达到了0.5mg/mL.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时40%的速度减

少,那么他至少经过______小时才能安全驾驶?(结果取整数,参考数据:lg2≈0.301,lg3

≈0.477)

()A.1

B.2

C.3

D.4

B

解析设经过x小时才能安全驾驶,由题意得50×(1-40%)x<20,则

<

,两边取对数得lg

<lg

,即xlg

<lg

,x>

=

=

≈

≈1.79,所以至少要经过2小时才能安全驾驶.故选B.5.★★★(2026届黑龙江省实验中学段考(二),5)中国的5G技术领先世界,5G技术极大地

提高了数据传输速率,最大数据传输速率C取决于信道带宽W,经科学研究表明:C与W满

足C=Wlog2

,其中S是信道内信号的平均功率,N是信道内部的高斯噪声功率,

为信噪比.当信噪比比较大时,上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W,而将信噪

比

从1000提升至4000,则C大约增加了

()(附:lg2≈0.3010)A.10%

B.20%

C.30%

D.40%

B

解析当

=1000时,C1=Wlog21001≈Wlog21000;当

=4000时,C2=Wlog24001≈Wlog24000,所以增加的百分比为

=

-1=

-1=

-1=

-1=

=

≈

≈0.2=20%.故选B.6.★★★(2026届山东大联考,6)按照国家《室内空气质量标准》规定:一般场所的二氧

化碳最高容许浓度为0.10%,某封闭办公场所会议刚结束时,测定空气中含有0.23%的二

氧化碳,使用空气净化设备后,可用函数y=0.05+k

(k∈R)求得净化tmin后二氧化碳的浓度y%,若该场所二氧化碳浓度要达到国家标准,至少需要的时间为(结果取整数,参考

数据:ln2≈0.693,ln3≈1.099,ln5≈1.609)

()A.12min

B.13min

C.25min

D.26min

B

解析当t=0时,y=0.05+k=0.23,解得k=0.18,所以y=0.05+0.18

,由0.05+0.18

≤0.1,得

≤

,即-

≤ln

,即

≥ln18-ln5=ln2+2ln3-ln5≈0.693+2×1.099-1.609=1.282,解得t≥12.82.故至少需要的时间为13min.7.★★★(2026届辽宁名校联盟期中,5)宋代词人周邦彦词中曾写“叶上初阳干宿雨,水

面清圆,一一风荷举”.已知池塘中的荷花每经过一天的生长,荷叶覆盖水面面积都是前

一天的

倍,若荷叶经过20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶大约生长了(参考数据:lg2≈0.3)

()A.15天

B.16天

C.17天

D.18天

C

解析设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则经过x天荷叶覆盖水面的面积为y,则y=a·

(x∈N*),由题意得2a·

=a·

,即241-2x=520-x,两边同取常用对数得(41-2x)lg2=(20-x)lg5,所以(41-2x)·0.3=(20-x)·0.7,解得x=17.故选C.8.★★★(2026届江西赣州十八县二十四校期中联考,8)某试验稻田中,有害昆虫的数量

y(单位:千只)与时间x(单位:月)的关系为y=a·ex(e为自然对数的底数,e=2.71828…),其中

系数a(a>0)可以通过喷洒农药等措施控制.试验员制定了实时监控比值M=

,当比值M不超过e4时,稻田产量不受影响;当M超过e4时,稻田产量会受影响.预计稻田在x=3

时收割,为确保稻田产量不受有害昆虫影响,则实数a的最大值为

()A.e3

B.3e2

C.

D.7e

D

解析由题意得M=

,令M(x)=

,则M'(x)=

(a>0),因此,M(x)在区间(0,1)和(2,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,又M(1)=ae,M(3)=

,所以当x∈[0,3]时,M的最大值是

,故

≤e4⇒a≤7e,故a的最大值