三角形章末测试卷 (3)2026-2027学年人教版八年级上册数学

三角形章末测试卷（时间：100分钟分值：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．小明在物理实验课上研究一个小木块从斜坡上滑下时的运动状态的示意图如图所示．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝77°，小木块（△DEF）在斜坡AB上，且DE∥BC，则∠EDF的度数为（）．A．13° B．15° C．20° D．23°2．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3的度数是（）．A．59° B．60° C．56° D．22°3．如图，将直尺与三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（）．A．35° B．45° C．55° D．65°4．如图（示意图），起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（）．A．增大10°B．减小10°C．增大30°D．减小30°5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE，CE分别平分∠DBC和∠DCB，则∠BEC的度数是（）．A．140° B．150° C．165° D．170°6．在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠E＝72°，∠F＝65°，则∠D的度数为（）．A．35° B．45° C．30° D．24°7．由多条线段组成的“七角形”如图所示，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数为（）．A．180° B．270° C．360° D．720°8．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥OC交BC于点D，若∠A＝80°，则∠BOD的度数为（）．A．30° B．40° C．50° D．60°9．如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A＋∠P的度数为（）．A．60° B．70° C．80° D．90°10．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，过点O作PO⊥BO交AC的延长线于点P，若∠ACB－∠A＝20°，则∠APO的度数是（）．A．10° B．20° C．30° D．40°二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2＝______．12．如图，已知动点P在射线OB上运动，∠AOB＝40°，当∠A的度数为_____时，△AOP为直角三角形．13．如图，∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角，若∠A＝70°，则∠ABD＋∠ACE＝______．14．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠1＝_________．15．已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，且一腰AC上的高BD与另一腰AB的夹角为30°．则这个等腰三角形三个内角的度数分别为___________．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．如图1，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如图1的图形称为“对顶三角形”．如图2，∠ACO和∠DBO的平分线CP和BP相交于点P，并且与AB，CD分别相交于点M，N．（1）仔细观察，在图2中有________个以线段OC为边的“对顶三角形”；（2）如图2，若∠A＝30°，∠D＝60°，求∠P的度数．17．【问题情境】在数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，过点D作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．【问题解决】（1）如图1，若∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝3∶2∶1，求∠DAC的度数．（2）如图1，若∠BED＝128°，∠DAF＝∠BAD，试猜想∠DAF与∠C之间的数量关系，并说明理由．【问题拓展】（3）如图2，若过点D作DG∥AB，交BC于点G，连接EG，交BD于点O，试探究DO是否平分∠EDG，并说明理由．18．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？19．如图，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）如图①，当∠OCD＝50°时，求∠F．（2）如图②，当C，D在射线OA，OB上任意移动时（不与点O重合），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．20．（1）如图①所示，在△ABC中，如果∠A＝60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，求∠BPC的度数．（2）如图②所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点P，求证：∠BPC＝∠A．（3）如图③所示，在△ABC中，∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想．21．已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM的长为h．若点P在△ABC的边AB上，如图所示，此时h3＝0，可得结论h1＋h2＋h3＝h．当点P在△ABC内或在△ABC外时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，试猜想h1，h2，h3与h之间有怎样的关系．22（1）小明想把木棒剪成三段，第一段长acm，第二段的长比第一段的3倍少2cm．试判断第一段的长能否为3cm，并说明理由；（2）小亮先把木棒剪成如图所示的两段，其中AB＝4cm，CD＝8cm，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，求符合条件的CP的整数长度．23．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫作∠ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图①，若∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE的度数为_______；（2）如图②，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数；（3）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”，且∠BPC＝x°，求∠A的度数（用含x的式子表示）．

参考答案1．【答案】A【解析】因为∠C＝90°，∠A＝77°，所以∠B＝13°．因为DE∥BC，所以∠EDF＝∠B＝13°，故选A．2．【答案】A【解析】因为BE为△ABC的高，所以∠AEB＝90°．因为∠C＝70°，∠ABC＝48°，所以∠CAB＝62°．因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1＝∠CAB＝31°．在△AEF中，∠EFA＝180°－31°－90°＝59°，所以∠3＝∠EAF＝59°．故选A．3．【答案】A【解析】如图．因为∠1＝55°，所以∠3＝∠1＝55°．因为∠ACB＝90°，所以∠2＝180°－∠ACB－∠3＝35°．故选A．4．【答案】C【解析】起吊物体前，设∠BDC＝x．因为∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线，所以∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝60°，所以∠DCE＝∠CBD＋∠BDC＝60°＋x；物体被吊起后，因为机械臂AB的位置不变，∠CBD＝2∠ABD，∠CBD＋∠ABD＝120°，所以∠CBD＝2∠ABD＝80°．因为∠BDC增大了10°，所以∠BDC＝x＋10°，所以∠DCE＝∠CBD＋∠BDC＝80°＋x＋10°＝90°＋x，所以（90°＋x）－（60°＋x）＝30°，所以∠DCE的变化情况为增大30°．故选C．5．【答案】B【解析】因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－60°＝120°．因为BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，所以∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，所以∠DBC＋∠DCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝60°．因为BE，CE分别平分∠DBC和∠DCB，所以∠EBC＝∠DBC，∠ECB＝∠DCB，所以∠EBC＋∠ECB＝（∠DBC＋∠DCB）＝30°．所以∠BEC＝180°－（∠EBC＋∠ECB）＝150°．故选B．6．【答案】C【解析】如图，连接AD．由飞镖模型可知，∠E＝∠BAD＋∠B＋∠ADE，∠F＝∠CAD＋∠C＋∠ADF，所以∠E＋∠F＝∠BAC＋∠B＋∠EDF＋∠C，7．【答案】A【解析】如图，由飞镖模型可知，∠2＝∠1＝∠G＋∠C＋∠F，∠3＝∠4＝∠A＋∠D＋∠E．因为∠2＋∠3＋∠B＝180°，所以∠G＋∠C＋∠F＋∠A＋∠D＋∠E＋∠B＝180°．故选A．8．【答案】B【解析】因为在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，所以∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，所以∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－（180°－∠A）＝90°＋∠A＝130°．因为OD⊥OC交BC于点D，所以∠DOC＝90°，所以∠BOD＝∠BOC－∠DOC＝40°．9．【答案】D【解析】如图．因为BP是∠ABC的平分线，所以∠ABC＝2∠ABP＝2×20°＝40°．因为CP是∠ACM的平分线，所以∠ACM＝2∠ACP＝2×50°＝100°，所以∠A＝∠ACM－∠ABC＝60°，所以∠AOB＝180°－60°－20°＝100°，所以∠POC＝∠AOB＝100°，所以∠P＝180°－50°－100°＝30°，所以∠A＋∠P＝60°＋30°＝90°．10．【答案】A【解析】如图，设BC与PO交于点D．因为∠ACB－∠A＝20°，所以∠ACB＝∠A＋20°．设∠A＝x，则∠ACB＝x＋20°，在△ABC中，∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝160°－2x．因为BO平分∠ABC，所以∠OBC＝∠ABC＝80°－x．因为PO⊥BO，所以∠BDO＝90°－∠OBC＝10°＋x，所以∠CDP＝∠BDO＝10°＋x，所以∠APO＝∠ACB－∠CDP＝10°．11．【答案】50°【解析】根据题意，可知∠CDE＝∠C′DE．因为∠1＝70°，所以∠CDE＝∠C′DE＝110°，所以∠C′DA＝∠C′DE－∠1＝40°．因为∠C′＝∠C＝90°，所以∠2＝90°－40°＝50°．12．【答案】50°或90°【解析】因为∠AOB＝40°，所以当△AOP为直角三角形时，∠A＝90°或∠APO＝90°．当∠APO＝90°时，∠A＝90°－∠AOP＝50°．所以当△AOP为直角三角形时，∠A＝90°或∠A＝50°．13．【答案】250°【解析】因为∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角，所以∠ABD＝∠A＋∠ACB，∠ACE＝∠A＋∠ABC，所以∠ABD＋∠ACE＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC．因为∠A＝70°，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，所以∠ABD＋∠ACE＝70°＋180°＝250°．14．【答案】59°【解析】因为∠C＝70°，∠ABC＝48°，所以∠CAB＝180°－∠C－∠ABC＝180°－70°－48°＝62°．因为AD为△ABC的角平分线，所以∠CAD＝∠CAB＝31°．因为BE为△ABC的高，所以∠AEB＝90°，所以∠AFE＝90°－31°＝59°，所以∠1＝∠AFE＝59°．15．【答案】60°，60°，60°或120°，30°，30°【解析】如图①，当高BD在△ABC内部时，∠ABD＝30°，所以∠A＝90°－30°＝60°，所以∠ABC＝∠C＝×（180°－60°）＝60°，所以这个等腰三角形三个内角的度数分别为60°，60°，60°．如图②，当高BD在△ABC外部时，∠ABD＝30°，所以∠BAC＝90°＋30°＝120°，所以∠ABC＝∠C＝×（180°－120°）＝30°，所以这个等腰三角形三个内角的度数分别为120°，30°，30°．综上，这个等腰三角形的三个内角的度数分别为60°，60°，60°或120°，30°，30°．16．【答案】解：（1）4（2）因为∠ACO和∠DBO的平分线CP和BP相交于点P，所以∠ACP＝∠DCP，∠ABP＝∠DBP．因为∠ACP＋∠A＝∠ABP＋∠P，∠DCP＋∠P＝∠DBP＋∠D，所以∠A－∠P＝∠P－∠D，所以∠P＝（∠A＋∠D）．因为∠A＝30°，∠D＝60°，所以∠P＝×（30°＋60°）＝45°．17．【答案】解：（1）设∠ACB＝x，则∠ABC＝2x，∠BAC＝3x．因为∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180°，所以x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，所以∠ABC＝2x＝60°，∠BAC＝3x＝90°．因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝30°．因为AD⊥BD，所以∠BAD＝90°－30°＝60°，所以∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝90°－60°＝30°．（2）∠DAF＝∠C．理由如下：因为EF∥BC，∠BED＝128°，所以∠ABC＝180°－∠BED＝180°－128°＝52°．因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠ABC＝×52°＝26°．因为AD⊥BD，所以∠BAD＝90°－26°＝64°．因为∠DAF＝∠BAD＝×64°＝32°，所以∠BAC＝∠BAD＋∠DAF＝64°＋32°＝96°，所以∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－96°－52°＝32°，所以∠DAF＝∠C．（3）DO平分∠EDG．理由如下：因为EF∥BC，所以∠EDB＝∠DBC．因为BD平分∠ABC，所以∠EBD＝∠DBG，所以∠EBD＝∠EDB．因为DG∥AB，所以∠EBD＝∠BDG，所以∠EDB＝∠BDG，所以DO平分∠EDG．18．【答案】解：（1）∠ACD＝∠B．理由如下：因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以∠ACD＋∠DCB＝∠B＋∠DCB＝90°，所以∠ACD＝∠B．（2）△ADE是直角三角形．理由如下：在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝90°．因为∠ADE＝∠B，所以∠A＋∠ADE＝∠A＋∠B＝90°，所以△ADE是直角三角形．（3）∠A＋∠D＝90°．理由如下：因为在Rt△ABC，∠C＝90°，所以∠ABC＋∠A＝90°．因为AB⊥BD，所以∠ABC＋∠DBE＝90°，所以∠A＝∠DBE．因为在Rt△DBE中，∠E＝90°，所以∠DBE＋∠D＝90°，所以∠A＋∠D＝90°．19．【答案】解：（1）因为∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，所以∠CDO＝40°，∠ACD＝130°．因为CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，所以∠ECD＝65°，∠CDF＝20°．因为∠ECD＝∠F＋∠CDF，所以∠F＝45°．（2）不变化，∠F＝45°．理由如下：因为∠AOB＝90°，所以∠CDO＝90°－∠OCD，∠ACD＝180°－∠OCD．因为CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，所以∠ECD＝∠ACD＝90°－∠OCD，∠CDF＝∠CDO＝45°－∠OCD．因为∠ECD＝∠F＋∠CDF，所以∠F＝∠ECD－∠CDF＝45°．20．【答案】（1）解：因为BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，所以∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB．所以∠BPC＝180°－（∠PBC＋∠PCB）＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－（180°－∠A）＝90°＋∠A＝120°．（2）证明：因为BP，CP分别平分∠ABC和∠ACD，所以∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD．因为∠PCD＝∠BPC＋∠PBC，∠ACD＝∠A＋∠ABC，所以∠BPC＝∠PCD－∠PBC＝（∠ACD－∠ABC）＝∠A．（3）解：∠BPC＝90°－∠A．证明如下：因为BP，CP分别平分∠CBD和∠BCE，所以∠CBP＝∠CBD，∠BCP＝∠BCE．在△PBC中，∠BPC＝180°－（∠CBP＋∠BCP）＝180°－（∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）＝180°－（∠A＋180°）＝90°－∠A．21．【答案】解：如图①所示，当点P在△ABC内时，结论h1＋h2＋h3＝h仍然成立．证明如下：连接AP，BP，CP，则S△ABC＝S△ABP＋S△BCP＋S△ACP，即BC·AM＝AB·PD＋BC·PF＋AC·P