工程力学课标教案

《工程力学》课程标准【课程名称】工程力学 【课程编码】【课程类别】专业必修课 【适用专业】机械类和近机类等专业【授课单位】 【总学时】40【编写执笔人】 【编写日期】 一、课程定位和课程设计（一）课程制定依据为适应“校企合作、工学结合”的人才培养模式改革，我们结合各类院校机械类和近机类等专业的建设，以学生获得专业知识、职业技能和职业生涯可持续发展能力为目标，以能力为本位，以学生为中心，以应用为宗旨，以实践为导向，融知识传授、能力培养、素质教育于一体，同时，结合现代工程技术的发展态势来制定本课程，进一步突出了知识的实践性和应用性要求，以满足培养机械类高技能人才的需要。（二）课程性质与作用《工程力学》是机械类和近机类等专业的基础专业课程，它涉及诸多学科分支，并拥有广泛的工程技术应用背景，对学生工程实践能力的培养至关重要。本课程的任务是在掌握经典力学的基础知识、基本理论和基本分析方法的基础上，力求科学地反映当前钢结构工程中各类新型结构的力学性能特点，培养学生分析基本结构受力组成、平衡计算、几何组成、计算简图选取及计算强度、刚度、稳定性等问题的能力，促进学生处理实际工程问题能力的提高。（三）课程设计思路本课程为了更好地满足该课程的教学要求，实现人才培养目标，结合了现代工程技术的发展态势，总结了多年的教学经验，确定了课程内容。本课程通过设置“素质启慧园”模块来突出课程教材铸魂育人功能，在基本概念的论述上准确严谨、逻辑清晰，在定理与公式的讲解上简明扼要、突出重点，在重要知识点后设置了若干精炼的例题并进行了详细解答，坚持“必需与够用为前提，应用与实用为目的”的指导思想，在内容编排上简化了复杂公式的推导过程，着重讲解重点知识内容，同时，书中设有“注意”“提示”“拓展阅读”等模块。二、课程目标本课程在加强学生基础知识及其基本技能的同时，还重视培养学生的合作、表达能力。通过本课程的学习，学生应达到以下要求：知识目标（1）了解力、刚体的基本概念、静力学公理、约束与约束反力的概念，以及工程中常见的约束类型。（2）了解平面汇交力系合成和平衡的几何法，熟练掌握平面汇交力系合成和平衡的解析法，掌握力矩的概念、合力矩定理，以及平面力偶理论。（3）了解平面任意力系的简化结果、物系的平衡、静定和超静定问题，熟练掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。（4）了解摩擦的概念、分类及相关的定律、摩擦角、自锁现象，以及滚动摩擦。（5）了解空间力的分解及力在空间直角坐标轴上的投影，掌握空间汇交力系的合成和平衡条件，掌握空间力对点之矩和力对轴之矩的定理和关系；了解空间任意力系的平衡条件和平衡方程，以及几种求重心的常用方法。（6）了解轴向拉伸与压缩的概念、轴向拉伸与压缩时截面上的内力和应力，掌握拉压变形与胡克定律；了解材料在拉伸与压缩时的力学性能，掌握许用应力与安全系数的概念和计算公式，熟练掌握轴向拉伸与压缩时的强度计算；了解应力集中的概念。（7）了解剪切与挤压的概念，熟练掌握剪切与挤压的实用计算。（8）了解扭转的概念，了解扭矩的概念，掌握扭矩图的绘制，熟练掌握圆轴扭转时横截面上的应力计算，熟练掌握圆轴扭转时的强度计算，掌握圆轴扭转时的变形及刚度计算。（9）了解平面弯曲的概念及梁的计算简图、梁的剪力和弯矩的概念、剪力、弯矩与载荷集度间的关系，并掌握其计算方法，熟练掌握绘制剪力图和弯矩图的方法，熟练掌握纯弯曲正应力的分布规律和计算公式，熟练掌握正应力强度条件及其应用，掌握梁的弯曲变形及刚度条件。（10）了解应力状态的概念、广义胡克定律和强度理论，熟练掌握平面应力状态的分析方法。（11）了解组合变形的概念，掌握拉（压）弯组合变形的强度计算，掌握扭弯组合变形的强度计算。（12）了解压杆稳定性的基本概念和提高压杆稳定性的措施，熟练掌握欧拉公式，掌握压杆稳定性的计算方法。（13）了解动载荷的概念，并掌握构件在动载荷下的应力计算、交变应力的概念，以及疲劳极限与疲劳强度的概念。能力目标（1）进行结构简化、选取力学模型。（2）能正确绘制结构以及构杆的受力图。（3）能描绘低碳钢拉伸变形的特征和各类指标。（4）能正确分析各类结构的内力和内力图。（5）能根据虚功原理确定计算特定截面位移的方案。（6）会根据基本组成规则判断体系是否几何不变。（7）能绘制梁在直接荷载和间接荷载作用下反力、内力量值的影响线。（8）能利用影响线计算固定荷载作用下量值的大小。素质目标（1）树立胸怀祖国、矢志创新的科学精神。（2）树立崇尚科学、追求真理的理想信念。（3）激发勇担时代使命、投身国家建设的爱国情怀。（4）培养严谨、缜密的逻辑思维。（5）培养脚踏实地、求真务实的工作作风。（6）树立追求真理、严谨治学的求实精神。（7）开阔审美视野，提高审美能力。（8）提高自主学习、探究学习的意识。（9）提高抽象的逻辑推理能力。（10）提高客观认识和分析事物的科学探究能力。三、课程内容与教学要求本课程共分为四个部分，分别为：静力学、运动学、动力学和材料力学。本课程具体的课程内容和课时分配如表1所示。表1《工程力学》课程内容及课时分配表学期所用教材课程内容学时第一学期工程力学静力学绪论（1）工程力学的研究内容2440（2）工程力学的研究方法（3）工程力学的学习目的第1章静力学基础（1）静力学基本概念（2）静力学公理（3）约束和约束反力2（4）受力分析与受力图第2章平面基本力系（1）平面汇交力系合成和平衡的几何法24（2）平面汇交力系合成和平衡的解析法（3）力矩和合力矩定理2（4）平面力偶理论第3章平面任意力系（1）平面任意力系的简化22（2）平面任意力系的平衡方程（3）物系的静定与超静定问题第4章空间力系（1）空间汇交力系24（2）空间力对点之矩和力对轴之矩（3）空间力系的平衡方程2（4）重心第5章摩擦（1）滑动摩擦22（2）摩擦角与自锁现象（3）考虑摩擦时物体的平衡问题（4）滚动摩擦简介材料力学第6章轴向拉伸与压缩（1）轴向拉伸与压缩的概念24（2）轴向拉伸与压缩时截面上的内力（3）轴向拉伸与压缩时截面上的应力（4）拉压变形与胡克定律（5）材料拉伸与压缩时的力学性能2（6）许用应力与安全系数（7）轴向拉伸与压缩时的强度计算（8）拉压超静定问题简介（9）应力集中的概念第7章剪切与挤压（1）剪切与挤压的概念24（2）剪切与挤压的实用计算（3）剪切胡克定律第8章扭转（1）扭转的概念22（2）扭矩和扭矩图（3）圆轴扭转时横截面上的应力（4）圆轴扭转时的强度计算（5）圆轴扭转时的变形及刚度计算第9章弯曲（1）平面弯曲的概念及梁的计算简图24（2）梁的剪力和弯矩（3）剪力图和弯矩图（4）弯矩、剪力与载荷集度间的关系（5）纯弯曲正应力2（6）弯曲切应力简介（7）梁的弯曲变形及刚度条件（8）梁的合理设计第10章应力状态与强度理论（1）应力状态的概念22（2）平面应力状态分析（3）广义胡克定律（4）强度理论简介第11章组合变形（1）组合变形的概念22（2）拉（压）弯组合变形的强度计算（3）扭弯组合变形的强度计算第12章压杆稳定（1）压杆稳定性的基本概念22（2）欧拉公式（3）压杆稳定性的计算（4）提高压杆稳定性的措施第13章动载荷与交变应力（1）动载荷22（2）交变应力机动2四、课程实施（一）教学条件我校十分注重建设和完善本课程教学设施，如多媒体教室、网络教学平台、网络数据库等。同时，我校有一支强大的师资队伍，可以为本课程的教学出谋划策。（二）教学方法建议本课程遵循“教师引导，学生为主”的原则，采用讲解法、多媒体演示法、自主探究法、演示法、讨论法、翻转课堂法等多种方法，努力为学生创设更多知识应用的机会。讲解法：主要用于讲授本课程的基础知识、行业岗位知识等理论性较强的知识。多媒体演示法：在讲解过程中，借助音频、视频、图片等直观手段来呈现教学内容，在激发其学习兴趣和积极性的同时，不断提高其知识储备能力和综合文化素质。自主探究法：教师引导学生根据生活情景自己提出问题，并有计划、有目的、有步骤地进行研究与探索，从而获得结论，学习方法，培养创新实践能力的一种教学模式。演示法：教师通过展示各种实物、教具，进行示范性实验，或通过现代化教学手段，使学生获取知识的教学方法，它对提高学生的学习兴趣发展观察能力和抽象思维能力，减少学习中的困难有重要作用。讨论法：根据知识点，鼓励学生运用所学知识进行主题讨论，使其在讨论中逐步提升交际能力、思辨能力、解决实际问题的能力等。翻转课堂法：坚持学生的主体地位，鼓励学生在课上对自己学到的知识点进行分享和讲解，并对其讲解进行补充和评价，不断完善学生的知识结构，加深其对所学知识的理解。教师在教学过程中，可根据学生的实际情况灵活选用教学方法，因材施教，尽量照顾到每一个学生的学习需求。（三）教学评价与考核要求课程的教学评价由形成性测评（40%）和终结性测评（60%）组成，其考核要求如下：1．形成性测评形成性测评考核学生在学习本课程过程中的学习情况和实际应用能力的发展情况，包括出勤考核（10%）、课堂参与程度考核（10%）、作业完成质量考核（20%）等。（1）出勤考核本项考核通过课前点名考核学生的课堂出勤率。迟到15分钟以内每次扣1分，迟到15分钟以上或无故缺勤一节课每次扣2分，该项考核累计最多扣10分。（2）课堂参与程度考核本项考核主要通过课堂提问和课堂积极发言来评判学生的学习态度、学习主动性、课堂参与程度，以及学生的思辨能力、问题解决能力及其对课堂教学知识的掌握情况等。只要学生能按时上课听讲，即可获得5分的基本分。学生上课发言一次，即可另外获得0.5分，课堂发言最多可得5分。学生的最后成绩为“5+课堂发言得分”。（3）作业完成质量考核本项考核主要通过学生作业来检测其对教学主体内容的掌握与理解程度、实际应用知识的能力、自主学习能力、信息收集与处理能力等。每次作业成绩按照相应标准而定，学生作业质量划分为优秀（10分）、良好（8分）、中等（7分）、及格（6分）和不及格（0分）五个档次。最后的作业成绩为学生作业完成质量成绩的平均数。2．终结性测评终结性测评主要考核学生在学完本课程后所达到的水平，通过期末考试进行考核。期末考试由闭卷笔试（60%）组成，主要评估学生对本门课程基本知识的掌握情况与综合运用能力。五、课程资源开发与利用（一）教材使用1．建议教材2．参考书目（二）网络资源

《工程力学》

教案课时分配表章序课程内容课时备注1绪论+静力学基础42平面基本力系43平面任意力系24摩擦25空间力系46轴向拉伸与压缩47剪切与挤压28扭转49弯曲410应力状态与强度理论211组合变形212压杆稳定213动载荷与交变应力214机动2总计40课题静力学基本概念、静力学公理课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）了解力、刚体的基本概念。（2）了解静力学公理。素质目标：树立胸怀祖国、矢志创新的科学精神。教学重难点教学重点：力、刚体的基本概念、静力学公理。教学难点：力、刚体的基本概念、静力学公理。教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家了解什么是静力学？力产生和刚体的概念。【学生】完成课前任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】自我介绍，与学生简单互动【学生】聆听、互动【教师】讲一些涉及静力学方面的知识，并提出问题：物体运动的根本原因是什么？比如人为什么能在地面上行走？你对力了解多少？在静力学中，将研究以下三个问题。（1）物体的受力分析：即分析某个物体共受几个力，以及每个力的大小、方向和作用点位置。（2）力系的等效替换：为了研究一个复杂力系对物体的作用效应和力系的平衡条件，通常需要将复杂力系简化，即用一个最简单的力系来代替原有的复杂力系，并使其对物体的作用效应不变，这种简化方法称为力系的等效替换。若两个力系对物体的作用效应相同，则称二力系等效，或者称二力系为等效力系。在特殊情况下，如果一个力和一个力系等效，则称此力为此力系的合力，而力系中的各力均称为合力的分力。（3）力系的平衡条件：即研究物体平衡时，作用在物体上的各力系所需满足的条件。静力学在工程技术中有着广泛的应用。力系的平衡条件是工程中设计构件、结构和机器零件时进行静力学计算的基础。静力学将推导出各力系的平衡条件，建立平衡方程，并应用它来求解工程中的平衡问题。【学生】聆听、记录、理解、思考回答传授新知【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，展开力的概念讲解一、力的概念【教师】请学生结合教材，讨论力的概念，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解力的相关知识人们在日常生活和生产实践中，对力有许多感性认识。随着观察的不断深入，人们发现，力可以改变物体的运动状态。例如，原来静止的物体，在力的作用下，可以由静止开始运动；而原来运动的物体，在力的作用下，速度可以发生变化。人们的这些感性认识经过概括和总结，并提高到理性认识后，便形成了力的科学概念。力是物体间的相互作用，在力学范围内，这种作用的效应是使被作用物体的运动状态发生变化，同时使该物体发生变形。其中，力使被作用物体的运动状态发生变化的效应称为运动效应，又称外效应；力使物体发生变形的效应称为变形效应，又称内效应。静力学仅限于研究刚体，不考虑物体的变形，故只涉及力的外效应，而不考虑力的内效应。【师生互动】【教师】请举例说明，生活中有关力的例子【学生】思考、回答【教师】总结点评学生的回答力对物体的作用效应取决于三个要素，即力的大小、方向和作用点，简称力的三要素。力是一个既有大小又有方向的物理量，所以力是矢量。如图1-1所示，该矢量的长度按一定比例尺表示力的大小；矢量的箭头表示力的方向；矢量的始点或终点表示力的作用点；矢量所在的直线（即直线mn）表示力的作用线。图1-1【注意】【教师】教师强调注意以下问题：书中矢量用加粗字母（如F，）表示，而力的大小用普通字母（如F，）表示，这两种符号代表的意义是不同的，初学者需要特别注意。为了测定力的大小，必须确定力的单位。在国际单位制（SI制）中，力的单位为N或kN，其中请说一说，我国新能源汽车技术的优势。【学生】聆听、思考、记忆二、刚体的概念【教师】请学生结合教材，讨论刚体的概念，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解刚体的相关知识刚体是指在任何情况下都不会变形的物体。这一特征表现为刚体内任意两点的距离永远保持不变。显然，刚体并不存在，它是人们在认识客观世界时，把实际物体抽象化后所得到的理想模型。实际上，任何物体受力后都会有或多或少的变形。但是一些物体，如工程结构的构件或机器的零件等，受力后变形非常微小。在这种情况下，对于静力学研究的问题来讲，忽略变形不仅不会对研究结果产生明显的影响，而且还可以使问题大大简化。此时，把实际物体抽象为刚体是合理和必要的。静力学的研究对象仅限于刚体，故静力学又称为刚体静力学。一切变形体平衡问题的研究都是以刚体静力学理论为基础的。【师生互动】【教师】请举例说明，生活中哪些物体可以近似看成刚体？【学生】思考、回答【教师】总结点评学生的回答三、力系和平衡的概念力系是指作用于物体上的所有力的集合。根据力的作用线分布的不同，力系可分为平面力系和空间力系。各力的作用线位于同一平面内的力系称为平面力系；各力的作用线不在同一平面内的力系称为空间力系。平衡是指物体相对于惯性参考系保持静止或做匀速直线运动的状态。平衡是物体机械运动的一种特殊形式。在宇宙中没有绝对的平衡，一切平衡都是相对的、暂时的。【头脑风暴】【教师】组织学生讨论力与平衡之间的关系。【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答四、静力学公理公理是人们在生产生活实践中，将长期积累的经验通过反复实践检验，所总结出的最基本、最普遍的客观规律。静力学公理是人们经过反复实践总结出来的最基本的力学规律。【教师】请学生结合教材，讨论静力学公理，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解静力学公理的相关知识公理1（二力平衡公理）：作用在同一刚体上的两个力使刚体保持平衡的充分必要条件是：两个力的大小相等、方向相反，且作用在同一直线上（简称等值、反向、共线）。二力平衡公理用矢量公式表示即为（1-1）公理1表明了作用在刚体上的最简单力系平衡时必须满足的条件。工程上将只受两个力作用而处于平衡状态的构件称为二力构件或二力杆。根据二力平衡公理，作用于二力构件上的两个力一定沿作用点的连线方向，如图1-2所示。图1-2【头脑风暴】【教师】组织学生扫码观看“力的平行四边形法则”视频（详见教材），并说出力的平行四边形法则内容。【学生】扫码观看视频、思考、回答【教师】总结点评学生的回答。公理2（力的平行四边形法则）：作用在物体上同一点的两个力可以合成为仍作用于该点的一个合力，合力的大小和方向由以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线矢量来确定。如图1-3（a）所示，合力等于两个分力的矢量和，用矢量公式表示即为（1-2）公理2给出了两个共点力的合成方法。如图1-3（b）所示，由，和构成的三角形称为力三角形，这种求合力的方法称为力的三角形法则。（a）（b）图1-3公理3（加减平衡力系原理）：在作用于刚体的任意力系上，加上或减去任意平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。公理3是研究力系等效替换的理论依据。根据加减平衡力系原理，可以导出以下推论。推论1（力的可传递性）：作用于刚体上的力可以沿其作用线移动至该刚体内的任意一点，而不改变力对刚体的作用效应。推论1表明，作用于刚体的二力，若矢量相等且其作用线重合，则它们各自对刚体单独作用的效果完全相同。推论2（三力平衡汇交原理）：作用于刚体上互不平行的三个力使刚体处于平衡时，这三个力的作用线必在同一平面内，且作用线汇交于同一点。证明：如图1-4所示，在刚体的A，B，C三点上分别作用有三个力，，，其互不平行，且为平衡力系。根据力的可传递性，将力和移动到作用线的交点O，然后根据力的平行四边形法则，得到合力。则力和必为平衡力系。根据二力平衡公理，力和必共线。又因与和共面，且相交于点O，故亦与和共面，且相交于点O。图1-4【师生互动】【教师】组织学生讨论推导公理3推论2，并邀请学生向大家讲解推导过程。【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答公理4（作用力与反作用力公理）：任何两个物体相互作用的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一条直线，并分别作用在两个物体上。如图1-5（a）所示，重为P的球放在支承面上。此时，球对支承面的作用力为，支承面同时给球一个反作用力，如图1-5（b）所示。（a）（b）图1-5公理4概括了物体间相互作用的关系，表明作用力和反作用力总是成对出现。由于作用力和反作用力分别作用在两个物体上，故不可视为平衡力系。【亲身体验】【教师】组织学生每2位学生一组，双手互推，感受作用力与反作用力，并邀请学生回答作用力与反作用力的特点【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答公理5（刚化公理）：变形体在某一力系作用下处于平衡时，若将此变形体视为刚体（刚化），则平衡状态保持不变。【教师】请学生结合教材，讨论公理5的内涵，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解公理5的相关知识公理5表明，当变形体处于平衡时，必然满足刚体的平衡条件。因此，可以将刚体的平衡条件应用到变形体静力学中。但应注意，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件而不是充分条件。如图1-6所示，一段柔性绳在等值、反向、共线的两个拉力作用下处于平衡状态，若将变形后平衡的柔性绳换成刚性杆，其平衡状态保持不变；反之，如果刚性杆在等值、反向、共线的两个压力作用下处于平衡状态，若将其换成柔性绳，则平衡状态必然被破坏。图1-6【学生】聆听、思考、理解、记忆探索活动【教师】请学生根据本节课所讲内容，讨论力在人类生活中的应用？，并随机邀请学生回答以下问题说一说，“借力打力”实际上是运用了力的哪个性质？【学生】阅读、思考、回答【教师】结合学生回答，总结力的性质，并鼓励回答较好的同学【学生】思考、讨论，如遇问题可询问老师课堂小结【教师】简要总结本节课的要点力、刚体的基本概念静力学公理【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】扫描作业布置二维码，布置课后作业请根据课堂知识，完成以下作业：（1）简述力的概念。（2）简述刚体的概念。（3）简述静力学公理及其对应的推论。【学生】完成课后任务教学反思

课题约束和约束反力、受力分析与受力图课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）了解约束与约束反力的概念，以及工程中常见的约束类型。（2）熟练掌握受力分析的方法，并能准确地画出受力图。素质目标：树立崇尚科学、追求真理的理想信念。教学重难点教学重点：约束与约束反力的概念，以及工程中常见的约束类型、受力分析的方法，准确画出受力图。教学难点：准确画出受力图。教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家了解约束与约束反力的特点，了解如何进行受力分析。【学生】完成课前任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】讲一些约束与约束反力的相关知识，激发学生学习兴趣，并提出问题：你认为约束和约束反力有什么特点？有些物体，如飞行中的飞机、炮弹和火箭等，它们在空间的位移不受任何限制。我们把这种位移不受限制的物体称为自由体。此外，我们在生活中还经常发现一些物体的位移受到了限制。例如，放在桌子上的书不会掉下来；轨道支承车轮不让它任意运动；地脚螺钉限制机器底座不让它任意运动；轴承限制轴只能转动而不能任意平动等。在力学中，我们把这种位移受到限制的物体称为非自由体；将限制某物体位移的周围物体称为对该物体的约束；将约束对物体的作用力称为约束反力。例如，上述各例中的书、车轮、机器底座和轴等，都是非自由体；桌子、轨道、地脚螺钉和轴承等，都是约束；桌子对书的作用力、轨道对车轮的作用力、地脚螺钉对机器底座的作用力以及轴承对轴的作用力等，都是约束反力。约束反力的方向一定与约束所能限制物体位移的方向相反，这是确定约束反力方向的一般原则。根据约束的性质正确地判断约束反力的方向是十分重要的，应当引起足够的重视。约束反力一般都是未知的，确定约束反力是受力分析的重要任务。为了与约束反力相区别，我们把约束反力以外的力称为主动力，如重力、风力、水压力以及作用在物体上的推力或拉力等。在静力学中，可以通过约束反力与主动力之间的平衡方程求解约束反力。【学生】聆听、记录、理解、思考、回答传授新知【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，展开约束和约束反力相关知识的讲解【教师】请学生结合教材，讨论光滑接触面约束与柔性约束，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解光滑接触面约束与柔性约束相关知识一、光滑接触面约束两物体直接接触时，忽略接触面之间的摩擦力而构成的约束称为光滑接触面约束。因为接触面是光滑的，所以物体可以自由地沿接触面滑动或离开接触面，但不可能沿接触面的法线方向压入面内。因此，光滑接触面约束对物体的约束反力必然作用在接触点处，作用线沿着接触面的公法线方向，并指向被约束物体。通常用表示这种约束反力，如图1-7中的，和等。二、柔性约束由不可伸长的绳索、皮带和链条等柔性物体形成的约束称为柔性约束，如图1-8（a）和图1-8（c）所示。这类约束的特点是能承受拉力，但对压缩和弯曲的承受能力差。该特性决定了柔性约束的约束反力只能沿柔性体的轴线方向，且背离被约束物体，如图1-8（b）和图1-8（d）所示。【分组讨论】【教师】组织学生分为两组，分别讨论光滑接触约束与柔性约束的特点，并随机邀请学生起立回答两种约束的特点。【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答三、光滑铰链约束两构件用圆柱形销钉连接起来，在不计销钉与销孔之间的摩擦力时，即构成光滑铰链约束。在实际工程中，这类约束的形式主要有径向轴承、圆柱铰链和固定铰支座等。【教师】请学生结合教材，讨论光滑铰链约束，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解光滑铰链约束相关知识1．径向轴承径向轴承又称向心轴承。如图1-9（a）所示，径向轴承装置的轴可在孔内任意转动，也可以沿孔的中心线移动，但轴承阻碍着轴沿径向向外移动。如图1-9（b）所示，当轴承和轴在A点接触时，轴承对轴的约束反力作用在接触点A处，并沿公法线指向轴心。2．圆柱铰链两构件用直径相同的圆柱形孔通过圆柱形销钉相连接，即构成圆柱铰链，如图1-10（a）和图1-10（b）所示。光滑圆柱铰链约束的结构简图如图1-10（c）所示。这种铰链对构件的约束反力通过铰链中心，并在接触点处指向构件，如图1-10（d）所示。约束反力的作用点位置（即接触点位置）、方向和大小由构件所受主动力确定。为方便计算，通常将约束反力用垂直于销钉轴线的两个正交分力，代替，如图1-10（e）所示。3．固定铰支座如果光滑圆柱铰链的两个构件中有一个固定于地面或机架上作为支座，即构成固定铰支座，如图1-11（a）所示。固定铰支座对构件约束反力的方向特征与圆柱铰链约束相同，其结构简图如图1-11（b）所示。由于主动力不确定，固定铰支座对构件约束反力的作用线也不能预先确定，可以用大小未知的两个正交分力表示，如图1-11（c）所示。【头脑风暴】【教师】组织讨论光滑铰链约束的特点，并随机邀请学生起立回答其特点。【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答对于上述三种约束，尽管它们的具体结构不尽相同，但构成约束的性质是相同的，都可以表示为光滑铰链约束。此类约束的特点是只限制两物体径向的相对移动，而不限制两物体绕铰链中心的相对转动和沿轴向的位移。四、其他约束在桥梁、屋架等工程结构中，为了允许由于温度变化而引起结构跨度的自由伸长或缩短，通常采用辊轴支座。为了区分铰链支座与辊轴支座，一般前者称为固定铰支座，而后者称为活动铰支座。辊轴支座是将固定支座用几个刚性辊轴支承在光滑表面上构成的，它是由光滑接触面和光滑铰链两种约束组合而成的一种复合约束，如图1-12（a）所示，其简图如图1-12（b）所示。辊轴支座的约束反力垂直于支承面，且通过铰链中心，其方向与被约束体的受力情况有关，通常用表示其法向约束反力，如图1-12（c）所示。此外，两端用光滑铰链与其他构件相连且不考虑自重的二力杆称为链杆。链杆约束可以阻止被连接物体之间沿链杆轴线方向的相对运动，因此，其约束反力必沿链杆两端铰链的连线，指向不能预先确定，通常假设链杆受拉。【师生互动】【教师】组织学生总结约束的特点，并讨论约束和受力的关系。【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答，并讲解物体的受力分析五、物体的受力分析静力学的主要任务就是研究物体处于平衡状态时，作用在物体上的力系所要满足的平衡条件，并利用平衡条件去解决工程实际中的平衡问题。作用在物体上的力通常分为主动力和被动力两种。主动力是使物体运动或产生运动趋势的力，这种力一般是已知的；被动力是指约束对物体的约束反力，这种力是未知的，一般需要根据已知力求出。因此，在分析物体的受力情况时，应明确物体受到哪些力的作用，以及每个力的作用点和方向，哪些力是已知的，哪些力是未知的，这一过程称为物体的受力分析。六、物体的受力图为了清楚地表示物体的受力情况，需要将所研究的物体从周围物体中分离出来，以相应的约束反力代替约束，并画上所有的主动力。表示物体受力情况的简明图形称为受力图，将研究对象所受到的作用力全部画出的过程称为画受力图。画受力图的具体步骤如下。（1）确定研究对象，取分离体：待分析的某物体或物体系统称为研究对象。明确研究对象后，将其从周围物体或约束中分离出来，即解除研究对象所受到的全部约束，单独画出相应的简图，这个步骤称为取分离体。（2）画主动力：画上该研究对象上所受的全部主动力。（3）画约束反力：根据约束特性，正确画出所有的约束反力，并标明各力的符号及受力位置。正确画出物体的受力图，是分析和解决力学问题的基础。下面通过例题来说明物体受力分析以及画受力图的方法与技巧。【接龙抢答】【教师】组织学生接龙抢答出画受力图的步骤。【学生】思考、抢答【教师】总结点评学生的回答例1-1如图1-13（a）所示，用力F拉重为P的圆柱体，该圆柱体受到台阶的阻碍。试画出这种情况下该圆柱体的受力图（摩擦力忽略不计）。解：（1）以圆柱体为研究对象，并单独画出其简图。（2）画主动力，即重力P和通过圆柱体轴心的拉力F。（3）画约束反力。以A处为例，圆柱体在A处受到台阶的约束，不计摩擦，该处为光滑面约束，所以圆柱体在A处所受到的约束反力的方向应通过接触点A，沿接触点A处的公法线指向圆柱体轴心。圆柱体在B处所受到的约束反力的情况与A处类似。圆柱体的受力图如图1-13（b）所示。例1-2如图1-14（a）所示，重为P的球A处于平衡状态。试画出该球的受力图（所有接触均为光滑接触）。解：（1）取球A为研究对象，并单独画出其简图。（2）画主动力，即重力P。（3）画约束反力。首先，分析球A在与弧面接触处受到的约束反力。球A与弧面的接触属于点接触，球A受到该弧面的约束为光滑面约束，所以球A在该处所受到的约束反力的方向应通过接触点，并沿接触点处的公法线指向球A的球心。其次，分析球A受到绳索的约束反力。球A受到绳索的约束属于柔性约束，该约束的约束反力沿柔性体的轴线并背离被约束的物体（即球A），即该约束反力为拉力。球A的受力图如图1-14（b）所示。【牛刀小试】【教师】组织学生分为四组，其中第一、三组练习例1-3，第二、四组练习例1-4（详情见教材），并邀请学生到讲台上为大家讲解解题步骤。【学生】讨论、思考、作答、讲解【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的同学。并向学生概括总结画受力分析图时的注意事项：（1）明确研究对象。根据求解需要，选定一个或多个物体为研究对象，或以整体为研究对象。（2）确定研究对象的受力数目。分析所有以研究对象为受力体的力，同时要明确这些力的施力者，做到既不凭空增加力，也不漏掉一个力。通常情况下，可以先画已知的主动力，再画约束反力，并遵循约束反力原则。这要求我们既要熟练掌握几种常见约束的约束反力特点，又能灵活运用静力学公理及推论，如二力平衡公理、三力平衡汇交原理等，并对未知约束反力的方向做出正确判断。（3）根据上述对研究对象的受力分析，画出受力图。【学生】聆听、思考、理解、记忆探索活动【教师】请学生阅读材料“牛顿：经典力学体系的建立者”（详见教材），并随机邀请学生回答以下问题说一说，牛顿在力学方面的贡献，我们应该向牛顿学习哪些品质？【学生】阅读、思考、回答【教师】结合学生回答【学生】聆听、思考、讨论，如遇问题可询问老师课堂小结【教师】简要总结本节课的要点约束与约束反力的概念，以及工程中常见的约束类型。受力分析的方法，并能准确地画出受力图。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】扫描作业布置二维码，布置课后作业请根据课堂知识，完成以下作业：练习题1-1（详见教材）练习题1-2（详见教材）【学生】完成课后任务教学反思

课题平面汇交力系合成和平衡的几何法、解析法课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）了解平面汇交力系合成和平衡的几何法。（2）熟练掌握平面汇交力系合成和平衡的解析法。素质目标：激发勇担时代使命、投身国家建设的爱国情怀。教学重难点教学重点：平面汇交力系合成和平衡的几何法、解析法。教学难点：平面汇交力系合成和平衡的解析法。教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家了解平面汇交力系合成和平衡的几何法和解析法。【学生】完成课前任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】讲一些平面汇交力系的相关知识，激发学生学习兴趣，并提出问题：当画出物体的受力分析图后，该如何合成计算？力系主要分为平面力系和空间力系两大类，这两类力系均可进一步细分为汇交力系、平行力系和任意力系。其中，汇交力系又称共点力系，是指各力的作用线汇交于一个公共点的力系；平行力系是指各力的作用线相互平行的力系；任意力系又称一般力系，是指各力的作用线既不平行也不相交于一点的力系。各种类型的力系在工程实际中都会遇到，从力系的分类可以看出，空间任意力系是各种力系中最复杂、最普遍的一种形式，而其他力系都只是它的特殊形式。平面汇交力系是工程中一种比较简单的常见力系，其简化理论是研究一般力系的基础。【学生】聆听、记录、理解、思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，展开力在平面直角坐标轴上的投影相关知识的讲解【教师】请学生结合教材，讨论力在平面直角坐标轴上的投影，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解力在平面直角坐标轴上的投影相关知识一、力在平面直角坐标轴上的投影1．投影的概念如图2-1所示，力F作用在物体的A点上，在力F的作用线所在的平面内取直角坐标系Oxy，从力F的起点A和终点B分别向x轴和y轴作垂线，得垂足a，b和，，则线段ab被冠以相应的正号或负号，称为力F在x轴上的投影，用表示；线段被冠以相应的正号或负号，称为力F在y轴上的投影，用表示。2．投影的正负规定已知力F的大小为F（恒为正值），它和x轴的夹角为α（取锐角），则力F在坐标轴上的投影，为（2-1）力的投影是代数量，它的正负规定如下：如果由起点a（）到终点b（）的方向与x（y）轴的正向一致，则力F的投影取正值；反之取负值。【师生互动】【教师】提出以下问题，组织学生讨论，并邀请学生回答。（1）当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影是多少？（2）当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上投影是多少？【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答，并鼓励回答较好的同学（1）当力与坐标轴垂直时，力在该坐标轴上的投影等于零；（2）当力与坐标轴平行时，力在该坐标轴上投影的绝对值等于力的大小。3．已知投影求力如果已知力F在坐标轴上的投影为和，则力F的大小和方向即表示为（2-2）式中，α为力F与x轴所夹的锐角。力F的具体指向由投影和的正负号确定，但不能获得力的作用点。4．力沿坐标轴的正交分解根据平行四边形公理的逆过程，可将力F沿坐标轴正交分解为，两个力，正交分力的大小等于力F在坐标轴上投影的绝对值，即（2-3）显而易见，投影（）的绝对值等于分力（）的大小，投影（）的正负号指明了分力（）是沿该轴的正向还是反向。可见，利用力在坐标轴上的投影可以同时表明力沿直角坐标轴分解时分力的大小和方向。【师生互动】【教师】提出以下问题，组织学生讨论，并邀请学生回答。分力和投影的区别是什么？【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答，并鼓励回答较好的同学分力是力矢量，而投影是代数量。分力的作用点在原力的作用点上，而投影与力的作用点的位置无关。二、平面汇交力系合成的几何法【头脑风暴】【教师】组织学生扫码观看“力的多边形法则”视频，并邀请学生回答力的多边形法则的内容。【学生】扫码观看、思考、回答【教师】总结点评学生的回答，讲解平面汇交力系合成的几何法设作用于刚体上且平面汇交于点O的力系为，，，，如图2-2（a）所示。现求此力系的合力，根据刚体内部力的可传递性，可将各力沿其作用线移动至交点O，如图2-2（b）所示。然后，连续运用力三角形法则，将这些力依次相加，便可得到合力的大小和方向。为此，首先将力，合成得到它们的合力，再将力，合成得到它们的合力，最后将，合成得到力系的合力，如图2-2（c）所示。合力的作用线通过汇交点O，如图2-2（d）所示。从图2-2（c）可以看出，在求该力系的合力时，更简单的办法是，在由，，，构成的开口多边形中，连接第一个力的起点a和最后一个力的终点e，得到的矢量即为合力。由各分力构成的多边形称为力多边形。这种利用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则，这种方法即为平面汇交力系合成的几何法。总之，平面汇交力系可以简化成一个合力，合力的大小和方向等于各分力的矢量和（几何和），合力的作用线通过汇交点。如果该平面汇交力系由n个力构成，用表示该力系的合力，则有或简写成（2-4）合力对刚体的作用效应与原力系对该刚体的作用效应相同。【师生互动】【教师】提出以下问题，组织学生讨论，并邀请学生回答。平面汇交力系简化为一个合力的过程中，是不是简单的代数和？应注意哪些问题？【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答，并鼓励回答较好的同学三、平面汇交力系平衡的几何条件【教师】请学生结合教材，讨论平面汇交力系平衡的几何条件，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解平面汇交力系平衡的几何条件的相关知识平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零，即（2-5）当平面汇交力系平衡时，由力系中各分力构成的力多边形自行闭合。求解平面汇交力系的平衡问题时，可用图解法，即按比例先画出封闭的力多边形，然后用直尺和量角器在图上量出所要求的未知量；也可根据图形的几何关系，用三角函数公式计算出未知量，这种解题方法称为几何法。例2-1如图2-3（a）所示，圆柱滚子重，半径，若它能越过高的台阶，拉力F的大小至少为多少？解：（1）以圆柱滚子为研究对象。（2）对研究对象进行受力分析，受力图如图2-3（b）所示。（3）利用平衡条件画出力多边形。圆柱滚子能越过台阶时，地面对滚子的约束反力。此时由重力P、拉力F以及台阶对滚子的约束反力构成的力三角形如图2-3（c）所示。（4）利用图形中的几何关系求解未知量，即故若圆柱滚子能越过台阶，拉力F的大小至少为11.5kN。例2-2如图2-4（a）所示，在水平梁AB的中点C有一作用力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60°角，试求固定铰支座A和滚动支座B的约束反力。解：（1）以梁AB为研究对象。（2）对研究对象进行受力分析。此时由主动力P、固定铰支座A处的约束反力以及滚动支座B处的约束反力构成平衡力系，且三力汇交于点D，梁AB的受力图如图2-4（b）所示。（3）利用平衡条件画出力多边形，由P，和构成的力三角形如图2-4（c）所示。（4）利用图形中的几何关系求解未知量，即故固定铰支座A和滚动支座B的约束反力大小分别为17.3kN和10kN，方向如图2-4（b）所示。【牛刀小试】【教师】组织学生分为四组，分组练习例2-3（详情见教材），并邀请学生到讲台上为大家讲解解题步骤。【学生】讨论、思考、作答、讲解【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的同学。并向学生概括总结利用几何法求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：（1）确定研究对象。根据问题中已知和未知各力的作用位置，选取相关物体为研究对象，并把它从周围物体中分离出来。（2）画受力图。在所确定的研究对象上，画出其所受各力，包括所有主动力和约束反力。（3）作力多边形。从已知力出发，按照力矢量首尾相连的原则，构成一条折线；然后按照力系平衡时力多边形自行闭合的条件，确定未知力的大小和方向。（4）求解未知力。利用力多边形中显示的几何关系求解未知力。四、平面汇交力系合成的解析法【教师】请学生结合教材，讨论平面汇交力系合成的解析法，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解平面汇交力系合成的解析法的相关知识设由n个力组成的平面汇交力系作用于刚体上，那么此力系的合力在直角坐标系中的解析表达式为（2-6）其中，i，j分别为沿坐标轴x，y正方向的单位矢量；，为合力在x，y轴上的投影，即有（2-7）其中，θ为合力与x轴的夹角。利用平面汇交力系几何法合成的力多边形可以证明如下定理：合矢量在某轴上的投影等于各分矢量在该轴上投影的代数和，该定理称为合矢量投影定理。其表达式为（2-8）其中，和，和，…，和分别为各分力在x轴和y轴上投影。合力的大小和方向余弦分别为（2-9）【师生互动】【教师】提出以下问题，组织学生讨论，并邀请学生回答。平面汇交力系合成几何法和解析法有什么不同？【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答，并鼓励回答较好的同学2.2.2平面汇交力系平衡的解析条件【教师】请学生结合教材，讨论平面汇交力系平衡的解析条件，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解平面汇交力系平衡的解析条件的相关知识由平面汇交力系平衡的充要条件，得（2-10）即为平面汇交力系的平衡方程。故用解析法表示平面汇交力系平衡的充要条件是：各力在两坐标轴上投影的代数和分别等于零。下面通过例题来说明如何利用解析法求解平面汇交力系的平衡问题。例2-4如图2-6（a）所示，C为杆BD的中点，试求杆BD在B，C处所受的力。解：（1）以杆BD为研究对象。（2）对研究对象进行受力分析。首先杆AC为二力杆，C处约束反力应沿AC轴线方向。此时由主动力F、固定铰支座B处的约束反力以及圆柱铰链C处的约束反力构成平衡力系，且三力汇交于一点，杆BD的受力图如图2-6（b）所示。（3）建立直角坐标系，列出平衡方程，即（4）由上述平衡方程可得为负值，说明杆BD在C处所受约束反力实际方向与图示方向相反。例2-5如图2-7（a）所示，已知压板夹紧力，不计工件自重，试求工件对V形铁的压力。解：（1）以工件为研究对象。（2）对研究对象进行受力分析。由主动力F以及V形铁在A，B处对工件的约束反力和构成平衡力系，且三力汇交于圆心。工件的受力图如图2-7（b）所示。（3）建立直角坐标系，列出平衡方程，即（4）由上述平衡方程可得工件在A，B处对V形铁的压力与和等值反向。【牛刀小试】【教师】组织学生分为四组，分组练习例2-6（详情见教材），并邀请学生到讲台上为大家讲解解题步骤。【学生】讨论、思考、作答、讲解【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的同学。并向学生概括总结利用解析法求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：（1）确定研究对象。（2）对研究对象进行受力分析，并画出受力图。（3）建立适当的坐标系，求合力的投影或列出平衡方程。为方便计算，所选的坐标系尽量与某个未知力垂直，以避免方程的联立求解。（4）利用平衡方程求得结果。所求结果的绝对值表示未知力的大小，正、负号表示步骤（2）中假设的该力的方向是否与实际方向一致，正号表示方向一致，负号表示方向相反。【学生】聆听、思考、理解、记忆探索活动【教师】请学生根据本节课所讲内容，用解析法求解教材例2-1、2-2、2-3，用几何法求解教材例2-4、2-5、2-6，并随机邀请学生回答几何法和解析法求解合力的特点。【学生】思考、解答、回答【教师】结合学生回答，总结学生在解答过程中遇到的问题，并鼓励做的较好的同学【学生】聆听、思考、讨论，如遇问题可询问老师课堂小结【教师】简要总结本节课的要点平面汇交力系合成和平衡的几何法。平面汇交力系合成和平衡的解析法。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】扫描作业布置二维码，布置课后作业请根据课堂知识，完成以下作业：思考题2-1、2-2、2-3（详见教材）【学生】完成课后任务教学反思

课题力矩和合力矩定理、平面力偶理论课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握力矩的概念和合力矩定理。（2）掌握平面力偶理论。素质目标：培养严谨、缜密的逻辑思维。教学重难点教学重点：平力矩的概念和合力矩定理、平面力偶理论。教学难点：平力矩的概念和合力矩定理、平面力偶理论。教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家了解力矩的概念，了解合力矩定理和平面力偶理论。【学生】完成课前任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】讲一些力矩的相关知识，激发学生学习兴趣，并提出问题：什么是力矩？力对刚体的作用效应是使刚体的运动状态发生改变，包括使刚体发生移动和转动。其中，移动效应用力矢量来度量，转动效应则用力矩来度量。【学生】聆听、记录、理解、思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，展开力矩和合力矩相关知识的讲解【教师】请学生结合教材，讨论力对点之矩的概念，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解力对点之矩的相关知识一、力对点之矩如图2-9所示，用扳手转动螺母时，作用于扳手A点的力F可使扳手与螺母一起绕螺母中心点O转动。螺母中心到力的作用线的距离d越大，转动效果就越好，且越省力。由此可知，力的这种转动效应不仅与力的大小、方向有关，还与转动中心至力的作用线的垂直距离d有关。因此，我们将Fd定义为力使物体绕点O产生转动效应的度量，称为力F对点O之矩，简称力矩，用表示，即（2-11）式中，点O称为力矩中心，简称矩心；d称为力臂；Fd称为力矩的大小；为三角形OAB的面积；“”号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动为正，顺时针转动为负，故平面上的力矩为代数量。力矩的单位为或。【头脑风暴】【教师】组织学生讨论以下问题，并邀请学生回答。同一个力对不同点产生的力矩相同吗？表示力矩时应注意什么？【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答，并鼓励回答较好的同学。一般来说，同一个力对不同点产生的力矩是不同的。因此，不指明矩心而求力矩是无任何意义的。在表示力矩时，必须标明矩心。【教师】请学生结合教材，讨论力矩的性质和合力矩定理，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解力矩的性质和合力矩定理的相关知识二、力矩的性质从力矩的定义式（2-11）可知，力矩具有以下几个性质。（1）力F对点O之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置即力臂d有关。（2）力F对于任意一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。（3）力F的大小等于零或者力的作用线通过矩心时，力矩等于零。三、合力矩定理平面汇交力系的合力对于平面内任意一点的力矩等于所有分力对于该点之矩的代数和，其表达式为（2-12）该式适用于任何有合力存在的力系。例2-7如图2-10（a）所示，力F作用于支架的C点上。已知，，。试求力F对其作用面内点A之矩。解：如图2-10（b）所示，为便于计算，可先把力F分解为水平和垂直方向上的两个分力，并利用合力矩定理求解，即负号表示力F使支架绕矩心A顺时针方向转动。【牛刀小试】【教师】组织学生分为四组，练习例2-8（详情见教材），并邀请学生到讲台上为大家讲解解题步骤。【学生】讨论、思考、作答、讲解【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的同学。四、力偶和力偶矩【教师】请学生结合教材，讨论什么是力偶和力偶矩，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解力偶和力偶矩的相关知识在生产和生活实践中，为了使物体发生转动，常常在物体上施加一对大小相等、方向相反的平行力。例如，用螺丝刀装卸螺钉、汽车司机旋转方向盘、钳工用丝锥攻丝等都属于上述情况。我们把这种大小相等、方向相反、作用线平行的一对力（）称为力偶，如图2-12（a）所示。力偶中两个力所在的平面称为力偶的作用平面；两力的作用线之间的垂直距离称为力偶臂，用d表示。力偶对物体的作用效果，实质上是组成力偶的两个力作用效果的叠加。由于这两个力大小相等、方向相反，所以它们在任意方向上的投影之和等于零，其作用效果是使物体平移的运动效应相互抵消，并使物体转动的运动效应相互叠加。因此，力偶对物体作用的外效应仅使物体发生转动。力偶使物体转动的效应，通常用力偶矩来度量。力偶矩表示为，也可以简写成M，它等于力偶中力的大小与力偶臂的乘积，即（2-13）式中的正负号表示力偶在其作用面内的转向，逆时针为正，顺时针为负。其转向可由右手法则确定，如图2-12（b）所示。力偶对其作用面内任意一点的矩都等于力与力偶臂的乘积，与矩心位置无关，这是力偶矩与力矩的主要区别。力偶矩和力矩的单位相同，都是。对于同一平面内的两个力偶，若它们的力偶矩代数值相等，则它们对刚体的作用等效。【师生互动】【教师】组织学生讨论力偶与力偶矩之间的关系，该如何计算力偶矩，并邀请学生回答。【学生】讨论、思考、作答、讲解【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的同学。五、平面力偶系的合成和平衡条件【教师】请学生结合教材，讨论平面力偶系的合成和平衡条件，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解平面力偶系的合成和平衡条件的相关知识作用在同一平面内同一物体上的若干力偶组成的力系称为力偶系。力偶系合成的结果为合力偶，合力偶矩M等于各分力偶矩的代数和，即（2-14）由合成结果可知，平面力偶系可由一个合力偶代替，则力偶系平衡时，合力偶矩等于零。因此，平面力偶系平衡的充要条件是：所有各分力偶矩的代数和等于零，即（2-15）例2-9如图2-13所示，长方体上作用有两个力偶，其中，

。求此力偶系之合力偶矩。解：各力偶的力偶矩为故此力偶系之合力偶矩为其值为负，说明合力偶矩为顺时针方向。例2-10如图2-14所示，工件上作用有三个力偶，且工件放在光滑水平面上。三个力偶的矩分别为，固定光滑螺柱A和B的距离。求两个光滑螺柱所受的水平力。解：（1）以工件为研究对象。（2）分析工件受力情况。工件在水平面内受到三个力偶和两个约束反力的作用而处于平衡状态。根据力偶系合成定理，三力偶的合成结果为一个合力偶，此时若使系统保持平衡，螺柱A和B对工件的水平约束反力和应构成一个力偶，且与原合力偶平衡。假设由和构成的力偶的方向如图2-14所示，则有，且满足力偶系平衡条件。（3）根据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量，该方程为将题中条件代入后，可解得。求得结果为正，说明力和的方向与假设方向相同。故两个光滑螺柱A和B所受的水平力与力和等值反向。【牛刀小试】【教师】组织学生分为四组，练习例2-11（详情见教材），并邀请学生到讲台上为大家讲解解题步骤。【学生】讨论、思考、作答、讲解【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的同学。并向学生概括总结用力偶系平衡条件求解平面力偶系平衡问题的一般步骤：（1）确定研究对象。（2）对研究对象进行受力分析。（3）利用平衡方程求解未知量。（4）所求结果的绝对值表示未知力的大小，正、负号表示步骤（2）中假设的该力的方向是否与实际方向一致，正号表示方向一致，负号表示方向相反。【学生】聆听、思考、理解、记忆探索活动【教师】请学生阅读拓展阅读：“趣味小实验：哪一段线断开？”（详见教材），并随机邀请学生回答【学生】阅读、思考、回答【教师】总结点评学生回答，并鼓励回答较好的同学【学生】聆听、思考、讨论，如遇问题可询问老师课堂小结【教师】简要总结本节课的要点力矩的概念和合力矩定理。平面力偶理论。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】扫描作业布置二维码，布置课后作业请根据课堂知识，完成以下作业：练习题2-3（详见教材）练习题2-4（详见教材）【学生】完成课后任务教学反思

课题平面任意力系课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握力的平移定理和力系向作用面内任意一点简化的方法。（2）了解平面任意力系的简化结果。（3）熟练掌握平面任意力系的平衡条件和平衡方程。（4）了解物系的平衡、静定和超静定问题。素质目标：弘扬胸怀祖国、服务人民的科学家精神。培养脚踏实地、求真务实的工作作风。教学重难点教学重点：力的平移定理和力系向作用面内任意一点简化的方法，平面任意力系的简化结果，平面任意力系的平衡条件和平衡方程。教学难点：平面任意力系的平衡条件和平衡方程，物系的平衡、静定和超静定问题。教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家了解平面力系的简化过程，了解平面任意力系的平衡条件和平衡方程。【学生】完成课前任务考勤【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】班干部报请假人员及原因问题导入【教师】提出问题：平面任意力系是指作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，且呈任意状态分布的力系。平面任意力系的分析是工程实际中常见的一类力学问题。平面任意力系如何合成分析？【学生】思考、举手回答传授新知【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，展开平面力系简化相关知识的讲解【教师】请学生结合教材，讨论力的平移定理，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解力的平移定理相关知识一、力的平移定理力系向一点简化是一种较为简便且具有普遍适用性的力系简化方法，这一方法的理论基础是力的平移定理。力的平移定理作用在刚体上某点A的力F可以平行移动到任意一点B，但必须同时在力F与指定点B所决定的平面内附加一个力偶，这一附加力偶的矩等于原来的力F对指定点B之矩。证明：如图3-1所示，刚体上作用有力F。在刚体上任取一点B，并在点B上加一对平衡力系和，令。由加减平衡力系原理可知，这三个力与原来的力F等效，同时这三个力又可以看成是作用在点B上的一个力和一个力偶（F，），该力偶称为附加力偶，且有至此，定理获证。【头脑风暴】【教师】组织学生讨论以下问题，并邀请学生回答。一个力可以用一个力偶代替吗？为什么？【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答，并鼓励回答较好的同学。力的平移定理说明，一个力可以用一个作用在另一点且具有同样大小和方向的力及一个力偶来等效代替。显然，力的平移定理的逆定理也成立，即作用在刚体上某一平面内的一个力和一个力偶可以合成为同平面内的一个力。二、主矢和主矩【教师】请学生结合教材，讨论主矢和主矩的概念，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解主矢和主矩相关知识如图3-2（a）所示，由n个力，，…，组成的平面任意力系作用在刚体上。在平面上任取一点O，称为简化中心；应用力的平移定理，将各力都平移到点O。这样得到作用于点O的力，，…，，以及相应的附加力偶，其矩分别为，，…，，如图3-2（b）所示。这些附加力偶的矩分别为此时，平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系和平面力偶系，如图3-2（c）所示。其中，平面汇交力系可合成为一个通过点O的力，且有（3-1）即合力等于原力系中各力的矢量和。平面力偶系可以合成为一个力偶，该力偶的力偶矩等于各附加力偶矩的代数和，也等于原来各力对点O之矩的代数和，即（3-2）平面任意力系中所有各力的矢量和，称为该力系的主矢；而这些力对任选简化中心O之矩的代数和，称为该力系的主矩。可以看出，主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。【师生互动】【教师】组织学生讨论以下问题，并邀请学生回答。平面任意力系向作用面内任一点O简化的结果是什么？【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答，并鼓励回答较好的同学。在一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点O简化，其结果为作用于该点的一个主矢和一个主矩。例3-1如图3-3（a）所示，边长为的正方形受到三个力作用，已知各力的大小均为10N。求此力系向点A简化的结果。解：求此力系向点A简化的结果，就需要计算该力系的主矢及对简化中心A的主矩。该力系的主矢为该力系对简化中心A的主矩为因此，该力系向点A简化的结果为一个力和一个力偶，力等于该力系的主矢，力偶的力偶矩的大小和转向与该力系对点A的主矩相同，如图3-3（b）所示。【牛刀小试】【教师】组织学生分为四组，练习例3-2（详情见教材），并邀请学生到讲台上为大家讲解解题步骤。【学生】讨论、思考、作答、讲解【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的同学。三、固定端约束【头脑风暴】【教师】组织学生扫码观看“固定端约束”视频，并邀请学生回答问题。什么是固定端约束？【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答、鼓励回答较好的同学，并讲解固定端约束相关知识固定端约束又称固定端支座，是指物体的一部分嵌入另一物体中或固定在另一物体上，它是一种常见的约束形式。如图3-5所示，一端埋在地下的电线杆、固定在刀架上的车刀等都是固定端约束的实例。对于固定端约束，可按约束作用画其约束力。固定端既限制被约束构件的垂直与水平位移，又限制被约束构件的转动。因此，一般情况下固定端约束通常用一组正交约束力与一个约束力偶表示，如图3-6所示。四、平面任意力系的简化结果【教师】请学生结合教材，讨论平面任意力系的简化结果，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解平面任意力系的简化结果平面任意力系向作用面内任意一点简化的结果，可分为以下四种情形。（1）；（2）；（3）；（4）。下面分别讨论。1．简化为一个力偶的情形如果力系的主矢等于零，而力系对于简化中心的主矩不等于零，即则原力系向简化中心等效平移后的汇交力系已自行平衡，只剩下附加力偶系。该附加力偶系可以合成一个合力偶，因此，原力系与此合力偶等效，即原力系的简化结果是一个力偶。由于力偶对平面内任意一点之矩都相同，所以合力偶矩与简化中心的位置无关，其大小和转向可以直接确定。2．简化为一个合力的情形（1）如果力系的主矢不等于零，而力系对于简化中心的主矩等于零，即则原力系等效于经过简化中心O的一个力，故原力系的简化结果是一个合力。（2）如果力系的主矢和对任意一点的主矩都不等于零，即则原力系的简化结果是一个力和一个力偶。根据力的平移定理的逆定理可知，主矢和主矩可以合成为一个合力。3．平衡的情形如果力系的主矢和对任意一点的主矩都等于零，即则原力系平衡，这种情况我们将在下一节详细讨论。【分组讨论】【教师】组织学生分组讨论平面任意力系的简化结果，并邀请学生回答每种结果的含义。【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答、鼓励回答较好的同学五、平衡条件与平衡方程【教师】请学生结合教材，讨论平面任意力系的平衡条件和平衡方程，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零，即（3-3）上述平衡条件也可用解析式表达为（3-4）即平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在任选坐标系的x轴与y轴上投影的代数和分别等于零，各力对任意一点之矩的代数和也等于零。式（3-4）称为平面任意力系平衡方程的基本形式或一矩式，其中前面两个方程为投影方程，后一个方程为力矩方程。平面任意力系的平衡方程也可以写成其他形式，如一个投影方程和两个力矩方程组成的二矩式，即（3-5）二矩式的附加条件是x轴或y轴不能垂直于A，B两点的连线。平面任意力系的平衡方程还可以写成三个力矩方程组成的三矩式，即（3-6）三矩式的附加条件是A，B，C三点不能在同一条直线上。【头脑风暴】【教师】组织学生分组讨论，并邀请学生回答以下问题。式（3-5）和式（3-6）是物体平衡的必要条件吗？为什么？【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答、鼓励回答较好的同学式（3-5）和式（3-6）是物体平衡的必要条件，但不是充分条件，必须加上附加条件后，才能成为物体平衡的充要条件。【教师】结合例题，讲解如何利用平衡方程求解平面任意力系的平衡问题【学生】聆听、思考例3-3无重水平梁的支承和载荷如图3-7（a）所示，已知力F、力偶矩M，求支座A和B处的约束反力。解：以梁AB为研究对象。如图3-7（b）所示，梁AB所受的主动力有力F和矩为M的力偶；所受约束反力有铰链A处约束反力的两个分力和，以及滚动支座B处垂直于支承面方向的约束反力。根据平面任意力系的平衡方程得出可解得：，，。为负，说明其方向与图示方向相反，即应竖直向下；为正，说明其方向与图示方向相同。六、平衡方程的特殊形式1．平面汇交力系若平面力系中各力的作用线汇交于一点，则该力系称为平面汇交力系，如图3-8所示。显然，平面汇交力系恒能满足，则其独立平衡方程为两个投影方程，即（3-7）2．平面平行力系若平面力系中各力的作用线全部平行，则该力系称为平面平行力系。如图3-9所示，取y轴平行于各力的作用线。显然，平面平行力系恒能满足，则其独立平衡方程为一个投影方程和一个力矩方程，即（3-8）【总结讨论】【教师】组织学生分组讨论，并邀请学生回答以下问题。式（3-5）和式（3-6）是物体平衡的必要条件吗？为什么？对于平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，写出的三个独立平衡方程，能否用于求解新的未知量？为什么？【学生】讨论、思考、回答【教师】总结点评学生的回答、鼓励回答较好的同学对于平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以写出三个独立平衡方程，而写出的任何第四个方程都与前三个方程线性相关，并非一个独立的平衡方程，故不能用于求解新的未知量，只可以用来校核前面方程所计算的结果。七、物系的平衡【头脑风暴】【教师】请学生扫码观看“物系的平衡”视频，并随机邀请学生回答，物系的平衡研究对象【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解物系的平衡上一节中的平衡方程是针对一个刚体建立的，但是工程实际中的结构通常都是由许多物体按一定方式连接起来的。这种由若干个物体通过约束组成的系统称为物体系统，简称物系。对物系平衡问题的研究，是静力学平衡方程极为重要的综合应用。在研究物系的平衡问题时，不仅需要求出物系所受的未知外力，而且还需要求出各个物体之间相互作用的内力。对于整个系统来说，内力总是成对出现的，当需要求出内力时，就要把某些物体分离开来单独研究。即使当不需要求出内力时，有时也需要把一些物体分离开来单独研究，才能求出所有的未知外力。例3-4如图3-10（a）所示，梁ABC是由梁AB和梁BC组成的连续梁，其中梁AB一端为固定端，另一端通过铰链与梁BC连接，已知a，M，θ。求该连续梁在A，B，C三处的约束反力。解：首先，以梁BC为研究对象。如图3-10（b）所示，梁BC所受主动力是矩为M的力偶；所受约束反力有铰链B处约束反力的两个分力和，以及滚动支座C处垂直于支承面向上的约束反力。根据平面任意力系的平衡方程得出可解得：，，。然后，以梁AB为研究对象。如图3-10（c）所示，梁AB受到铰链B处约束反力的两个分力和；固定端A处的约束反力和，以及矩为的力偶。根据平面任意力系的平衡方程得出可解得：，，。【分组讨论】【教师】组织学生展开讨论物系平衡分析时应注意的问题，并回答下述问题：研究物系的平衡问题时，需要求出各个物体之间相互作用的内力吗？为什么？【学生】思考、讨论、回答【教师】点评总结学生回答，并鼓励回答较好的同学。八、静定与超静定问题【教师】请学生结合教材，讨论静定与超静定问题，并随机邀请学生回答【学生】思考、讨论、回答【教师】结合学生回答，讲解静定与超静定问题当整个物系平衡时，物系内各个刚体也处于平衡状态。因此对于每个受平面任意力系作用的刚体，都可以列出3个独立的平衡方程，那么对于由n个刚体组成的物系来说，独立平衡方程的数目为3n。如果物系中的刚体受到平面汇交力系或平面平行力系作用时，整个系统的独立平衡方程数目会相应地减少。当物系中未知量的总数等于或小于独