北京市北京中学2025-2026学年高二第二学期6月质量调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市北京中学2025-2026学年高二第二学期6月质量调研数学试题一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知全集U={x∈Z|x<3}，集合A={x∈Z|x<1}，则∁UA=(

)A.{x|1<x<3} B.2 C.{x|1≤x<3} D.{1,2}2.已知fx=3x9A.−2 B.−1 C.1 D.23.从4位男生，2位女生中选择3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法的种数为(

)A.24 B.36 C.72 D.964.为得到函数y=2x2+1的图象，只需把函数y=A.向右平移1个单位，再向上平移1个单位 B.向左平移1个单位，再向上平移1个单位

C.向左平移2个单位，再向上平移2个单位 D.向右平移2个单位，再向下平移2个单位5.甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是23，各局比赛是相互独立的，采用3局2胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为(

)A.13 B.19 C.7276.已知(x−3)4=a0A.−15 B.−16 C.−80 D.−817.已知a>0，b>0，0<c<1，则“cb<ca<1”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.某电子产品的电池健康度E随循环次数n衰减的函数模型为En=Ae−kn+30，其中A，k为常数，A>0,k>0,n∈N.已知E0=100，E100=80，则电池健康度从80衰减到50，循环次数大约需要增加(

)A.220 B.250 C.270 D.2809.设函数fx=x−alnx+b，若不等式fxA.a+b≤0 B.a+b≥2 C.a210.甲盒中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙盒中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，分别以A1，A2，A3表示由甲盒取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙盒中随机取出一球，以B①A1，A2②事件B与事件A1③PB④PB|AA.①② B.①③ C.②③ D.③④二、填空题：本大题共6小题，共30分。11.函数fx=ex−sinx，则f′12.“京八件”是北京最具有代表性的传统糕点，包括福字饼、禄字饼、寿字饼、喜字饼、太师饼、椒盐饼、枣花糕和萨其马，每种口味互不相同．某同学不喜欢萨其马，计划从其余7种糕点中任意选取5种品尝，每种最多选一个．则该同学不同的选法种数为

．13.2x−1x6的展开式中x314.某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为

．15.将函数fx=2x+axa>0的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象位于fx图象的上方，则a的一个取值为16.若集合A=B1∪B2∪⋯∪Bn，其中B1,B2,⋯,Bn为非空集合，Bi∩Bj=⌀，1≤i<j≤n，则称集合B1,B2,⋯,Bn为集合A的一个①B1中的元素存在最大值，②B1中的元素不存在最大值，③B1中的元素不存在最大值，④B1中的元素存在最大值，对于以上四种情况，可能成立的序号有

．三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.已知函数fx=x2(1)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得fx唯一确定．求函数f′(2)讨论函数fx条件①：函数fx的图象过点1,1条件②：x=1是函数f′x注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.某企业招聘员工，其中A，B，C，D，E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例(精确到1%)如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%(1)从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；(2)从应聘E岗位的6人中随机选择2名男性和1名女性，记X为这3人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；(3)表中A，B，C，D，E各岗位的男性、女性录用比例都接近(二者之差的绝对值不大于5%)，但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位.(只需直接写出结论)19.已知椭圆C：x2a2+y2(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线y=kx−2与椭圆C有两个不同的交点A,B，P为x轴上一点．是否存在实数k，使得以AB为直径的圆经过点P，且PA=PB20.已知函数fx=(1)求函数fx在e,f(2)求证：当x>1时，fx(3)设函数fx的定义域为D，求证：对∀x1,x221.对于正整数m，n(m≥3，n≥3)，集合M={(x，y)|1≤x≤m，1≤y≤n，x∈N，y∈N}.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素(a，b)，若存在(x，y)∈M且x>a，y>b，使得集合{(a，b)，(a，y)，(x，b)，(x，y)}与A的交集所含元素个数为0或4，则称(a，b)为A的一个“同形点”．(1)当m=n=3时，写出集合A={(1,1)，(2,2)}的所有“同形点”；(2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数；(3)若M的任意子集都有“同形点”，求mn的最小值．

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】0

12.【答案】21

13.【答案】240

14.【答案】31015.【答案】3 ；3

16.【答案】①②③

17.【答案】解：(1)条件①：函数fx的图象过点1,1f1=1−aln1=0，则条件②：x=1是函数f′xf′x=2x−ax，则∴fxf′x=2x−2x=2x2−2故选择条件②，f′x的零点为1(2)f′x当a≤0时，f′x=2x2当a>0时，令f′x=0，解得x=2a2∴0<x<2a2时，f′x>2a2时，f′综上，当a≤0时，fx在0,+∞当a>0时，fx在0,2a

18.【答案】解：(1)因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000，被该企业录用的人数为264+169=433，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P=433(2)应聘E岗位的6人中，男性有3人，录用2人，女性有3人，录用2人，则X可取1,2,3，PX=1X的分布列为X123P252期望EX(3)分析图表可得，A岗位中男女录取比例，但男性应聘人数明显更多，因此影响了总录取率，除去A岗位则男性应聘人数为264，录用人数为97，录用率约为37%；女性应聘人数为427，录用人数为145，录用率约为34%，二者之差的绝对值不大于5%，故只考虑其中B,C,D,E四种岗位，男性、女性的总录用比例也接近．

19.【答案】解：(1)由椭圆C：x2a2+y又离心率e=ca=由a2−b所以椭圆C的方程为x2(2)存在实数k，使得以AB为直径的圆经过点P，且PA=该直线的方程为y=x−2或y=−x−2．理由如下：假设存在实数k，使得以AB为直径的圆经过点P，且PA=由y=kx−2x24Δ=−16k2−4⋅设Ax1,y1，B设AB中点Mx0,y0由以AB为直径的圆经过点P，得PA⊥PB，又PA=PB，所以所以PM=12因为直线AB的斜率为k，所以PM的斜率为−1所以PM所在直线的方程为y−−令y=0，得−−63+4k2PM=AB由PM=12AB，得PA=x1由PA⊥PB，得PA⋅PB=0所以x1x1所以43+4化简得4解得k2综上，存在实数k，使得以AB为直径的圆经过点P，且PA=且该直线的方程为y=x−2或y=−x−2．

20.【答案】解：(1)由fx=x−1lnx，得f所以函数fx在e,fe处的切线方程为即x−ey+e(2)要证x>1时，fx>1，即证x−1ln所以只需证明lnx−x+1<0.令hx=lnx−x+1所以当x>1时，h′x<0，hx单调递减，所以h所以当x>1时，fx(3)由x1−x2即x1>x2时，fx因为D=0,1所以函数fx对∀x1,xfx在定义域D下面证明函数fx在定义域D①函数fx的定义域为xx>0且x≠1}，即D=令gx=xlnx−x+1，所以在0,1上g′x<0，gx单调递减，在1,+∞上g′所以当x∈0,1∪1,+∞时，gx>g1=0②下面证明0<x1<1<为此先证明px=ln当0<x<1时，p′x>0，px单调递增；当x>1时，p′所以px≤p1=0−1+1=0(所以0<x<1时，lnx<x−1，lnx>1时，0<lnx<x−1，所以fx综合得，当∀x1，x2∈D，且

21.【答案】解：(Ⅰ)(1，2)，(2,1)，

当“同形点”为(1,2)时，取(x,y)=(3,3)，

此时{(a,b)，(a,y)，(x,b)，(x,y)}={(1,2)，(1,3)，(3,2)，(3,3)}，

显然其与A={(1,1)，(2,2)}交集所含元素个数为0；

当“同形点”为(2,1)时，取(x,y)=(3,3)，

此时{(a,b)，(a,y)，(x,b)，(x,y)}={(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,3)}，

显然其与A={(1,1)，(2,2)}交集所含元素个数为0，

故其“同形点”为(1,2)，(2,1)．

(Ⅱ)A的“同形点”的个数为mn−m−n.证明如下：

设A={(i,j)}，由题：取集合T={(x,y)|1≤x<m，1≤y<n，x∈N，y∈N}．

若(x,y)为A的“同形点”，应有(x,y)∈T，且(x,y)∉A．

①当i<m，j<n时，若(x,y)∉A且(x,y)∈T，取(z,t)为(m,n)，

则{(x,y)，(x,t)，(z,y)，(z,t)}与A的交集元素个数为0，

此时(x,y)为A的“同形点”，共有(m−1)(n−1)−1=mn−m−n个；

②当i=m，j<n时，同理可得T中除(m−1,j)外，

其余元素都是A的“同形点”，共有mn−m−n个；

③当i<m，j=n时，同理可得T中除(i,n−1)外，

其余元素都是A的“同形点”，共有mn−m−n个；

④当i=m，j=n时，同理可得T中除(m−1,n−1)外，

其余元素都是A的”同形点”，共有mn−m−n个．

综上可得A的“同形点”的个数为mn−m−n．

(Ⅲ)mn的最小值为21.证明如下：

首先当m=3，n=7时，mn=21，由对称性不妨设A中元素个数不少于11，

对于j=1，2，…，7，设{(i,j)|(i,j)∈M}∩A的元素个数为xj，

1°若存在xk=3，因为11−3>6，所以存在l≠k，有xl≥2，