上海市2026年1月普通高校春季招生统一文化考试数学试卷（含答案）

2026年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷（完卷时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．已知集合，，若，则_____________.2．关于x的不等式的解集为__________.3．已知向量，，若，则_____________.4．在平面直角坐标系中,点到直线的距离为__________.5．在的二项展开式中，的系数为_______________.（结果用数值表示）6．已知正实数a，b满足，则ab的最大值是_____________.7．从甲、乙、丙、丁、戊5人中选择3人去参加辩论活动，要求甲一定参加，则不同的选法一共有_____________种.8．已知点P为抛物线上一点，若点P到抛物线的焦点的距离是点P到y轴的距离的2倍，则点P的横坐标是_____________.9．已知实数，复数z满足，若的最小值与的最小值相同，则_____________.（i为虚数单位）10．如图,在中,D,E在边BC上,且,若,与的夹角为,则的最大值为__________.11．已知椭圆与椭圆相交于A,B,C,D四点,且这四个点与和的四个焦点在同一个圆上,则__________.12．小申在乔迁新居时添置了一只油壶.壶身可视为直径、高的圆柱,油面高度为.壶嘴可视为长的线段,与壶身侧面成角,壶嘴最低点高出壶底,如图.若将油壶从壶底一端缓慢倾斜,则油恰好从壶嘴流出时,油壶的倾斜角为__________.(不计壶身的厚度和壶嘴的容积,结果精确到)二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.13．下列数列既是等差数列,又是等比数列的是()A.1,,1,B.1,2,3,4C.5,5,5,5D.2,3,5,714．已知实数x,y满足,则下列不等式恒成立的是()A.B.C.D.15．平移对称法在几何学中具有重要的应用.已知在平面直角坐标系xOy中,图形具有以下性质:过内任意一点P作x轴的垂线,满足为一线段.现沿方向平移这些线段,使得它们的中点均在x轴上,这样的操作叫做平移对称法.若是由曲线、曲线、直线和直线围成的封闭图形,则经过上述操作后,得到的图形大致为()A.B.C.D.16．对于函数,,定义点集.对于平面点集M,若存在,使得任取,总有,则称为最低点.对于函数和,下列说法正确的是()A.若和都有最小值,则有最低点B.若有最低点,则和都有最小值C.若或有最小值,则有最低点D.若有最低点,则或有最小值三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．某市民夜校开展了游泳、绘画、剪纸、摄影、声乐、编程等活动.各项目参加人数如下表所示:(单位:人)年龄游泳绘画剪纸摄影声乐编程总计86687104571071014755989616250总计242422243719150(1)为调查市民对活动的满意程度,需要随机抽取30人,现采用按年龄分层随机抽样的方式,则抽到的人中,年龄小于35岁且不小于25岁的有多少人?(2)试估计参加夜校的市民的平均年龄.(精确到0.1)(3)现从参加夜校的150名市民中随机抽取1人,记事件A为“抽到的人年龄小于45岁且不小于35岁”,事件B为“抽到的人选择摄影”.事件A与事件B是否相互独立?请说明理由.18．如图,在正四棱台中,,.(1)若,求直线与平面所成的角.(2)证明:平面;并求当该正四棱台的高为3时,三棱锥的体积.19．已知函数,其中,.(1)若,,求曲线在处的切线方程;(2)若的最小正周期为,且在区间上恰好有1351个解,求的取值范围.20．已知双曲线,过点作不垂直于x轴的直线l交双曲线于A,B两点.(1)求双曲线的离心率;(2)设点,点B在的右支上,且为线段AM的中点,求直线l的斜率;(3)若,的左、右焦点分别为,,为点A关于y轴的对称点,且存在直线l使得,求m的取值范围.21．对于定义在R上的函数,若对任意,当时,,则称具有性质P.(1)判断是否具有性质P;(2)若具有性质P,求所有满足条件的实数a,b;(3)若的值域为,且在上是严格增函数,证明:“为偶函数”的充要条件是“具有性质P”.

参考答案及解析1．答案：4解析：因为,,,所以,则.2．答案：解析：由,得,得,所以关于x的不等式的解集为.3．答案：2解析：因为,,,所以,解得.4．答案：解析：点到直线的距离.5．答案：18解析：的展开式的通项公式为,令,得,所以,所以的系数为18.6．答案：2解析：因为,,,所以,当且仅当,时等号成立,所以ab的最大值为2.7．答案：6解析：解法一:由题意,从除甲以外的4人中选2人即可,则不同的选法一共有(种).解法二:从5人中选3人,一共有(种)选法,若选出的3人中不含甲,则有(种)选法,所以甲一定参加的不同选法一共有(种).8．答案：1解析：如图,记抛物线的焦点为F,则.设,则,连接PF,则,又点P到y轴的距离为,所以,解得.9．答案：3解析：因为复数z满足,所以复数z在复平面内对应的点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.的几何意义是点Z到点的距离,的几何意义是点Z到点的距离.因为点到原点的距离为1,所以的最小值为,即的最小值为1,又,所以,解得.10．答案：解析：因为,所以,.设,,因为,与的夹角为,所以,,当时,取得最大值,且最大值为.11．答案：解析：如图,椭圆的左、右焦点分别为,,椭圆的下、上焦点分别为,.因为这四个焦点在同一个圆上,所以,解得,所以椭圆的方程为,四个焦点所在的圆的方程为.由,得,可得椭圆与圆的一个交点为,由题意可知,点在椭圆上,所以,解得.12．答案：解析：如图,设油壶的倾斜角为,当油液面经过点D时,.下面考虑油液面不超过点D时的情况,若油恰好从壶嘴流出,则油液面经过点F,设油液面经过点F时,油液面与AD,CB分别交于点G,H,GH的中点为M,过M作AD的垂线,垂足为N,则,,所以,又,所以.因为,所以,在中,,即,即,即,所以,得,又,所以油恰好从壶嘴流出时,油壶的倾斜角为.13．答案：C解析：既是等差数列,又是等比数列的一定是非零常数数列,故选C.14．答案：C解析：错误项分析A(×)(举反例)令,,满足,但.错误项分析B(×)(举反例)令,,满足,但,,.C(√)因为,所以,即.错误项分析D(×)(举反例)令,,满足,但,,.综上,选C.15．答案：A解析：首先作出曲线、曲线、直线和直线围成的封闭图形,如图中阴影部分所示.设直线,,则直线,与曲线,的交点分别为,,的中点.设经过平移对称操作后点A,B分别平移到,.当,即时,将A,B均向下平移个单位长度,则,.当,即时,,.当,即时,将A,B均向上平移个单位长度,则,.所以经过平移后,点的轨迹方程是;点的轨迹方程是,故选A.16．答案：D解析：错误项分析A(×)(举反例)如图1,二次函数与二次函数都有最小值,但函数和函数的图象没有交点,即,所以没有最低点,所以A错误.错误项分析B(×)(举反例)对于二次函数及一次函数,如图2中阴影部分所示,有最低点A,但函数没有最小值,所以B错误.错误项分析C(×)(举反例)对于二次函数及一次函数,如图3中阴影部分所示,二次函数有最小值,但没有最低点,所以C错误.D(√)若有最低点,则当这个最低点是函数图象上的点时,函数有最小值;当这个最低点是函数图象上的点时,函数有最小值.所以D正确.综上,选D.17．答案：(1)9(2)40.3岁(3)事件A与事件B不相互独立,理由见解析解析：(1)年龄在,,的人数分别为45,55,50,若采用分层随机抽样的方式抽取30人,则抽到年龄在的人数为.(2)以每组数据的中点值代表这组每个人的年龄,因为,所以这150人的平均年龄约为40.3岁.(3)由题意可知,,,,因为,所以事件A与事件B不相互独立.18．答案：(1)(2)证明见解析;三棱锥的体积为8解析：(1)如图,连接AC,交BD于O,取的中点,连接,则,O分别为正四棱台上、下底面的中心,且平面ABCD.因为,,所以,,在平面中,过作,交OA于E,则平面,即直线和平面ABCD所成的角,又,,所以在中,,所以,即直线与平面ABCD所成的角为.因为平面平面,所以直线与平面所成的角也为.(2)如图,连接,在正四棱台中,,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面,所以点A和到平面的距离相等,连接,则,因为该正四棱台的高为3,所以,所以三棱锥的体积为8.19．答案：(1)(2)解析：(1)因为,所以,又,所以,,所以,,因为,所以,则,则,所以,又,所以曲线在处的切线方程为,即.(2)因为的最小正周期为,所以,所以,则.令,因为,所以,所以在区间上恰好有1351个解,即的图象与直线在区间上恰好有1351个交点,因为的图象与直线在的一个最小正周期内有两个交点,且,所以在675个最小正周期中两个图象有1350个交点,所以的图象与直线在区间上有且只有一个交点,所以或,解得或.所以的取值范围是.20．答案：(1)(2)(3)解析：(1)因为双曲线的方程为,所以,所以,则离心率.(2)因为,,点B是线段AM的中点,所以,因为点B在双曲线上,所以,解得或,又点B在双曲线的右支上,所以,即,所以直线l的斜率.(3)由题意可得,直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为,代入双曲线的方程并消去x得,,.设,,则,则,,因为,,所以,,因为,所以,因为,,所以,化简得,所以,化简得,即,因为且,所以且,又,所以且,所以实数m的取值范围为.21．答案：(1)不具有性质P(2),(3)证明见解析解析：(1)当时,等价于,即.因为在R上单调递增,所以,不满足当时,,所以不具有性质P.(2)因为具有性质P,所以当时,由得,,所以.当时,对任意,都有,此时,即若具有性质P,则在处取得唯一最小值,所以.假设,当,,且时,因为,,所以,与矛盾,故假设不成立,故.,设的两根为,,,,假设,则,当,且时,,与矛盾,故假设不成立,同理,时也不满足题意,故.当且时,,是偶函数,且在上单调递增,,所以当时,都有,又,,所以成