比例的意义与性质及应用（教案）数学六年级下册北师大版

比例的意义与性质及应用（教案）数学六年级下册北师大版一、教学设计基本信息【课题】比例的意义与性质及应用【授课年级】小学六年级下学期【教材版本】北京师范大学出版社（北师大版）义务教育教科书·数学六年级下册【课时安排】共4课时（本设计为单元整体教学设计，涵盖新授课与综合练习课）【教材分析】本单元内容属于“数与代数”领域的核心部分，是学生在掌握了比的意义、比的化简、比的应用以及分数乘除法的基础上进行学习的。比例是刻画生活中数量关系的重要数学模型，它沟通了算术与代数之间的联系。本单元知识不仅为后续学习正比例、反比例函数奠定基础，更是解决实际问题（如地图缩放、图形放大缩小、配制溶液等）的有力工具。教材编排遵循从具体到抽象、从理解到应用的逻辑顺序，通过丰富的生活情境引导学生理解比例的意义，掌握比例的基本性质，并运用这些知识解决简单的实际问题。【学情分析】六年级学生已经具备了一定的抽象逻辑思维能力，能够理解变量之间的关系。他们对比的知识掌握较为扎实，能够熟练进行求比值和化简比。但对于比例这一更抽象的概念，尤其是比例基本性质的灵活运用以及在实际情境中准确判断两个比是否能组成比例，仍是认知上的挑战。学生易混淆“比”与“比例”的概念，在解比例时容易出现计算错误，在解决实际问题时寻找等量关系建立比例也是学习的难点。【教学目标】1.【基础】理解比例的意义，能正确判断两个比能否组成比例。认识比例的各部分名称，探索并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。2.【重点】能运用比例的意义和基本性质解决与比例有关的简单实际问题，如按比分配、比例尺计算等，体会数学与生活的密切联系。3.【难点】在解决问题的过程中，发展学生的模型意识和应用意识，提高分析问题和解决问题的能力，初步养成用数学眼光观察世界的习惯。【教学重难点】4.【核心概念】比例的意义和基本性质。5.【重点】理解比例的意义，掌握比例的基本性质。6.【难点】应用比例的基本性质解比例以及解决实际问题，特别是寻找等量关系列出比例式。【教学准备】多媒体课件（PPT）、导学案、视频展示台、三角板、中国地图（或世界地图）挂图。二、教学实施过程（第一课时：比例的意义与基本性质）（一）创设情境，引入新知上课伊始，教师通过多媒体展示三组不同情境中的“比”：情境一：天安门广场上的国旗，长5米，宽10/3米，长与宽的比是5：10/3，化简后是3：2。情境二：学校操场上的国旗，长2.4米，宽1.6米，长与宽的比是2.4：1.6，化简后也是3：2。情境三：一位同学的照片，原图长6厘米，宽4厘米；放大后的照片长15厘米，宽10厘米。教师提出问题：“观察这三组情境，你有什么发现？你能写出每组中两个量的比，并求出比值或化简比吗？”学生独立计算后，同桌交流。教师引导学生聚焦于情境三：“原图长与宽的比是6：4=3：2，放大后长与宽的比是15：10=3：2。我们发现这两个比化简后都是3：2，它们的比值也相等。”由此引出本节课的课题——比例。教师板书课题：比例的意义与性质。（二）探究交流，构建概念1.【重要】比例的意义教师引导：“像刚才发现的，两个比的比值相等，我们就说这两个比可以组成比例。”教师结合情境三明确：6：4和15：10这两个比的比值相等，我们可以用等号连接，写成6：4=15：10，也可以写成分数形式4/6=10/15（约分后为3/2）。接着，教师请学生仿照例子，从情境一和情境二中寻找可以组成比例的比。学生发现，5：10/3与2.4：1.6的比值相等，可以组成比例5：10/3=2.4：1.6。教师强调：表示两个比相等的式子叫作比例。这是判断两个比能否组成比例的关键依据。2.比例的项与名称教师以6：4=15：10为例，介绍比例的各部分名称。组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项（6和10）叫作比例的外项，中间的两项（4和15）叫作比例的内项。教师引导学生观察分数形式4/6=10/15，此时等号两端的分子和分母交叉对应，依然是6和10在外，4和15在内。学生尝试说出5：10/3=2.4：1.6的内项和外项。3.【核心】比例的基本性质教师出示探究任务：“请同学们任意写出几个比例，计算两个外项的积和两个内项的积，看看你能发现什么规律？”学生四人小组合作，举例计算。教师巡视指导，选取典型例子进行展示。如比例2：3=4：6，外项积2×6=12，内项积3×4=12；比例0.5：0.2=5：2，外项积0.5×2=1，内项积0.2×5=1。学生汇报发现：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。教师总结：这就是比例的基本性质。反过来，如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数就可以组成比例吗？教师引导学生讨论，明确这是性质的反向运用，也为后续解比例埋下伏笔。（三）巩固练习，内化新知1.基础练习：判断下面哪组中的两个比可以组成比例，并说明理由。（1）6：10和9：15（2）20：5和1：4（3）2/1：3/1和6：1（4）0.6：0.2和4/3：4/1学生独立完成，汇报时要求说清是根据比例的意义（看比值是否相等）还是根据比例的基本性质（假设能组成比例，看内项积是否等于外项积）进行判断。2.【高频考点】填空练习。（1）如果5a=3b（a、b均不为0），那么a：b=（）：（）。（2）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是2.5，另一个内项是（）。第（1）题引导学生逆向运用比例的基本性质，将等积式转化为比例式，注意对应关系。第（2）题考察对“互为倒数”概念的理解以及对比例基本性质的掌握，两个外项积为1，则内项积也为1，从而求出另一个内项。（四）课堂小结，回顾反思教师引导学生回顾：“通过今天的学习，你认识了什么是比例？它和我们以前学的‘比’有什么不同？你掌握了比例的哪些知识？”学生畅所欲言，教师梳理并强调：比例是一个等式，表示两个比相等；而比是由两个量组成。比例的基本性质是解比例的关键工具。（五）布置作业1.基础作业：课本练一练习题，寻找生活中的比例现象，记录下来。2.拓展作业：思考，如果给你四个数2、3、4、6，你能组成几个不同的比例？试一试。三、教学实施过程（第二课时：解比例）（一）复习导入，激活经验教师出示一组比例式，其中一项未知，如3：8=x：16。提问：“同学们，这个比例中有一个未知项x，你能根据我们昨天学过的知识，求出x的值吗？”学生尝试独立解决，教师巡视。学生可能会根据比例的意义，先求出已知比的比值（3/8），再根据比值相等求x，即x/16=3/8，x=6。也可能根据比例的基本性质，外项积等于内项积，得到8x=3×16，进而求出x=6。教师对两种方法都予以肯定，并重点引导学生聚焦于后一种方法，因为它更具一般性。（二）探索新知，掌握方法1.【重要】明确解比例的概念教师指出：在比例中，如果已知其中的任意三项，我们可以根据比例的基本性质求出那个未知项。求比例中的未知项，叫作解比例。今天我们就来学习如何解比例。2.【难点】解比例的过程与格式教师板书例题：解比例3：8=x：16。教师规范解题格式：解：根据比例的基本性质，得8x=3×168x=48x=6教师强调：（1）先写“解”字。（2）根据比例的基本性质将比例式转化为等积式（方程）。（3）解这个方程求出未知数的值。（4）检验，将求出的结果代入原比例，看两个比的比值是否相等或两外项积是否等于两内项积。3.分数形式的比例教师出示例题：解比例2.1/1.6=10.5/x。引导学生观察，这是分数形式的比例。教师提问：“在这种形式下，如何运用比例的基本性质？”学生思考后回答：交叉相乘。即2.1x=1.6×10.5。教师示范解比例过程，并提醒学生注意小数点位置的正确处理，最后检验。（三）分层练习，深化理解1.基础练习：解比例。（1）x：10=4/1：3/1（2）0.4：x=1.2：2（3）12/2.4=3/x学生独立完成，三人板演。集体订正时，重点关注第一步转化等积式是否正确，解方程过程是否规范，特别是分数和除法运算。2.【高频考点】解比例与方程结合。练习：在括号里填上合适的数，使比例成立。（1）5：（）=（）：8（2）已知一个比例的两个内项分别是0.6和8，两个比的比值都是2，请写出这个比例。第（1）题是开放题，学生需要综合运用比例的意义和性质，可以先假设其中一个未知项，再求出另一个。第（2）题需要学生逆向思考，根据比值先求出两个外项，再组成比例。（四）实际应用，建立模型教师创设情境：“法国巴黎的埃菲尔铁塔高度约320米。北京世界公园里有一座埃菲尔铁塔的模型，它的高度与原塔高度的比是1：10。这座模型的高度是多少米？”引导学生分析：题中“1：10”是模型高度与实际高度的比，即模型高度：实际高度=1：10。实际高度已知，设模型高度为x米，则可列出比例：x：320=1：10。学生独立解比例并作答。教师强调解题关键：根据题意正确找出题中的等量关系，列出比例式。（五）课堂小结学生分享解比例的心得体会。教师总结：解比例的关键是灵活运用比例的基本性质，将比例式转化为等积式，进而转化为已学过的方程来解。解题时要细心，计算要准确，并养成检验的好习惯。（六）布置作业1.完成练习册中解比例的相关习题。2.预习下一节“比例尺”。四、教学实施过程（第三课时：比例尺（一））（一）激趣导入，引发思考教师展示中国地图和北京市地图，提出问题：“我们的祖国地大物博，拥有960万平方公里的土地。这么广袤的土地，为什么可以画在这小小的地图上？工人师傅在建造大楼时，又是如何把图纸上几厘米长的线段变成几十米高的墙体的？”学生根据生活经验回答：是按一定的比缩小或放大了。教师顺势指出：这个在图上画图时所用的特殊的比，就是我们今天要学习的“比例尺”。板书课题：比例尺。（二）合作探究，理解概念1.【核心】比例尺的意义教师出示一幅地图上的比例尺标识（数值比例尺，如1：100000000），并讲解：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。即：图上距离：实际距离=比例尺或实际距离（图上距离）=比例尺教师强调比例尺是一个特殊的比，它不带单位名称。为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是1的形式。2.数值比例尺与线段比例尺教师展示1：100000000和这两种形式。讲解：像1：100000000这样用数字比的形式表示的，是数值比例尺。而像这种用一条线段表示的形式，叫作线段比例尺。线段比例尺050km，表示图上1厘米代表实际距离50千米。引导学生观察并理解线段比例尺的含义，并尝试将线段比例尺转化为数值比例尺（注意单位统一：50km=cm，比例尺为1：）。3.【重要】比例尺的应用（求比例尺）出示例题：北京到天津的实际距离大约是120千米，在一幅地图上量得两地的图上距离是2.4厘米。这幅地图的比例尺是多少？学生尝试独立解决，教师巡视指导。汇报时，重点检查单位是否统一。学生计算过程：120千米=厘米2.4：=1：答：这幅地图的比例尺是1：。教师强调：求比例尺时，图上距离和实际距离的单位一定要统一，最后的结果要化成前项或后项是1的最简整数比。（三）巩固练习，强化认知1.基础练习：一个圆柱形零件的高是5毫米，在图纸上的高是2厘米。这幅图纸的比例尺是多少？（强调求比例尺时，图上距离与实际距离的单位统一，分清哪个是图上距离，哪个是实际距离。本题中图纸上的高是图上距离。）2.辨析练习：（1）所有的比例尺前项都是1。（判断，并举例说明。如机器零件图纸上的比例尺5：1，后项为1，是放大比例尺。）（2）比例尺1：500表示图上1厘米相当于实际距离500千米。（判断，错误，应为500厘米或5米）（四）联系生活，拓展视野教师展示不同形式的比例尺，如精密仪器图纸上的10：1，建筑图纸上的1：100等，引导学生讨论：什么时候用前项为1的比例尺？什么时候用后项为1的比例尺？学生明确：将实际物体缩小用前项为1的比例尺（如地图）；将实际物体放大用后项为1的比例尺（如精密零件图纸）。（五）课堂小结学生复述什么是比例尺，数值比例尺与线段比例尺如何互化。教师强调比例尺的本质是一个比，计算时注意单位统一。（六）布置作业1.测量自己卧室的长和宽，选择合适的比例尺画出平面图。2.收集生活中见到的比例尺，并说明它属于哪种类型。五、教学实施过程（第四课时：比例尺（二）与面积应用）（一）复习回顾，引入新课教师提问：“什么是比例尺？已知实际距离和比例尺，如何求图上距离？已知图上距离和比例尺，如何求实际距离？”学生回顾公式：图上距离=实际距离×比例尺；实际距离=图上距离÷比例尺。教师点明：这节课我们继续学习比例尺的应用，特别是解决稍复杂的实际问题。（二）【高频考点】解决实际问题1.【难点】已知比例尺和图上距离，求实际距离。出示例题：在比例尺是1：的中国地图上，量得北京到上海的距离大约是18厘米。北京到上海的实际距离大约是多少千米？学生尝试列式解答。可能出现两种解法：方法一（用方程解）：设实际距离为x厘米。根据比例尺的意义，列出比例式18：x=1：，解得x=108000000，再换算成千米为1080千米。方法二（算术法）：实际距离=图上距离÷比例尺，即18÷/1=18×=108000000（厘米）=1080（千米）。教师引导学生对比两种方法，明确方程法更符合比例的意义，算术法计算更快捷。重点强调单位换算，图上距离单位通常是厘米，求出的实际距离要根据题目要求进行换算。2.已知比例尺和实际距离，求图上距离。出示例题：一个长方形操场，长200米，宽150米。如果把它画在比例尺是1：5000的图纸上，长和宽各应画多少厘米？学生独立完成，集体订正。教师强调：（1）先将实际距离的单位米化成厘米。（2）根据图上距离=实际距离×比例尺进行计算。（3）结果用厘米作单位。（三）【难点与热点】比例尺在图形面积中的应用教师出示探究问题：“在比例尺为1：200的图纸上，量得一个圆形花坛的半径是2厘米。这个花坛的实际占地面积是多少平方米？”教师引导学生思考：要求实际占地面积，需要知道实际的半径。先根据比例尺求出实际的半径：实际半径：2÷200/1=2×200=400（厘米）=4（米）。再求实际面积：π×4²=3.14×16=50.24（平方米）。教师追问：“图上面积与实际面积的比是1：200吗？”学生产生认知冲突，通过计算发现图上面积（π×2²=4π）与实际面积（π×4²=16π）的比是4π：16π=1：4，而比例尺是1：200，面积的比是比例尺的平方。教师总结：比例尺是长度的比，应用到面积上，面积比是比例尺的平方。这是一个重要的拓展知识。（四）综合练习，提升能力1.在一幅比例尺是1：的地图上，量得甲、乙两地的距离是6厘米。一辆汽车以每小时60千米的速度从甲地开往乙地，需要多少小时？（先求实际距离，再求时间。综合运用比例尺与行程问题。）2.一个精密零件长3毫米，画在图纸上长6厘米。这张图纸的比例尺是多少？如果在这张图纸上量得另一个零件的长度是4.5厘米，这个零件的实际长度是多少毫米？（第一问求比例尺，是放大比例尺。第二问利用求出的比例尺求实际长度。）（五）课堂小结学生总结比例尺应用题的解题步骤：一“看”（看清题目条件，明确已知和未知）；二“统”（统一单位）；三“列”（根据比例尺的意义列出比例式或算式）；四“解”（正确计算）；五“检”（检查结果是否合理，单位是否正确）。（六）布置作业1.完成练习册中比例尺的综合应用题。2.小组合作：选取学校的一个景点（如花坛、升旗台等），测量所需数据，确定比例尺，绘制平面图。六、比例综合经典例题解析【例题1】【基础】判断：下面各组中的两个比能否组成比例？并写出比例。（1）0.6：0.8和0.8：1.2（2）4：5和0.8：1（3）2/1：3/1和6：4解析：判断两个比能否组成比例，关键看它们的比值是否相等，或运用比例的基本性质（假设能组成比例，看两内项积是否等于两外项积）。（1）0.6：0.8=0.75，0.8：1.2≈0.667，比值不相等，不能组成比例。（2）4：5=0.8，0.8：1=0.8，比值相等，能组成比例，即4：5=0.8：1。（3）2/1：3/1=1.5，6：4=1.5，比值相等，能组成比例，即2/1：3/1=6：4。【易错警示】化简比和求比值容易混淆，这里是看比值是否相等。【例题2】【重点】根据等式3×8=4×6，写出八个不同的比例。解析：根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。将3和8同时作为外项（或内项），4和6同时作为内项（或外项），然后交换位置即可得到不同的比例。3：4=6：83：6=4：88：4=6：38：6=4：34：3=8：66：3=8：44：8=3：66：8=3：4【思想方法】有序思考，避免遗漏。【例题3】【高频考点】解比例。（1）x：2.5=4：5/4（2）1.2/x=6/5（3）3/2：6/5=x：2解析：解比例的依据是比例的基本性质，将比例式转化为等积式。（1）解：5x=2.5×4，5x=10，x=2。（2）解：6x=1.2×5，6x=6，x=1。（3）解：6/5x=3/2×2，6/5x=3，x=3÷6/5=3×5/6=2.5。【注意】遇到分数比例时，交叉相乘要准确，解方程要细心。【例题4】【热点】在比例尺是1：的地图上，量得A、B两城的距离是3.6厘米。一辆客车和一辆货车同时从A、B两城相对开出，2.5小时后相遇。已知客车和货车的速度比是5：4，客车每小时行多少千米？解析：这是一道比例尺与相遇问题、按比分配结合的综合性题目。第一步：根据比例尺求实际距离。实际距离=图上距离÷比例尺=3.6÷/1=3.6×=（厘米）=180（千米）。第二步：根据相遇问题求速度和。速度和=总路程÷相遇时间=180÷2.5=72（千米/时）。第三步：根据速度比按比分配求客车的速度。客车速度=速度和×（5+4）/5=72×9/5=40（千米/时）。答：客车每小时行40千米。【模型意识】本题串联了多个知识点，需要学生抽丝剥茧，理清解题顺序。【例题5】【难点】小明在读一本故事书，已读的页数和未读的页数比是2：3。如果再读30页，这时已读的页数和未读的页数比是4：1。这本书一共有多少页？解析：这类题的特点是总页数不变。抓住不变量是解题的关键。解法一：设这本书一共有x页。原来已读的页数是总页数的（2+3）/2=5/2。再读30页后，已读的页数是总页数的（4+1）/4=5/4。等量关系：原来已读页数+30=现在已读页数列方程：5/2x+30=5/4x解方程：5/4x5/2x=30，5/2x=30，x=75。解法二：用份数法。原来总份数为5份，已读占2份；现在总份数也为5份，已读占4份。增加了42=2份，这2份对应的页数是30页。所以1份是30÷2=15页，总页数就是15×5=75页。答：这本书一共有75页。【重要】两种方法都体现了比例与分数的转化，份数法更为简便。七、过关练习（分层设计）（一）基础过关（面向全体，巩固核心）1.【基础】填空题。（1）表示（）相等的式子叫作比例。（2）在比例里，两个（）的积等于两个（）的积，这叫作比例的基本性质。（3）用12的四个因数组成一个比例是（）。（4）如果7a=8b（a、b均不为0），那么a：b=（）：（）。2.【基础】解比例。（1）x：12=0.5：3（2）4.8/3.2=x/8（3）4/3：x=3：123.【基础】应用题。一辆汽车从甲地开往乙地，3小时行驶了180千米。照这样的速度，再行驶2.4小时就能到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？（用比例解）（二）能力提升（面向大多数，突破难点）1.【重点】在比例尺是1：的地图上，量得甲乙两地相距20厘米，两列火车同时从甲乙两地相对开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米，几小时后两车相遇？2.【难点】配制一种药水，药粉和水的质量比是1：500。（1）现有水1500千克，要配制这种药水，需要药粉多少千克？（2）现有药粉8千克，可以配制这种药水多少千克？3.【热点】某车间要生产一批零件，原计划每天生产120个，8天完成。实际每天多生产40个，实际几天完成？（用比例解，注意成什么比例）（三）思维拓展（面向优生，培养素养）1.【挑战】甲、乙、丙三个数的平均数是90，甲、乙、丙三个数的比是2：3：4，甲、乙、丙三个数各是多少？2.【挑战】修一条公路，已修的和未修的长度比是1：3，再修300米后，已修的和未修的长度比是1：2。这条公路全长多少米？3.【挑战】如下图（图略，描述为：两个平行四边形A和B重叠在一起，重叠部分的面积是A的4/1，是B的6/1），已知A的面积是12平方厘米，求B比A的面积多多少平方厘米？（提示：设重叠部分面积为桥梁，用比例解）八、过关练习参考答案与解析（一）基础过关参考答案1.填空题（1）两个比（2）外项；内项（3）1：2=6：12（答案不唯一，如1：3=4：12，2：3=4：6等）（4）8：72.解比例（1）x：12=0.5：3，解：3x=12×0.5，3x=6，x=2。（2）4.8/3.2=x/8，解：3.2x=4.8×8，3.2x=38.4，x=12。（3）4/3：x=3：12，解：3x=4/3×12，3x=9，x=3。3.应用题解：设甲、乙两地相距x千米。根据速度一定，路程和时间成正比例。180：3=x：（3+2.4）180：3=x：5.43x=180×5.43x=972x=324答：甲、乙两地相距324千米。（二）能力提升参考答案1.实际距离：20÷/1=20×=（厘米）=800（千米）相遇时间：800÷（55+45）=800÷100=8（小时）答：8小时后两车相遇。2.（1）设需要药粉x千克。x：1500=1：500500x=1500x=3答：需要药粉3千克。（2）设可以配制药水y千克。（药水质量=药粉+水）药粉：水=1：500，则药粉：药水=1：（1+500）=1：5018：y=1：501y=8×501y=4008答：可以配制这种药水4008千克。3.解：设实际x天完成。零件总数一定，每天生产数量与天数成反比例。（120+40）x=120×8160x=960x=6答：实际6天完成。（三）思维拓展参考答案1.三个数的总和：90×3=270总份数：2+3+4=9一份量：270÷9=30甲：30×2=60乙：30×3=90丙：30×4=120答：甲是60，乙是90，丙是120。2.解析：公路全长不变。原来已修占全长的1+3/1=4