专题04 因式分解的特殊分解法（期末复习专项训练＋6大题型）（原卷版）

专题04因式分解的特殊分解法题型1判断是否是因式分解（常考点）题型4十字相乘法因式分解（难点）题型2已知因式分解的结果求参数（重点）题型5分组分解法因式分解（难点）题型3综合提公因式和公式法分解因式（重点）题型6因式分解的应用（难点）题型一判断是否是因式分解（共5小题）1．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）下列各式中从左到右是因式分解的是（

）A．B．C．D．3．（25-26八年级上·河南开封·期末）下列变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．4．（25-26八年级上·江西·期末）下列由左边到右边的式子变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．5．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（）A． B．C． D．题型二已知因式分解的结果求参数（共5小题）6．（25-26八年级上·北京·期末）已知等式：，则________．7．（25-26八年级上·河南·期末）将因式分解为，若，则__________．8．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）若多项式因式分解的结果是，则______．9．（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值．10．（25-26八年级上·全国·期末）仔细阅读下面例题，回答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，得，则，∴解得．∴另一个因式为，m的值为．仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．(2)已知多项式中含有一个因式，试求，的值．题型三综合提公因式和公式法分解因式（共5小题）11．（25-26八年级上·河南许昌·期末）因式分解：(1)(2)12．（25-26八年级上·河南周口·期末）分解因式：(1)；(2)13．（25-26八年级上·湖南常德·期末）因式分解(1)；(2)．14．（25-26八年级上·山东·期末）因式分解：(1)(2)(3)15．（25-26八年级上·山东泰安·期末）因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．题型四十字相乘法因式分解（共5小题）16．（25-26八年级上·甘肃·期末）阅读材料：我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型．尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是．问题：(1)分解；(2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值．17．（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下：一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：．请仔细阅读材料，回答下列问题：(1)填空：________；(2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？18．（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：．上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图：这样，我们可以得到：．根据上述材料，解答下列问题：(1)用十字相乘法将分解因式的结果为________；(2)用十字相乘法将分解因式的结果为________；(3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值．19．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等式是数学学习中常见的代数模型．(1)利用多项式的乘法法则推导这个等式；(2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）；(3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．例如：分解因式2．．《十字相乘法分解因式》先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图）这样，我们也可以得到．请根据上述方法，将多项式分解因式．20．（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）阅读材料：分解因式．观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解：①竖分二次项与常数项：，②交叉相乘，验中间项：③横向写出两因式，得到．以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”．将代回原式得，进一步因式分解，得到．上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解：(1)；(2)．题型五分组分解法因式分解（共5小题）21．（25-26八年级上·山东临沂·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：甲：（分成两组）（直接提公因式）乙：（分成两组）（直接运用公式）请在他们的解法启发下解答下面各题：(1)因式分解：；(2)若，求式子的值．22．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式．又如：因式分解．我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式．请根据上面的提示和范例解决下面问题：(1)因式分解：______；(2)已知，求的值；(3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方．23．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）【阅读材料，掌握知识】爱动脑筋的康同学要把多项式分解因式，是这样想的：先把它的前两项、后两项分成两组，并分别提出公因式，，得到的结果中又会有公因式，于是再提出公因式，从而解决问题，解题过程如下．原式．这种方法称为分组法．分组法是中学数学解题中的一种重要思想方法．请仿照上面的解题方法，完成下面的问题：【理解知识，解决问题】（1）将多项式分解因式的结果是．（2）因式分解：．【提炼思想，拓展应用】（3）已知的三边长分别是，，，且满足，试判断的形状，并说明理由．24．（25-26八年级上·江西上饶·期末）请仔细阅读材料，解答下列问题：要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即．这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如：．(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)已知，求的值．25．（25-26八年级上·江西赣州·期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．例：“两两分组”：解：原式例：“三一分组”解：原式归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：(1)因式分解：；(2)已知，，是的三边长，且满足．试判断的形状．题型六因式分解的应用（共5小题）26．（25-26八年级上·河北沧州·期末）认真阅读下面材料并解决问题阅读材料：材料一：分解因式：；解：，，，，；材料二：∵无论为何值，代数式的值都大于等于，即，∴，即有最小值，最小值是．问题解决：(1)分解因式：①；②；(2)①求的最小值；②直接填空：二次三项式有最值是．27．（24-25八年级上·广东中山·期末）【阅读材料】因式分解：解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题：【数学理解】（1）因式分解：；【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数．28．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如果一个正整数能写成，均为正整数，且，我们称这个数为“平方差数”，例如：，由，可得或根据等式性质把上、下两式相加，可得或．因为，均为正整数，所以为偶数，则应舍去，从而解得所以8是“平方差数”．据此回答下列问题：(1)判断：6“平方差数”（填“是”或“不是”）；(2)如果一个三位数，它的百位为1，个位比十位大3，且该三位数各个数位上的数字之和为“平方差数”，求出所有符合条件的三位数．29．（25-26八年级上·福建泉州·期末）深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究：【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下：由于即能被4整除；而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确．（1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证；【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明：（2）是4的倍数；（3）可以表示为两个正整数的平方差．30．（25-26八年级上·江西宜春·期末）【阅读理解，自主探究】把