北师大版小学数学五年级上册《倍数与因数》单元教学设计

北师大版小学数学五年级上册《倍数与因数》单元教学设计

单元整体解读与核心素养指向

本单元隶属于“数与代数”领域，是小学阶段“数的认识”版块中从“数及其运算”向“数论初步”过渡的关键性内容。在此之前，学生已经系统认识了自然数、整数，掌握了整数的四则运算，理解了运算的意义，积累了丰富的关于“整除”的感性经验（如除法计算中的“正好分完”）。本单元旨在将这种感性经验数学化、概念化，正式引出“倍数”与“因数”这一对相互依存的概念，并以此为基础，探索2、5、3的倍数的特征，认识质数与合数。这不仅是算术知识的深化，更是学生数学思维从具体运算向抽象逻辑迈进的重要阶梯，是后续学习最大公因数、最小公倍数、分数通分约分等知识的基石。

从核心素养视角审视，本单元教学承载着多重发展目标：在“数感”方面，引导学生从“多少”的感知转向对自然数“内在关系与结构”的洞察；在“抽象能力”上，经历从具体算例中抽象出数学概念与规律的过程；在“推理意识”上，通过观察、归纳、验证来探索数的特征，初步体会数学结论的得出需要严谨的论证；在“模型意识”上，建立“倍数”“因数”“质数”“合数”的数学模型，并尝试运用模型理解和解决问题。

深入性学情分析

五年级学生的思维正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们的认知具备以下特点：

已有经验：学生能熟练进行除法计算，对于“整除”（无余数）有清晰的操作性理解。在生活与以往学习中，模糊接触过“倍数”的说法（如价格是某数的倍数）。

认知兴趣点：学生开始对数字背后的规律和“秘密”产生浓厚兴趣，喜欢具有挑战性和探索性的数学任务。

潜在困难与迷思概念：

1.概念混淆：容易将乘法中的“倍”与本单元的“倍数”概念等同；难以深刻理解倍数与因数的“相互依存”关系，往往孤立记忆。

2.范围界定困扰：对于“一个数的倍数最小是它本身，没有最大的倍数”、“一个数的因数最小是1，最大是它本身”等结论的理解存在障碍，常受自然数“大小”惯性思维的影响。

3.特征探索的方法缺失：对于如何有结构地观察数据、提出猜想、并验证猜想，缺乏系统的方法论指导。

4.质数合数分类的深度理解不足：可能将分类标准机械记忆为“因数的个数”，而未能将此分类置于整个自然数体系的结构中去理解其意义。

因此，教学设计的核心在于创设有效的认知冲突和探究活动，引导学生亲历概念的“再创造”过程，促进思维从模糊走向清晰，从表面走向本质。

单元教学目标设计（核心素养导向）

知识与技能

1.在具体情境中，理解倍数与因数的意义，能有序地找出一个自然数（100以内）的全部因数，能在1-100的自然数中找出某个自然数的所有倍数。

2.探索并掌握2、5和3的倍数的特征，能准确判断一个数是否是2、5或3的倍数，了解奇数和偶数的含义。

3.在操作与思考中，理解质数与合数的意义，能判断一个数是质数还是合数（20以内），并能运用质数表进行判断（100以内）。

4.能综合运用所学概念解决简单的实际问题。

过程与方法

1.经历“观察算式—抽象概念—举例验证—概括提炼”的概念形成过程，发展抽象概括能力。

2.通过列表、画圈、百数表等操作活动，探索并归纳数的特征，体验不完全归纳法和枚举法。

3.在分类活动中（如奇偶数、质数合数），形成分类讨论的思想，理解分类标准的一致性。

情感态度与价值观

1.在探究数的奥秘过程中，感受数学的严谨性与趣味性，增强学习数学的内在动机。

2.体会数学概念之间的普遍联系，初步建立数论知识的网状认知结构。

3.通过数学史（如哥德巴赫猜想）的渗透，感受数学文化的魅力。

单元教学整体构想与课时安排

本单元拟用6课时完成，采用“整体感知—分项探究—综合建构”的螺旋式结构。

1.第1-2课时：倍数与因数的意义。通过长方形拼摆、算式关联等多元活动，建构概念，理解关系，掌握求法。

2.第3课时：探索2、5的倍数的特征，认识奇数和偶数。

3.第4课时：探索3的倍数的特征。

4.第5课时：质数与合数。通过“拼小正方形”活动，引发按因数个数分类的需求，建立概念。

5.第6课时：单元整理与练习，知识应用与拓展。

教学实施环节详案

第一、二课时：建构“倍数”与“因数”的共生关系

一、情境启思，聚焦关系

1.活动导入：呈现“用12个完全相同的小正方形拼成一个长方形”的任务。要求学生用学具操作或画图，记录所有不同的拼法（即1×12

,2×6

,3×4

）。

2.对话生成：引导学生用乘法算式表示每种长方形的“行数”与“每行个数”。教师板书：3×4=12

,2×6=12

,1×12=12

。

3.抛出核心议题：这些算式都在说“12”这个数。在这些乘法算式中，乘数与积有着特殊的关系。今天，我们就来深入研究这种特殊的关系。

二、概念初建，语言转化

1.规范表述：以3×4=12

为例，告知学生：在数学上，我们可以说“12是3和4的倍数”，反过来，“3和4是12的因数”。请学生模仿这种说法，描述2×6=12

和1×12=12

。

2.强化联系：板书关键句：3×4=12

→12是3和4的倍数，3和4是12的因数。强调“因”与“倍”是同时存在、不可分割的，就像“妈妈”和“孩子”的关系是相对而言的。

3.辨析巩固：出示一组算式：20÷4=5

，1.5×4=6

，7×9=63

。

1.4.判断哪些算式中存在倍数与因数的关系？为什么？（明确：倍数与因数研究的是不为0的自然数，并且是整除关系。1.5×4=6

虽是乘法，但涉及小数，不在本单元讨论范围；20÷4=5

可转化为4×5=20

，所以存在关系。）

2.5.请学生用两种方式描述20÷4=5

中数的关系。

三、深度探究，掌握方法

1.任务一：如何有序地找出一个数的所有因数？

1.2.以“找出18的全部因数”为例。放手让学生尝试，收集不同方法：无序罗列、成对寻找（1×18

,2×9

,3×6

）。

2.3.引导优化：对比方法，讨论“怎样找才能不重复、不遗漏？”形成策略：从1开始试除，找到的除数和商都是它的因数，直到两个数接近或重复为止。用集合图直观表示18的因数：{1,2,3,6,9,18}

。

3.4.观察发现：引导学生观察18、12等数的因数，自主发现“一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；因数的个数是有限的。”

5.任务二：如何找出一个数的倍数？

1.6.以“找出3的倍数（5个）”为例。学生通常会用3,6,9,12,15

来回答。

2.7.方法提炼：这些数是怎么来的？（3乘1，2，3...）所以，求一个数的倍数，可以用这个数依次乘1、2、3、4……。

3.8.集合图表示：用省略号表示倍数的无限性：{3,6,9,12,15,…}

。

4.9.观察发现：讨论“一个数的最小倍数是几？最大倍数呢？”形成结论：一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。

四、关系辨析，网络构建

1.对比联系：将“因数”与“倍数”的特性进行对比表格化整理，深化理解。

2.综合练习与游戏：

1.3.“我说你猜”游戏：教师说“我是16的因数，也是8的倍数”，学生猜数是8。

2.4.解决实际问题：把24瓶饮料平均分给若干个小朋友，每人分得同样多且多于1瓶，可以分给几个人？此题综合运用因数的概念。

第三课时：探索2、5的倍数特征及奇偶数

一、问题驱动，明确方向

1.出示百数表。提问：在1-100中，哪些数是2的倍数？哪些数是5的倍数？请快速圈出来。（学生可能直接计算判断，效率低，引发认知冲突）

2.提出核心探究问题：不用除法计算，能不能一眼就看出一个数是不是2或5的倍数？它们可能有什么特征？

二、探究2的倍数特征

1.观察归纳：学生观察百数表中圈出的2的倍数（2,4,6,8,10,…），先独立观察，再小组交流发现。

2.形成猜想：这些数的个位有什么特点？（都是0,2,4,6,8）。

3.验证拓展：这个规律在100以外还成立吗？请学生任意举一个多位数的例子进行验证（如136，个位是6，136÷2=68

，成立）。

4.抽象概括：2的倍数的特征：个位上是0,2,4,6,8的数。

5.引出概念：是2的倍数的数叫偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫奇数。请学生在百数表中用不同符号标出奇数和偶数，观察其分布规律（相邻自然数，一奇一偶）。

三、迁移探究5的倍数特征

1.方法迁移：引导学生借鉴探究2的倍数特征的“观察—猜想—验证”路径，独立或小组合作探究5的倍数的特征。

2.汇报交流：明确5的倍数特征：个位上是0或5。

3.对比联系：对比2和5的倍数特征，发现都与“个位”上的数字有关。思考：为什么看个位就能判断？

四、深化理解，探寻原理

1.微视频或演示讲解：以一个两位数为例（如34），讲解34=30+4

，30肯定是2的倍数，所以整个数是否是2的倍数，就由个位上的4来决定。同理解释5的倍数。渗透“位值制”思想和代数思维雏形。

2.综合应用：

1.3.判断一个数（如350

）同时是2和5的倍数，有什么特征？（个位是0）

2.4.生活中的奇偶数应用：电影院座位号单双号排列；开关灯状态等。

第四课时：探索3的倍数特征

一、制造冲突，引发深度探究

1.复习迁移：回顾2、5的倍数特征（看个位）。提问：猜一猜3的倍数有什么特征？学生可能猜想“个位是3,6,9”。

2.举反例驳斥：出示13（个位是3，不是3的倍数）、16（个位是6，不是3的倍数）、26（个位是6，不是3的倍数）。引发认知冲突，激发探究欲望。

3.提出挑战：3的倍数特征看来和个位无关，那到底藏在哪里？

二、合作探究，发现规律

1.提供脚手架：发放百数表和研究记录单。小组任务：①圈出百数表中所有3的倍数。②横着看、竖着看、斜着看，把各个数位上的数字加起来看看，有什么惊人的发现？

2.探究与发现：学生通过计算发现：3，6，9，12（1+2=3），15（1+5=6），18（1+8=9）…这些3的倍数，其各个数位上的数字之和都是3的倍数。

3.形成猜想：一个数各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

三、严格验证，确认规律

1.大数验证：各小组举出百数表以外的多位数进行验证（如123

：1+2+3=6，123÷3=41

；471

：4+7+1=12，471÷3=157

）。

2.原理渗透（直观演示）：用小棒或计数器演示。以12

为例，1捆（10根）小棒，拆开就是9根+1根，9根是3的倍数，所以判断10是否是3的倍数，就看多出的1根。加上个位的2根，一共多出1+2=3根，所以12是3的倍数。通过此演示，让学生感悟“为什么看各个数位的和”。

3.抽象概括：师生共同总结3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

四、对比反思，提升思维

1.对比2、5的倍数特征与3的倍数特征，思考：为什么判断方法如此不同？（根源在于十进位值制计数法中，10除以2或5余数为0，而10除以3余1，因此需要关注所有数位上的“余数”总和。）

2.巩固练习：设计层次性练习，从直接判断到逆向思考（如，□7□

是一个三位数，且是3的倍数，可以怎么填？）。

第五课时：质数与合数

一、活动切入，催生分类需求

1.操作活动：给出不同数量的小正方形（如2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12个）。任务：分别用它们拼出长方形（包括正方形），并记录下所有可能的拼法（用乘法算式表示）。

2.汇报整理：将结果分类板书。

1.3.只有一种拼法（1×本身）：2，3，5，7，11。

2.4.有两种或两种以上拼法：4，6，8，9，10，12。

3.5.特殊数“1”：只有一块，无法拼成长方形（或只能拼成1×1的特殊长方形）。

二、抽象概括，建立概念

1.引导发现：引导学生关注拼法的种数，其实是由这个数的因数的个数决定的。

1.2.只有一种拼法→只有1和它本身两个因数。

2.3.有两种或以上拼法→除了1和它本身，还有其他因数。

4.揭示概念：

1.5.一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（或素数）。

2.6.一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。

3.7.1，只有一个因数，既不是质数，也不是合数。

8.即时辨析：判断前面各数，哪些是质数，哪些是合数。重点讨论“2”是质数，且是唯一的偶质数。

三、制作百以内质数表，发展思维

1.挑战：如何找出100以内的所有质数？介绍“筛法”思想。

2.实践“筛法”：

1.3.划去1（既非质数也非合数）。

2.4.圈出最小的质数2，然后划去100以内所有2的倍数（除2本身）。

3.5.圈出下一个没被划去的数3（质数），划去所有3的倍数（除3本身）。

4.6.依此进行，到什么时候可以停止了？（当下一个要圈的数的平方大于100时，即11×11=121>100

，所以筛到7即可）。

7.观察质数表：你发现了什么？（质数分布不均匀；除了2、5，质数个位多是1,3,7,9；存在像11和13这样的“孪生质数”等）。适当介绍“哥德巴赫猜想”，激发数学文化兴趣。

四、概念辨析与综合

1.讨论：所有的奇数都是质数吗？所有的偶数都是合数吗？举反例说明。

2.自然数按因数个数重新分类：1，质数，合数。构建新的认知结构。

第六课时：单元整理与拓展应用

一、知识网络自主构建

引导学生以思维导图的形式，整理本单元核心概念（倍数、因数、2、3、5倍数特征、奇数、偶数、质数、合数）及其相互关系。

二、分层练习，综合应用

1.基础巩固层：概念辨析、快速判断、按要求写数。

2.综合应用层：

1.3.破译密码：一个电话号码，第一位是10以内最大的质数；第二位是5的最小倍数；第三位是最小的合数；第四位既是2的倍数又是3的倍数的最小一位数；第五位是最小的两个质数的积…。

2.4.解决问题：把60个乒乓球装在盒子里，每盒装得