最短路径问题-教学设计

最短路径问题--教学设计一、教学目标（一）知识与技能1.理解并掌握“两点之间，线段最短”的基本事实。2.能运用上述基本事实及轴对称的性质解决简单的最短路径问题。3.初步体会“转化”的数学思想在解决几何问题中的应用。（二）过程与方法1.通过对具体问题的探究，经历观察、猜想、验证、归纳等数学活动过程，发展学生的几何直观和逻辑推理能力。2.在解决问题的过程中，引导学生学会分析图形，寻找隐含条件，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。（三）情感态度与价值观1.通过最短路径问题在生活中的应用，感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。2.在探究活动中，体验成功的喜悦，培养学生勇于探索、合作交流的精神。二、教学重难点（一）教学重点利用“两点之间，线段最短”及轴对称的性质解决简单的最短路径问题。（二）教学难点如何将折线问题转化为直线问题，即利用轴对称进行“化折为直”的转化。三、教学准备教师：多媒体课件（包含图片、动画、问题情境等）、直尺、圆规。学生：直尺、圆规、练习本、铅笔。四、教学过程（一）创设情境，引入课题（教师活动）同学们，我们每天上学、放学，或者外出活动，是不是都希望能走一条最近的路？比如，从家到学校，哪条路最短？（停顿，引导学生思考）这其实就涉及到我们数学中的一个重要问题——最短路径问题。今天，我们就一起来探究这个有趣又实用的数学问题。（板书课题：最短路径问题）（设计意图：从学生熟悉的生活情境出发，激发学生的学习兴趣和探究欲望，自然引入课题。）（二）回顾旧知，奠定基础（教师活动）在探究新问题之前，我们先回顾一个我们早已学过的基本事实，大家还记得“两点之间，什么最短吗？”（学生活动）齐答：两点之间，线段最短。（教师活动）非常好！（课件展示：平面上A、B两点，连接AB，显示“两点之间，线段最短”）这是我们解决最短路径问题的最根本依据。那么，如果问题稍微复杂一点，比如，涉及到直线、河流、障碍物等，我们又该如何寻找最短路径呢？（三）探究新知，合作交流1.问题情境一：牧马饮水（将军饮马问题原型）（教师活动）课件展示问题：一位牧马人从他的帐篷A地出发，到河边l饮马，然后回到他的营地B地。请问，他应该选择怎样的路线，才能使整个行程最短？（在黑板上画出简易示意图：直线l代表河流，A、B两点代表帐篷和营地，位于直线l的同侧）（学生活动）学生独立思考，尝试在练习本上画图，小组内交流想法。可能会有学生直接连接AB，发现与直线l没有交点；也可能会在直线l上任取一点C，连接AC、BC，比较不同点C的位置所形成的路径长度。（教师活动）巡视指导，观察学生的思考方向。然后提问：大家刚才在直线l上取了不同的点C，连接AC、CB，得到了不同的路径ACB。那么，哪个点C能使得AC+CB的长度最短呢？我们能不能想办法把这个问题和我们刚才回顾的“两点之间，线段最短”联系起来？（引导分析）我们知道，如果A、B两点在直线l的两侧，那么连接AB与直线l的交点C，就是使得AC+CB最短的点。（课件演示：A、B在直线l两侧的情况）现在A、B在直线l的同侧，怎么才能转化成我们熟悉的情况呢？（提示）我们学过哪些图形变换？轴对称变换有什么性质？（如果学生有困难，可以进一步提示：如果我们作出点A关于直线l的对称点A'，那么对于直线l上任意一点C，AC和A'C有什么关系？）（学生活动）在教师的引导下，学生可能会想到利用轴对称变换。作出点A关于直线l的对称点A'，则对于直线l上任意一点C，都有AC=A'C。因此，AC+CB=A'C+CB。此时，问题就转化为：在直线l上找一点C，使得A'C+CB最短。（教师活动）非常好！因为A'是A关于直线l的对称点，所以AC=A'C。那么AC+CB就等于A'C+CB。而A'和B是直线l两侧的两个点，根据“两点之间，线段最短”，连接A'B，与直线l的交点C，就是我们要找的点。（课件动态演示作图过程：作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于点C，连接AC、BC。）（总结）所以，牧马人应该从A地出发，沿AC到河边C点饮马，再沿CB回到B地，此时行程AC+CB最短。这种利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点，从而利用“两点之间，线段最短”解决问题的方法，是我们解决最短路径问题的常用策略。我们把这类问题称为“将军饮马”问题。2.问题情境二：造桥选址（可选，视学生情况而定）（教师活动）课件展示问题：如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）（分析思路）这个问题比上一个复杂一些，多了一个“桥”的因素。桥MN的长度是固定的（等于河宽），因为桥要与河岸垂直。所以，路径AMNB的总长度为AM+MN+NB。其中MN是定值，要使总路径最短，只要使AM+NB最短即可。（引导转化）如何将AM和NB连接起来呢？我们可以考虑将点A沿着与河岸垂直的方向平移，平移的距离等于河宽，得到点A'。这样，AM就等于A'N。那么AM+NB=A'N+NB。此时，问题转化为：当点N在河岸b的什么位置时，A'N+NB最短？（连接A'B，与河岸b的交点即为N点，再过N点作河岸的垂线MN即可。）（学生活动）学生尝试理解并复述转化过程，动手画图。（四）巩固练习，深化理解1.基础练习：*已知直线l和直线l外一点A，在直线l上求作一点P，使PA最短。（直接应用“垂线段最短”，但可以对比“两点之间线段最短”）*已知点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使PA+PB最短。（直接应用“将军饮马”模型）2.变式练习：*如图，在∠AOB内有一点P，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使△PMN的周长最短。（提示：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2与OA、OB分别交于M、N）*（选做）在直角坐标系中，点A（1，3），点B（4，2），在x轴上找一点P，使PA+PB最短，求出点P的坐标。（学生活动）独立完成，小组交流，代表展示解题思路和结果。教师点评，强调转化思想的应用。（五）课堂小结，提炼升华（教师活动）今天我们学习了最短路径问题，大家有哪些收获？（学生活动）学生总结：*基本依据：两点之间，线段最短；垂线段最短。*重要方法：轴对称变换（平移变换），将问题转化为“两点之间线段最短”的基本模型。*体会到了转化的数学思想。（教师活动）总结：最短路径问题在生活中有着广泛的应用。解决这类问题的关键在于观察图形特点，运用恰当的图形变换（如轴对称）将复杂问题转化为我们熟悉的基本问题，即“两点之间，线段最短”。这种“化未知为已知”的转化思想，是我们数学学习中非常重要的思想方法。（六）布置作业，拓展延伸1.必做题：教材对应练习题中关于“将军饮马”模型的题目。2.选做题：*如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸l1、l2彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，请问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？*思考：如果牧马人需要先到河边l1饮水，再到草地边缘l2吃草，然后回到营地B，又该如何寻找最短路径？（可以提示多次轴对称）五、板书设计（板书设计力求简洁明了，突出重点）最短路径问题1.基本依据：两点之间，线段最短。2.探究：牧马饮水问题（A、B在直线l同侧）*转化思想：轴对称*作法：1.作A关于l的对称点A'2.连接A'B交l于点C3.点C即为所求*路径：A->C->B（AC+CB最短）3.思想方法：转化（轴对称）、模型思想4.练习（简要板书题目关键信息和图形）六、教学反思（本部分为教师课后填写，反思教学目标的达成情况、学生的参与度、教学环节设计的合理性、是否有更好的引导方式等。例如：学生对轴对称变换的理解和应用是否到位？在哪个环节学生容易卡壳？问题情境