高等数学课标教案

《高等数学》课程标准为原则，服务于不同专业的实际需要；必须以突出数学文化的育人功能为主线，本课程的总体思路是要通过高等数学的学习使学生能够获得相关后继课程和其他专业课程所必须得数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的运用能2．理解数列极限、函数极限、函数连续的概念，掌握极限的3．理解导数的定义和意义、函数可导性与连续性的3．理解不定积分、定积分的概念，掌握积分的运4．理解罗尔中值定理和拉格朗日中值定理、函数极值的概念，掌7．掌握可分离变量的微分方程、齐次型微分方程和一法、可降阶的二阶微分方程的解法、二阶常系数齐f(x)=eλxPm(x)和f(x)=eλx[Pl(x)coswx+Qn(x)sinwx]型二阶常系数非齐次线性微分方2．树立终身学习、持续发展的学习理念；弘扬主动探索、勇精神；学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，并4．树立追求卓越、勇于拼搏的奋斗精神；培养脚踏实地、认真负5．树立勇于探索未知、追求真理的科学精神；6．树立追求卓越、勇于拼搏的奋斗精神；培养认7．激发心系国家建设，勇担时代使命的爱国情怀；树数的函数关系，建立函数的定义域、值域及函数值反函数和分段函数的概念，并的定义域并能用区间表值及函数表42．了解无穷小与无穷大的概5．理解函数连续的概念与性无穷小的判数在一点的了解初等函数的连续性；掌握的间断点并的几何意义及函数的可导性与连续性的关系，并能用导数描导数的基本公式，会求函数的导数。了解高阶导数的概念，能熟练地求初等函数的一阶，及几何意义8分进行近似44．微用朗日定理证明问判断函数的增减性求函数图形的拐点等方法。会求水平与铅直渐近线。能描绘简单函数图形。会解较简单的最大值、最小值的日中值定理；了解柯西中值定用导数判断函数的单调性、求4．会用导数判断曲线的凹凸了解曲率和曲率半径的计算方定理研究方朗日定理证明等式和不达法则求未求函数单调曲线的凹凸求一元函数81．不定积分的性积分运算6分公式和运算法则。不定积分的换元积分法和分部积分换元法和分部积分法求不定积式和运算法则。定积分的换元积分法定积分在几何学、物理学上的8程分方程、齐次型微分方程和一阶线性线性微分方程的解2．掌握可分离变量的微分方程、齐次型微分方程和一阶线6．掌握f(x)=eλxPm(x)和f(x)=eλx[Pl(x)coswx+Qn(x)sin微分方程求解wx]8解一元函数微分学和一元函数积分8（2）采用传统与现代教学手段相结合，将实际简单例子应用与数学原理相（3）加强练习教学环节，在加深对理论知识理解的基础上，提高学生分析

课题1.1函数的概念与性质课时4课时（180min）教学目标知识目标：（1）理解函数的定义（2）掌握函数的性质素质目标：（1）激发热情洋溢、乐观向上、积极面对挑战的人生态度（2）弘扬服务集体、团结协作的团队精神（3）养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度教学重难点教学重点：函数的定义、函数的性质教学难点：函数的性质教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤问题导入【教师】提出以下问题：什么是函数？能不能举一个日常生活中应用函数的例子？【教师】总结学生回答，公布答案函数用来两个变量间的关系，其中一个变量（自变量）的变化会引起另一个变量（因变量）的变化。例如，如果汽车每小时行驶60公里，那么时间（小时）是自变量，行驶的路程是因变量。这种关系用数学表达式表示为y=60x，其中y代表行驶的距离，x代表时间（小时），这就是一个函数。传授新知【教师】通过学生的回答，引入函数的定义✈【教师】通过引例1和引例2，使学生了解函数在实际中的应用引例1杭州电视台应某广告公司特约播放甲、乙两部连续剧．经调查，播放甲连续剧时，平均每集的收视观众人次为30万人次；播放乙连续剧时，平均每集的收视观众人次为25万人次．广告公司要求电视台每周播放两部连续剧，共8集．设每周播放x集甲连续剧，甲、乙两部连续剧的收视观众人次总和为y万人次，则x和y之间的关系为．引例2详见教材✈【学生】聆听、思考1.1.2函数的基本性质1．函数的定义✈【教师】讲解函数的定义定义设和是两个变量，是一个给定的非空数集．若对于每个，变量按照某种对应法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称是定义在数集上的函数，记作．其中，称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域．对于每个，变量按照某种对应法则，总有唯一确定的数值与之对应，这个数值称为函数在点处的函数值，记作．自变量与因变量之间的这种依赖关系通常称为函数关系．当自变量取遍中的所有数值时，对应的函数值的全体所构成的集合称为函数的值域，记作或．✈【学生】聆听、思考✈【教师】随机提出问题和有什么区别与联系？✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解和的区别与联系：表示自变量和因变量之间的对应法则；表示在对应法则下，与自变量对应的函数值．但为了叙述方便，通常用“”或“”来表示定义在上的函数．✈【学生】聆听、思考、理解2．函数的两要素函数的两要素是定义域和对应法则．当两个函数的定义域相同，且对应法则也相同时，称这两个函数为相同的函数．✈【教师】随机提出问题以下两组函数是否是相同的函数？（1）与（2）与✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解与是相同的函数；与则是不同的函数，因为它们的定义域不同．✈【学生】聆听、思考、理解3．函数的表示方法函数通常有以下3种表示法．（1）图形法：用图形表示函数，如我国人口出生率变化曲线等．其优点是直观性强，可直接通过函数的图形得到函数的变化趋势；缺点是通过图形所得到的数量关系是近似的，不便于做理论推导．（2）表格法：用列表的方法表示函数，如三角函数表、对数表、国内生产总值表等．其优点是简明直观，便于查找函数值；缺点是只能列出部分自变量与函数值，难以反映函数的全貌．（3）解析法：用数学式子（解析式）表示函数，如一次函数、二次函数等．其优点是形式简明，便于做理论推导和数值计算；缺点是不够形象直观．✈【教师】讲解“数学之美”函数以其严密的逻辑和无尽的创造力，描绘出宇宙间复杂的规律．从简单的线性关系到复杂的非线性关系，函数以其独特的视角揭示了世界的奥秘，展现了数学的无穷魅力．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】通过讲解例题，帮助学生理解函数的定义域例1求下列函数的定义域．（1）； （2）．解（1）要使函数有意义，需要满足故函数的定义域为．（2）要使函数有意义，需要满足即，故函数的定义域为．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解“知识宝典”函数由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的一切数值所组成的集合．因此求函数的定义域时应遵循以下原则：（1）分式中的分母不能为0；（2）偶次根式内的式子非负；（3）对数中的真数大于0，底大于0且不等于1．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】通过讲解例题，帮助学生掌握求解函数值的方法

例

2求下列函数的函数值．（1）设函数，求及；（2）设函数，求．解（1）因为的对应法则为，所以．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例2中第（2）题✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解解（2）令，则，代入，得因为的对应法则为，所以．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】通过讲解例题，帮助学生掌握函数的两要素例3判断函数和函数是否为同一函数．解因为和的定义域均为，且，和的对应法则也相同，所以它们是同一函数．✈【学生】聆听、思考、理解1.1.2函数的性质1．奇偶性✈【教师】讲解函数的奇偶性并举例设函数的定义域关于原点对称，若对于任意的，都有，则称为偶函数；若对于任意的，都有，则称为奇函数．既不是奇函数，也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数．例如，是奇函数，因为；是偶函数，因为．常数函数是唯一的既是奇函数又是偶函数的函数．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】展示图1-1（详见教材），讲解指点迷津（1）偶函数和奇函数图形的几何特性：偶函数的图形关于轴对称，如图1-1（a）所示；奇函数的图形关于原点对称，如图1-1（b）所示．（a）（b）图1-1（2）判断一个函数的奇偶性，首先要判断该函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数是非奇非偶函数；若对称，再进一步计算，判断该值是否等于或（3）一般地，两个具有奇偶性的函数进行运算时具有以下性质：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇，奇偶非奇非偶．✈【学生】聆听、思考、理解2．单调性✈【教师】讲解函数的单调性设函数的定义域为，区间．若对于任意的，当时，恒有，则称函数在区间上单调增加，区间称为单调增区间；若对于任意的，当时，恒有，则称函数在区间上单调减少，区间称为单调减区间．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】展示图1-2（详见教材），讲解指点迷津不同单调性的函数图形的几何特性：单调增加的函数的图形表现为一条从左至右单调上升的曲线，如图1-2（a）所示；单调减少的函数的图形表现为一条从左至右单调下降的曲线，如图1-2（b）所示．（a）（b）图1-2✈【学生】聆听、思考、记忆3．周期性设函数的定义域为．若存在正数，使得对于任意的，都有，且恒成立，则称为周期函数，为该函数的周期．满足的最小正数称为最小正周期，通常所说的周期函数的周期指的便是最小正周期．例如，和的周期都是；和的周期都是；的周期是．✈【教师】讲解指点迷津（1）周期函数图形的几何特性：周期函数在每一个周期内的图形都是相同的．（2）并非每个周期函数都有最小正周期．例如，对于常数函数，任意正数都是它的周期，因此它没有最小正周期；狄利克雷函数也没有最小正周期．✈【学生】聆听、思考、理解4．有界性设函数的定义域为，数集．（1）若存在数，使得对于任意的都有成立，则称函数在区间上有上界，称为在区间上的一个上界．（2）若存在数，使得对于任意的都有成立，则称函数在区间上有下界，称为在区间上的一个下界．（3）若存在正数，使得对于任意的都有成立，则称函数在区间上有界．若这样的不存在，则称在区间上无界．例如，函数在内有界，且任意大于或等于的数都是它的上界，任意小于或等于的数都是它的下界；函数在内有界，任意大于或等于的数都是它的上界，任意小于或等于的数都是它的下界，但该函数在内无界．✈【教师】讲解指点迷津（1）有界函数图形的几何特性：有界函数的图形介于直线与之间．（2）函数在区间上有界的充分必要条件是它在区间上既有上界又有下界．（3）讨论函数有界或无界时，必须先指明自变量所在的区间．✈【学生】聆听、思考、理解【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：函数在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了函数的定义、表示方法和函数的性质。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节习题1.1的内容。【学生】完成任务教学反思

课题1.2初等函数1.3反函数与分段函数课时4课时（180min）教学目标知识目标：（1）掌握基本初等函数的表达式、定义域、值域、图形和性质（2）理解复合函数、初等函数、反函数和分段函数的概念，并掌握求反函数的基本方法素质目标：（1）激发热情洋溢、乐观向上、积极面对挑战的人生态度．（2）弘扬服务集体、团结协作的团队精神．（3）养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度．教学重难点教学重点：基本初等函数的表达式、定义域、值域、图形和性质，复合函数、初等函数、反函数和分段函数的概念，求反函数的基本方法教学难点：基本初等函数的定义域和值域，求反函数的基本方法教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解1.函数的两要素是什么？2.函数的表示方法有哪些？【教师】总结学生回答，公布答案1.函数的两要素是定义域和对应法则．2.函数的表示方法有图形法、表格法和解析法．传授新知1.2初等函数1.2.1基本初等函数✈【教师】展示表1-1（详见教材），讲解基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数，基本初等函数的图形及主要性质如表1-1所示．（详见教材）✈【学生】聆听、思考1.2.2复合函数与初等函数✈【教师】通过引例1，引出复合函数的概念引例1在自由落体运动中，物体的动能是关于速度的函数，即，而速度又是关于时间的函数，即．因此，动能通过速度的关系而成为时间的函数，即。定义1设，若的值域或部分值域是的定义域的子集，则变量与之间通过构成了一种新的函数关系，这种函数关系称为由与复合而成的复合函数，记作，其中称为自变量，称为中间变量，称为因变量．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解“指点迷津”并非任意的两个函数都可以复合成一个函数，只有当的值域和的定义域的交集不为空集时，两者才可进行复合．例如，和就不能复合成一个函数，因为的值域与的定义域的交集为空集．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例题，帮助学生理解复合函数的概念例1分析下列函数是由哪些函数复合而成的．例1（1）； （2）．解（1）是由和复合而成的．（2）是由和复合而成的．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】随机提问学生例2

例2判断下列函数是否可以构成复合函数，若可以，则求复合函数的解析式及定义域．（1）； （2）．✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解解（1）因为的定义域与的值域有交集，所以函数可进行复合．将代入，可得复合函数．由可知，复合函数的定义域为．（2）详见教材。✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“知识宝典”（1）复合函数可由基本初等函数复合而成，也可由基本初等函数经过四则运算后得到的函数（称为简单函数）复合而成．（2）复合函数可由两个以上的函数复合而成，只要它们满足构成复合函数的条件即可．判断两个以上的函数是否可以构成复合函数时，应当由内向外逐层分析，确定好内层函数的值域后，再进行下一层的分析与复合．（3）分析复合函数是由哪些函数复合而成时，应当由外向内逐层分析．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解初等函数的概念，并进行举例定义

2由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合而构成的，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数．例如，，等均为初等函数，符号函数不是初等函数．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆1.3反函数与分段函数1.3.1反函数✈【教师】讲解反函数的定义定义设函数的定义域为，值域为，若对于中的每一个，中都有唯一确定的与之对应，则可得到一个定义在上以为自变量的函数，这个函数称为的反函数，记作，其定义域为，值域为．习惯上将改写成．例如，的反函数为．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】展示图1-3（详见教材），讲解“指点迷津”互为反函数的两个函数和的图形关于直线对称，（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例题，帮助学生理解反函数的定义例1求函数的反函数．解由得，将和的位置互调，得到，即函数的反函数为．✈【学生】聆听、思考、记忆1.3.2分段函数✈【教师】通过引例，使学生了解函数在实际中的应用引例为了鼓励居民节约用电，某市出台了如下的居民用电收费标准：（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.6元/度计算；（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过的部分按0.9元/度计算（未超过的部分仍按0.6元/度计算）．假设某户居民某月的用电量为度，电费为元，试求电费与用电量之间的函数关系．✈【学生】聆听、思考、计算、举手作答✈【教师】公布答案并进行讲解分析当时，；当时，．因此，电费与用电量之间的函数关系为像上例这样，在函数的定义域内，当自变量在不同范围内取值时，自变量与因变量之间的对应法则各不相同，它们之间的函数关系需要用不同的解析式来表达，这类函数称为分段函数．常见的分段函数有以下几种．（1）绝对值函数：（2）符号函数：（3）狄利克雷函数：（4）取整函数：，表示不超过的最大整数．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解注意事项（1）分段函数的定义域是各分段自变量取值范围的并集．（2）分段函数是用几个解析式来表示一个函数，而不是表示几个函数．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例题，帮助学生加深对分段函数的理解例2已知函数求，并绘制出函数图形．解因为，所以对应法则为，则．因为，所以对应法则为，则．因为，所以对应法则为，则；又因为，所以对应法则为，则．函数图形如图1-4所示（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】组织课堂讨论试讨论绘制分段函数图形时应注意哪些问题．✈【学生】聆听、思考、讨论✈【教师】总结讨论结果✈【学生】聆听、思考✈【教师】随机提问例3

例3某工厂生产某产品，当年产量不超过600台时，每台售价为300元；当年产量超过600台时，超过的部分按八折出售；当年产量超过800台时，超过的部分就销售不出去了．试写出本年的收益函数．✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】公布答案，并进行讲解解设该产品本年的产量为台，本年的收益为元．将产量划分为3个阶段来考虑收益．由题可知，即本年的收益函数为✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解数学文化——华罗庚：人民的数学家华罗庚（1910—1985年），中国现代数学领域的杰出贡献者与先驱，被誉为“中国现代数学之父”．华罗庚一生致力于数学研究，在解析数论、典型群、矩阵几何学与多复变函数论等方面均取得了卓越的成就．…详见教材。✈【学生】聆听、思考、体会建模案例分析——火花喷溅安全范围模型1．问题陈述✈【教师】提出实际问题，请学生根据已有知识，完成计算如图

1-6

所示（详见教材），一焊接工人在一根垂直于地面的柱子

OA

的顶端进行焊接，．焊接时，柱子顶端A处的喷头会向外喷溅火花，为确保地面人员的安全，要求喷溅出的火花在距离柱子处达到距离地面的最大高度．若要求喷溅出的火花全部落在安全范围内，则安全范围的半径至少为多少，才能满足设计要求？✈【学生】聆听、思考、计算、举手作答✈【教师】总结学生回答，并进行讲解2．模型假设（1）火花在各个方向沿形状相同的抛物线下落，可设火花的喷溅路径为二次函数．（2）火花只要落在安全范围内，地面人员就是安全的．（3）安全范围的半径为．3．模型建立建立合适的平面直角坐标系，如图1-7所示（详见教材）．记抛物线的顶点为B，火花下落接触地面的点为C，那么求安全范围的最小半径就是求OC的长度，即点C的横坐标．根据建立的平面直角坐标系，可以确定点的坐标分别为和．这样问题就转化为“已知抛物线顶点B和另外一点A的坐标，求抛物线的解析式”．设点C的坐标为，抛物线的解析式为，将点A的坐标代入该解析式，解得，故该解析式为，即．4．模型求解为求点C的横坐标，令，解方程得或（不符合题意）．因此，点C的横坐标为2.5，即安全范围的半径至少为2.5

m．5．模型分析该模型巧妙地将实际问题抽象为数学中的二次函数问题，通过求解抛物线的解析式得到火花喷溅的路径，从而确定满足设计要求的安全范围．这种方法简洁明了，为做好安全防护措施提供了参考依据．【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：分段函数在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了基本初等函数的表达式、定义域、值域、图形和性质，复合函数、初等函数、反函数和分段函数的概念，以及求反函数的基本方法。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成习题1.2、习题1.3和复习题1的内容。【学生】完成任务教学反思

课题2.1极限的概念与性质课时4课时（180min）教学目标知识目标：理解数列极限、函数极限的概念与性质素质目标：（1）树立自主学习、终身学习的学习理念（2）弘扬主动探索、勇于发现的科学精神（3）学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，并在实践中不断深化认识教学重难点教学重点：数列极限、函数极限的概念与性质教学难点：数列极限、函数极限的性质教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤问题导入【教师】提出以下问题：什么是极限？能不能举一个日常生活中关于极限的例子？【教师】总结学生回答，公布答案极限是指的是一个变量在不断变化的过程中，逐渐向一个确定的数值逼近，但永远达不到这个数值的状态。述的是一种“无限靠近而永远不能到达”的状态。例如，当你爬一座山时，山顶就是你上升高度的极限，因为你无法继续上升了。这个例子中，山顶就是你的上升高度所能达到的极限值。案例引入2.1.1数列极限的概念与性质【教师】通过学生的回答，引入引例的讲解，通过引例的讲解，提出极限思想，引出数列的极限引例1庄子的截丈问题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”分析设原棰（木棒）之长为一个单位长度，每天截取木棒一半的长度（所谓“日取其半”），用表示第n天截取木棒之后所剩的长度，则可得一个数列当n无限增大时，无限接近于0，但它永远不会等于0（所谓“万世不竭”），即当时，．传授新知【教师】讲解数列极限的概念1．数列极限的概念定义1对于数列，若当n无限增大时，无限接近于某一确定的常数A，则称A为数列的极限，或称数列收敛于A，记作或．若数列的极限存在，则称数列收敛；若数列的极限不存在，则称数列发散．…详见教材．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解指点迷津数列无界是数列极限不存在的充分不必要条件．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例1中的（1）和（2），帮助学生理解复合函数的概念例1观察下列各数列的变化趋势，并写出它们的极限．例1（1）； （2）；（3）； （4）．解（1）；（2）不存在；✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】随机提问学生例1中的（3）和（4）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（3）；（4）．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解几个常用的数列极限（1）为常数)； （2）；（3）； （4）．✈【学生】聆听、思考、记忆2．数列极限的性质✈【教师】讲解数列极限的性质性质1（唯一性）性质2（有界性）若数列收敛，则该数列一定有界．性质3（保号性）若，且，则一定存在正整数，使得当时，恒成立．性质4（夹逼准则）若数列满足下列条件：（1）存在正整数，当时，有；（2），则数列的极限一定存在，且．✈【学生】聆听、思考、记忆2.1.2函数极限的概念与性质✈【教师】讲解引例2引例2现有一单摆，使其离开竖直方向，并与竖直方向成一定的角度，然后让单摆自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，随着时间t的推移，单摆与竖直方向所成的角度会越来越小，直至时间，单摆与竖直方向所成的角度为0．若对时间t与角度建立函数关系，则当时，．✈【学生】聆听、思考1．函数极限的概念✈【教师】讲解函数极限的概念1）自变量趋于无穷大时函数的极限定义2设函数在上有定义，若当无限增大时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数A，则称A为函数当时的极限，记作或．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】展示图2-1（详见教材），进行举例，通过实例，加深学生对定义2的理解例如，对于函数，当时，对应的函数值无限接近于常数0，即．这在函数图形上表现为当沿轴的正向（负向）无限增大（减小）时，函数曲线无限接近于轴，如图2-1所示．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“注意事项”的绝对值无限增大，即，包括和两种情形．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解函数极限概念的定义3和定义4定义3设函数在内有定义，若当时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数A，则称A为函数当时的极限，记作或．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解“指点迷津”存在的充分必要条件是和都存在且相等，即例如，不存在，则不存在．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】展示图2-1（详见教材），讲解例题例2讨论当时，函数的极限是否存在．解函数的图形如图2-2所示，可以看出．由于当时，并不接近于一个确定的常数，因此不存在．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解自变量趋于有限值时函数的极限2）自变量趋于有限值时函数的极限定义5设函数在点的邻域内有定义（点可以除外）．若当无限接近于时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数，则称为函数当时的极限，记作或．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】进行举例，通过实例，加深学生对定义5的理解例如，对于函数，当时，对应的函数值无限接近于常数2，即．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“指点迷津”以点为中心的开区间均称为点的邻域，记作；若在中去掉点，则称该区域为点的去心邻域，记作．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解定义6并进行举例定义6设函数在点的某一左邻域内有定义．若当从的左侧无限接近于时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数，则称为函数当时的左极限，记作或()．例如，对于函数，当时，对应的函数值无限接近于常数，即．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解定义7并进行举例定义7设函数在点的某一右邻域内有定义．若当从的右侧无限接近于时，对应的函数值无限接近于某个确定的常数，则称为函数当时的右极限，记作或()．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“指点迷津”存在的充分必要条件是和都存在且相等，即✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解例题，帮助学生学会利用定义解决问题例3试求函数在点和处的极限．解因为，，，所以函数在点处的极限不存在．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆2．函数极限的性质✈【教师】讲解函数极限的性质性质1（唯一性）性质2

（局部有界性）若，则存在点的某一去心邻域，在该邻域内函数有界．性质3…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：极限在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了数列极限、函数极限的概念与性质。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节习题2.1的内容。【学生】完成任务教学反思

课题2.2无穷小与无穷大课时4课时（180min）教学目标知识目标：了解无穷小与无穷大的概念、性质及关系素质目标：（1）树立自主学习、终身学习的学习理念（2）弘扬主动探索、勇于发现的科学精神（3）学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，并在实践中不断深化认识教学重难点教学重点：无穷小与无穷大的概念、性质及关系教学难点：无穷小与无穷大的性质及关系教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解数列极限有哪些性质？【教师】总结学生回答，公布答案数列极限的性质有唯一性、有界性、保号性和夹逼准则。传授新知2.2.1无穷小1．无穷小的概念【教师】讲解无穷小的概念，并举例定义1若在自变量x的某一变化趋势下，对应的函数值趋于0，则称函数为自变量x在这种变化趋势下的无穷小量，简称无穷小．例如，，则函数是当时的无穷小；，则函数是当时的无穷小．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解注意事项（1）无穷小是一个以0为极限的变量，在本质上不同于绝对值很小的常数．任何非0常数（即使很小）的极限还是非0常数，0是唯一可看成无穷小的常数．（2）无穷小与自变量的变化趋势有关，称一个变量是无穷小时，必须指明其自变量的变化趋势．例如，当时，，此时是无穷小；但当时，，此时不是无穷小．✈【学生】聆听、思考、体会2．无穷小的性质✈【教师】讲解无穷小的性质性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小．性质2有界函数与无穷小的乘积为无穷小．推论1常数与无穷小的乘积为无穷小．推论2有限个无穷小的乘积仍为无穷小．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例题，帮助学生理解无穷小的性质例

1求．解因为，即是当时的无穷小，而，即是有界函数，所以由性质2可知．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“数学之美”唐代诗人李白的诗句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会2.2.2无穷大✈【教师】讲解无穷大的定义，并进行举例定义2若在自变量x的某一变化趋势下，对应函数值的绝对值无限增大，则称函数为自变量x在这种变化趋势下的无穷大量，简称无穷大．…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解注意事项（1）无穷大是一个绝对值无限增大的变量，而不是一个绝对值很大的常数，一个常数无论多大都不是无穷大．（2）当或时，，此时函数的极限是不存在的．因此，无穷大的极限不存在．或表示的是当或时无限增大．（3）…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例题，巩固学生对无穷大定义的理解例

2求．解因为当时，，即函数是当时的无穷大，所以．✈【学生】聆听、思考、记忆2.2.3无穷小与无穷大的关系✈【教师】通过讲解定理和例题，帮助学生理解无穷小与无穷大的关系定理在自变量的同一变化趋势下，若函数为无穷大，则函数为无穷小；若函数为无穷小，且，则函数为无穷大．✈【学生】聆听、思考、记忆【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：无穷大与无穷小在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了无穷小与无穷大的概念、性质及关系。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节习题2.2的内容。【学生】完成任务教学反思

课题2.3极限的运算课时4课时（180min）教学目标知识目标：掌握极限的四则运算法则和求解方法素质目标：（1）树立自主学习、终身学习的学习理念（2）弘扬主动探索、勇于发现的科学精神（3）学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，并在实践中不断深化认识教学重难点教学重点：极限的四则运算法则和求解方法教学难点：极限的四则运算法则和求解方法教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解无穷小有哪些性质？【教师】总结学生回答，公布答案无穷小的性质：（1）有限个无穷小的代数和仍为无穷小．（2）有界函数与无穷小的乘积为无穷小．（3）常数与无穷小的乘积为无穷小．（4）有限个无穷小的乘积仍为无穷小．传授新知2.3.1极限的四则运算法则【教师】讲解极限的四则运算法则定理设，，则（1）；（2）；（3）．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解注意事项（1）记号“lim”下面没有标明自变量的变化趋势，是指定理对及都成立．（2）上述定理的（1）和（2）可以推广到有限个函数极限的情形．（3）…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解两个推论推论1设，则为常数)．推论2设，则为正整数)．✈【学生】聆听、思考、记忆2.3.2极限的求解方法1．直接代入法✈【教师】讲解直接代入法求解多项式函数在的极限时，可直接用代替函数中的，即．若均为多项式函数，且，则．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例1中的（1），帮助学生学会使用直接代入法求解极限

例1求下列极限．（1）； （2）； （3）．解（1）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】随机提问学生例1中的（2）和（3）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解解（2）．（3）．✈【学生】聆听、思考、记忆2．倒数法✈【教师】讲解倒数法倒数法适用于求解“但”情形下的（即“”型）．求解的具体步骤：由直接代入法，先求，求得，再由无穷小与无穷大的关系可得．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例2，帮助学生学会使用倒数法求解极限

例2求．解令，则，故该题可采用倒数法求解．因为，所以由无穷小与无穷大的关系可得．✈【学生】聆听、思考、理解3．分解因式法✈【教师】讲解分解因式法分解因式法适用于求解“且”情形下的（即“”型）．求解的具体步骤：对分子或分母分解因式，约去共同的零因子，再用直接代入法求解✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例3，帮助学生学会使用分解因式法求解极限

例3求．解令，则

，故该题可采用分解因式法求解，即．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例4

例4求．✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解解由题可知，当时，的极限均不存在，即，

．对两个分式进行通分并分解因式，得进一步，约去共同的零因子，并用直接代入法求解，得原式．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“知识宝典”（1）求“”型的极限时，若分子或分母中含有根号，则应先将有根号的分子或分母有理化，约去共同的零因子，再用直接代入法求解．（2）…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会4．公式法✈【教师】讲解公式法公式法适用于求解分子、分母均趋于情形下的（即“”型），其中为非负整数．求解的具体步骤：先将分子、分母同除以的最高次幂，再进行求解，结果为✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例5中的（1），帮助学生学会使用公式法求解极限

例5求下列极限．（1）； （2）； （3）．解（1）分子、分母同除以的最高次幂，得✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例5中的（2）和（3）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解解（2）分子、分母同除以的最高次幂，得（3）分子、分母同除以的最高次幂，得✈【学生】聆听、思考、记忆【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：极限的四则运算在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了极限的四则运算法则和求解方法。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节习题2.3的内容。【学生】完成任务教学反思

课题2.4两个重要极限及无穷小的比较课时4课时（180min）教学目标知识目标：掌握两个重要极限的应用和无穷小的比较方法素质目标：（1）树立自主学习、终身学习的学习理念（2）弘扬主动探索、勇于发现的科学精神（3）学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，并在实践中不断深化认识教学重难点教学重点：两个重要极限的应用和无穷小的比较方法教学难点：两个重要极限的应用和无穷小的比较方法教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解极限的求解方法有哪些？【教师】总结学生回答，公布答案极限的求解方法有（1）直接代入法（2）倒数法（3）分解因式法（4）公式法传授新知【教师】讲解两个重要极限2.4.1两个重要极限1．第一个重要极限：✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】展示表2-2（详见教材），请学生仔细观察表格，说出当时，函数的变化趋势✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解从表2-2中可以看出，无论是还是，都无限接近于常数1．这说明当时，的极限存在且等于，即．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解“指点迷津”（1）的一个等价形式是．（2）若，则．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例1，帮助学生学会利用第一个重要极限求解极限

例1求下列极限．（1）； （2）； （3）．解（1）．详见教材。详见教材。✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例2（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解2．第二个重要极限：✈【教师】展示表2-3（详见教材），请学生仔细观察表格，说出当和时，函数的变化趋势✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解从表2-3中可以看出，无论是还是，都无限接近于无理数．这说明当时，的极限存在且等于，即．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“指点迷津”的一个等价形式是．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例3，帮助学生学会利用第二个重要极限求解极限

例1求下列极限．（1）； （2）； （3）．解（1）．详见教材．详见教材．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例4（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解2.4.2无穷小的比较✈【教师】组织学生先观看“无穷小的比较”微课视频（详见教材），然后说说什么是无穷小的比较✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解两个无穷小的和、差、积仍是无穷小，但两个无穷小的商却不一定是无穷小．例如，当时，都是无穷小，但它们之间的商却不一定是无穷小．，说明当时，与的速度相当；，说明当时，的速度比要快；，说明当时，的速度比要慢．综上所述，可以用两个无穷小的商的极限来比较它们趋于0的快慢．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解定义和定理，并进行举例定义设是在自变量同一变化趋势下（或）的无穷小，且，若有（1），则称是的高阶无穷小，记作；（2），则称是的低阶无穷小，即是的高阶无穷小；…（详见教材）．定理设，，且存在，则．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“指点迷津”上述定理表明，在求两个无穷小的商的极限时，分子、分母都可用其等价无穷小来替换，这样可以简化某些极限的运算．常用的等价无穷小：当时，…（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、体会✈【教师】讲解例5，帮助学生学会利用无穷小的比较求解极限

例

5求．解因为当时，，所以✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例6（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解注意事项在利用等价无穷小求极限时，所求极限式中只有相乘或相除的无穷小才能用其等价无穷小来替换，相加或相减的无穷小则不能随意替换，否则会引起计算错误．例如，求极限时，若将和直接用其等价无穷小替换，则得到错误的结果：✈【学生】聆听、思考、记忆【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：两个重要极限在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了两个重要极限的应用和无穷小的比较方法。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节习题2.4的内容。【学生】完成任务教学反思

课题2.5函数的连续性与间断点课时4课时（180min）教学目标知识目标：（1）理解函数连续的概念（2）了解间断点的概念与类型（3）了解初等函数的连续性（4）掌握闭区间上连续函数的性质素质目标：（1）树立自主学习、终身学习的学习理念（2）弘扬主动探索、勇于发现的科学精神（3）学会运用所学知识揭示生活中的奥秘，并在实践中不断深化认识教学重难点教学重点：函数连续的概念，间断点的概念与类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质教学难点：间断点的类型，闭区间上连续函数的性质教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解两个重要极限是什么？【教师】总结学生回答，公布答案第一个重要极限：第二个重要极限：传授新知【教师】组织学生先观看“函数的连续性”微课视频（详见教材），然后说说函数的连续性是什么✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解2.5.1函数的连续性1．函数的增量自变量从初值变为终值时，终值与初值的差称为增量改变量．设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在该邻域内由变到时，函数相应地由变到，称为函数的增量（改变量），记作或，即．函数增量的几何意义如图2-3所示（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解注意事项自变量的增量和函数的增量均可正可负．✈【学生】聆听、思考、记忆2．函数连续的定义✈【教师】讲解函数连续的定义定义1设函数在点的某一邻域内有定义，若当自变量在点处的增量趋于0时，函数的相应增量也趋于0，即，则称函数在点处连续，并且称点为函数的连续点．...（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解“指点迷津”（1）函数在点处连续，必须同时满足三个条件：在点处有定义；极限存在；．（2）求连续函数在某点处的极限，只需要求出函数在该点处函数值即可．例如，若已知函数在点处连续，则．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解函数左连续、右连续的定义定义3若函数在点处有，则称函数在点处左连续；若函数在点处有，则称函数在点处右连续．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】随机提问学生问题函数在点处连续的充分必要条件是什么？✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，讲解“指点迷津”函数在点处连续的充分必要条件是函数在点处左连续且右连续，即✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解定义4定义4若函数在开区间内各点处均连续，则称在开区间内连续；若函数在开区间内连续，且在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称在闭区间上连续．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例1，帮助学生学会判断函数的连续性

例1讨论函数在点处的连续性．解由题可知，函数在点的邻域内有定义，且．因为，所以函数在点处左连续．又因为，所以函数在点处右连续．因此函数在点处连续．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例2（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解函数连续的几何意义3．函数连续的几何意义（1）函数在点处连续的几何意义：函数的图形在点处不断开．（2）函数在区间内连续的几何意义：函数的图形在区间内是一条连续而不间断的曲线．✈【学生】聆听、思考、理解2.5.2函数的间断点✈【教师】组织学生先观看“函数的间断点”微课视频（详见教材），然后说说什么是函数的间断点✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解定义5设函数在点的某去心邻域内有定义，若函数属于下列情形之一，则称函数在点处不连续或间断，称点为函数的不连续点或间断点．（1）在点处没有定义．（2）在点处有定义，但不存在．（3）在点处有定义，且存在，但．定义6设点为函数的一个间断点．若当时，函数的左极限和右极限都存在，则称点为函数的第一类间断点；否则，称点为函数的第二类间断点．当点为函数的第一类间断点时，若，则称点为函数的可去间断点；若，则称点为函数的跳跃间断点．...（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解例3，帮助学生加深对间断点的理解

例3讨论函数的连续性．解因为函数在点的邻域内有定义，且，而

，所以函数在点处不连续，且点是函数的可去间断点．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例4、例5和例6（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解2.5.3初等函数的连续性✈【教师】讲解初等函数的连续性定理

1若函数和在点处连续，则这两个函数的和、差、积、商在点处也连续，于是有．定理2合函数在点处连续．...（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解“指点迷津”求复合函数的极限时，极限符号与函数符号可以交换次序．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例7，巩固学生对定理的理解

例7求下列极限．（1）； （2）； （3）．解（1）因为是由复合而成的，且

，在点处连续，所以．（2）详见教材（3）详见教材✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例8（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解2.5.4闭区间上连续函数的性质✈【教师】讲解定理5定理

5（有界性与最值定理）若函数在上连续，则函数在该区间上有界，且必有最大值和最小值．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】展示图2-4（详见教材），进行举例如图2-4所示，若函数在上连续，则在上至少存在一点，使在点处取得最大值，同样，在上至少存在一点，使在点处取得最小值．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】展示图2-5（详见教材），讲解“指点迷津”若函数在开区间上连续或在闭区间内有间断点，则函数在该区间内未必能取得最大值和最小值．例如，函数在内就没有最大值和最小值，如图2-5（a）所示；函数在上有间断点，所以该函数在上既无最大值也无最小值，如图2-5（b）所示．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解定理6、推论和定理7定理

6（介值定理）若函数在上连续，且，为介于与之间的任意一个实数，则在内至少存在一点，使得．推论...（详见教材）．定理

7（零点定理）若函数在上连续，且，则在内至少存在一点，使得．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解例9，巩固学生对定理的理解

例9求函数在上的最值．解因为在上，为单调增加的连续函数，所以由最值定理可知，当时，取得最大值；当时，取得最小值．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例10（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解数学文化——刘徽：数学史上著名的割圆术刘徽（公元225—295年）是魏晋时期的杰出数学家，中国古典数学理论的奠基者之一．他的杰出著作《九章算术注》和《海岛算经》都是我国非常宝贵的数学遗产．…详见教材。✈【学生】聆听、思考、体会建模案例分析——椅子能在不平的地面上放稳吗？1．问题陈述✈【教师】提出实际问题，请学生根据已有知识，完成计算将椅子放在不平的地面上，通常椅子只有3只脚能着地，导致椅子放不稳．然而只需要稍微挪动几次，就可以使椅子的4只脚都着地，从而将椅子放稳．试用数学语言来描述这个问题，并用数学工具予以证实．✈【学生】聆听、思考、计算、举手作答✈【教师】总结学生回答，并进行讲解2．模型假设（1）椅子的4条腿一样长，椅脚与地面的接触处可视为一点，4只脚连线后的图形呈正方形；（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都没有间断（无台阶），即地面可视为数学上的连续曲面；（3）对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，这使得椅子在任何位置至少有3只脚能同时着地．3．模型建立首先，需要引入合适的变量来表示椅子位置的改变．把正方形绕它的对称中心旋转一定角度，这个角度可以表示椅子位置的改变．于是，旋转角这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．注意椅脚连线后的图形呈正方形，正方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转90°后，椅子仍在原地，因此的范围为．…详见教材。4．模型求解如果，那么结论成立．如果与不同时为0，不妨设．这时，将正方形绕对称中心沿逆时针方向旋转90°后，对角线与互换，但正方形在地面上所处的位置不变，由此可知，，而由，得．…详见教材。5．模型分析这个模型的巧妙之处在于用一元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅脚与地面的距离，进而把模型假设和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，建立了这个实际问题的数学模型．【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：模型假设中“4只脚连线后的图形呈正方形”不是本质的，试讨论：若4只脚连线后的图形呈长方形，则需要对上述模型做哪些调整？【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了函数连续的概念，间断点的概念与类型，初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节复习题2.5的内容。【学生】完成任务教学反思

课题3.1导数的概念课时4课时（180min）教学目标知识目标：（1）理解导数的定义和意义（2）理解函数可导性与连续性的关系素质目标：（1）弘扬勇于探索未知、追求真理的科学精神（2）培养脚踏实地、认真负责、团结协作的工作作风（3）培养科学严谨、精益求精、追求卓越的工匠精神教学重难点教学重点：导数的定义和意义，函数可导性与连续性的关系教学难点：函数的求导，函数可导性与连续性的关系教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解函数在某点连续的条件是什么？【教师】总结学生回答，公布答案函数在点处连续，必须同时满足三个条件：在点处有定义；极限存在；．传授新知3.1.1导数的定义【教师】组织学生先扫码观看“导数的定义”微课视频（详见教材），然后说说什么是导数✈【学生】观看、聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，讲解引例引例1设某物体做变速直线运动，运动方程为，求该物体在时刻的瞬时速度．分析当时间由变到时，物体的运动路程由变到，路程的增量为．……详见教材引例2当运动员从的高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，其在不同时刻的速度是不同的．假设后运动员相对于水面的高度为．求在2s时运动员的速度．分析该运动员在到之间（记作）的平均速度为．……详见教材✈【学生】聆听、思考✈【教师】随机提问学生问题两个引例中的问题有哪些相似之处？✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答上述两个问题都是研究函数增量与自变量增量比值的极限问题，在自然科学与工程技术领域中，很多有关变化率的问题，如非恒稳的电流强度、化学反应速度等，都可以归结为求增量比值的极限问题．在数学上，我们把这类问题抽象成导数的概念．✈【学生】聆听、思考✈【教师】讲解导数的定义定义

1设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量时，相应地，函数有增量．若当时，的极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限为函数在点处的导数，记作，即，也可记作或．若上述极限不存在，则称函数在点处不可导．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解“指点迷津”常用的导数定义式还有下列两种形式．（1）若令，则当，即时，．（2）若令，则．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解定义2和定义3定义

2若函数在开区间内每一点处都可导，则称函数在开区间内可导．这时，对于任意一点，都有唯一确定的导数值与之对应，由此构成了一个新函数，称之为函数的导函数，简称导数，记作或．导函数的定义式为或．...（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解例1，帮助学生学会求解导数

例1已知函数，求．解因为，所以．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例2（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解3.1.2导数的意义1．导数的几何意义✈【教师】展示图3-1（详见教材），讲解导数的几何意义函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处切线的斜率．这就是导数的几何意义．由直线的点斜式方程可以得到下列两点．（1）曲线在点处的切线方程为．（2）处的法线．若，则法线的斜率为．所以，曲线在点处的法线方程为．...（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解例3，巩固学生对导数几何意义的理解

例3求曲线在点处的切线斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．解因为，所以曲线在点处的切线与法线的斜率分别为．因此，所求的切线方程为，即；法线方程为，即．✈【学生】聆听、思考、理解2．导数的物理意义✈【教师】讲解导数的物理意义导数的物理意义是非均匀变化量的瞬时变化率，常见有下列几种情况．（1）变速直线运动．路程对时间的导数为物体的瞬时速度，即．（2）交流电路．电量对时间的导数为电流，即．．．✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解例4，巩固学生对导数物理意义的理解

例

4假设有一个小球，从某个高度下落，经过一段时间后落到了地面上．已知小球下落高度与下落时间之间的函数关系为．求小球在下落后的第的瞬时速度．解因为在变速直线运动中，路程对时间的导数为物体的瞬时速度，所以小球的瞬时速度与下落时间之间的函数关系为，因此，小球在下落后的第的瞬时速度为．✈【学生】聆听、思考、理解3.1.3函数可导性与连续性的关系✈【教师】先扫码播放“函数可导性与连续性的关系”微课视频（详见教材），然后进行讲解定理若函数在点处可导，则函数在点处连续．✈【学生】聆听、思考✈【教师】讲解注意事项函数在点处连续但不一定可导．例如，函数在点处连续但不可导．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例5，帮助学生理解函数可导性与连续性的关系

例5设函数，讨论在点处的连续性与可导性．解因为，所以函数在点处连续．由左、右导数的定义，有，，即，所以在点处可导．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例6和例7（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：导数在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了导数的定义和意义，函数可导性与连续性的关系。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节习题3.1的内容。【学生】完成任务教学反思

课题3.2导数公式与函数的求导法则课时2课时（90min）教学目标知识目标：掌握隐函数、由参数方程所确定的函数和反函数的求导法则素质目标：（1）弘扬勇于探索未知、追求真理的科学精神（2）培养脚踏实地、认真负责、团结协作的工作作风（3）培养科学严谨、精益求精、追求卓越的工匠精神教学重难点教学重点：隐函数、由参数方程所确定的函数和反函数的求导法则教学难点：隐函数、由参数方程所确定的函数和反函数的求导法则教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解写出导数的四则运算公式。【教师】总结学生回答，公布答案导数的四则运算公式（1）；（2）；（3）．传授新知3.2.4几种特殊函数的求导法则1．隐函数的求导法则✈【教师】先扫码播放“隐函数的求导法则”微课视频（详见教材），然后进行讲解因变量用仅含有自变量的表达式表示的函数称为显函数，如，等．若两变量之间的函数关系是由一个形如的方程来确定的，则称这种由方程所确定的函数为隐函数，如，等．对隐函数求导时，可以先将隐函数化成显函数（称为隐函数的显化），再求导．但有时隐函数的显化较困难，甚至不可能实现．下面介绍隐函数求导的一般方法，使用这种方法时，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数．...（详见教材）．✈【学生】聆听、思考✈【教师】讲解例9和例10，演示隐函数的求导例

9求由方程所确定的隐函数的导数．解等式两边同时对求导，得，解出，得．例

10求由方程所确定的隐函数的导数．解等式两边同时对求导，得，解出，得．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例11和例12（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解“知识宝典”形如的函数既不是幂函数也不是指数函数，其底数与指数均含有自变量，故称之为幂指函数．直接对幂指函数求导较为困难，因此可先对函数两边同时取对数，使其转化为隐函数，再利用隐函数求导的一般方法进行求导，这种求导方法称为对数求导法．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解例13，巩固学生对隐导数求导法则的理解

例

13求的导数．解对函数两边同时取对数，得，等式两边同时对求导，得，解出，得．✈【学生】聆听、思考、理解2．反函数的求导法则✈【教师】讲解反函数的求导法则定理3若函数在区间内单调、可导，且，则它的反函数在区间内也可导，且有或．证明过程详见教材。✈【学生】聆听、思考、理解、记忆✈【教师】讲解例14，演示反函数的求导

例

14利用反函数的求导法则求的导数．解因为是的反函数，在区间内单调、可导，且，所以由反函数的求导法则得，即 ．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例15（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解3．由参数方程所确定的函数的求导法则✈【教师】先扫码播放“由参数方程所确定的函数的求导法则”微课视频（详见教材），然后进行讲解一般地，若y与x之间的函数关系可以由参数方程确定，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数．若函数和都可导，且具有单调、连续的反函数，则由参数方程所确定的函数可以看作与复合而成的函数．根据复合函数和反函数的求导法则，有，...（详见教材）．✈【学生】聆听、思考✈【教师】讲解例16，演示由参数方程所确定的函数的求导法则的用法

例

16已知椭圆的参数方程为，求：（1）椭圆在任意点处的切线斜率；（2）椭圆在处的切线方程与法线方程．解（1）因为，，所以椭圆在任意点处的切线斜率为．（2）当时，椭圆上对应的点为，在此点处的切线斜率为，故所求切线方程为，即 ．所求法线方程的斜率为，故所求法线方程为，即 ．✈【学生】聆听、思考、理解【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：导数公式在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了导数公式，导数的四则运算法则，复合函数、隐函数、由参数方程所确定的函数和反函数的求导法则。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节习题3.2的内容。【学生】完成任务教学反思

课题3.2导数公式与函数的求导法则（一）课时2课时（90min）教学目标知识目标：（1）熟记导数公式（2）掌握导数的四则运算法则（3）掌握复合函数的求导法则素质目标：（1）弘扬勇于探索未知、追求真理的科学精神（2）培养脚踏实地、认真负责、团结协作的工作作风（3）培养科学严谨、精益求精、追求卓越的工匠精神教学重难点教学重点：导数公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则教学难点：导数的四则运算法则，复合函数的求导法则教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤复习提问【教师】提前设计好复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解导数有什么几何意义？有什么物理意义？【教师】总结学生回答，公布答案导数的几何意义：函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处切线的斜率．这就是．导数的物理意义是非均匀变化量的瞬时变化率。传授新知3.2.1导数公式【教师】讲解导数公式（1）为常数 （2）为常数（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；...（详见教材）．✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例1，帮助学生理解导数公式

例1求函数的导数．解．✈【学生】聆听、思考、理解3.2.2导数的四则运算法则✈【教师】讲解导数的四则运算法则定理1设函数和都在点处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为0）都在点处具有导数，并且有（1）；（2）；（3）．证明过程详见教材。✈【学生】聆听、思考、记忆✈【教师】讲解例2，演示导数四则运算法则的用法

例

2求函数的导数．解

．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例3（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解“知识宝典”在求导数之前，首先判断能否对函数进行化简，若能，则先进行化简，再求导数，从而简化计算过程．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】讲解例4，巩固学生对导数四则运算法则的理解

例

4证明函数的导数为．证

．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例5（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解3.2.3复合函数的求导法则✈【教师】先扫码播放“复合函数的求导法则”微课视频（详见教材），然后进行讲解定理2若函数在点处可导，函数在点处可导，则复合函数在点处可导，且有，或．✈【学生】聆听、思考✈【教师】讲解例6，演示复合函数求导法则的用法

例

6求函数的导数．解是由和复合而成的，根据复合函数的求导法则，可得．✈【学生】聆听、思考、理解✈【教师】随机提问学生例7和例8（详见教材）✈【学生】聆听、思考、举手作答✈【教师】总结学生的回答，并进行讲解（详见教材）✈【学生】聆听、思考、理解【学生】聆听、思考、理解、记忆课堂讨论【教师】对学生进行分组，每组4～6人，并选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，思考下列问题：导数公式在解决实际问题中的应用【学生】分组、思考、讨论【教师】随机邀请学生，让其展示小组答案【学生】阐述、聆听【教师】总结学生的回答课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了导数公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则。希望大家在课下多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业请根据课堂知识，完成本节复习题3.2的内容。【学生】完成任务教学反思

课题3.3高