第3讲 不等式的性质与分式不等式高次不等式【6个核心题型归纳】2027届高三数学一轮复习【原卷版及解析版】

2027届高考数学一轮复习题型全归纳2/45第3讲不等式的性质与分式不等式高次不等式题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】作差/作商法比较数（式）的大小核心知识 作差法原理：；； 作商法原理：当时，；； 适用场景：代数式结构复杂、直接判断困难时，通过差或商的符号判断大小关系方法技巧1.作差法通用步骤：作差→变形（因式分解/配方/通分）→判断差的符号→得出大小关系2.作商法适用条件：比较的两个数（式）均为正数，尤其适用于指数式、幂式比较3.变形技巧： 因式分解：将差式分解为易判断符号的因式乘积 配方：将差式配成完全平方形式，利用非负性判断符号 通分/有理化：分式或根式作差后，通分或有理化处理4.特殊情况处理：差式无法直接判断符号时，可代入特殊值辅助验证，再分情况讨论【经典例题1】（2026·青海西宁·二模）已知a>b>0>c，则下列不等式一定正确的是（

）A．ac>bc B．a(a+c)>b(b+c) C．a(b−c)>b(a−c) D．1【经典例题2】（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若ℎ1+ℎ2=4r，则圆锥的体积VA．V1>V2 B．V1【巩固练习1】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知m>n>0，则（

）A．mn<nmC．m+n22>【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知a>b>0，则ab与a+1b+1的大小是【巩固练习3】（25-26高一上·北京·月考）已知M=a+2a+3，N=a+1A．M=N B．M<NC．M>N D．无法确定【题型2】不等式的性质与真假判断核心知识 基本性质： 1.对称性： 2.传递性： 3.可加性：； 4.可乘性：；； 5.乘方/开方性：； 易错性质：（不恒成立，如）；（不恒成立，如）方法技巧1.性质逐一验证法：根据不等式的基本性质，逐条验证命题是否成立2.举反例排除法：对错误命题，只需举出一个反例即可否定，适用于选择题3.符号优先判断：判断含乘方、倒数的不等式时，先明确各数的正负，避免直接套用性质4.等价变形法：将不等式变形为等价形式，再结合已知性质判断，如将变形为【经典例题1】（2026·山东济宁·三模）（多选）已知a，b，c为实数，则（）A．若ac2>bc2，则a>b B．若C．若a>b>c>0，则b+ca+c>ba D．若a>0，b>0【经典例题2】（2026·湖南长沙·二模）已知a,b,c∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是（

）A．1a<1b B．a2>【巩固练习1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数a，b满足a>b，且1a>1A．ab>0 B．a+b>0 C．a+b<0 D．ab<0【巩固练习2】（2026·陕西·模拟预测）（多选）如果a,b,c,d∈R,ab≠0，则下列说法正确的是（

）A．若a>b，则1B．若ac2C．若a>b,c>d，则ac>bdD．若b>a>0,c>0，则b+c【巩固练习3】（2026·重庆·二模）已知a<b<c，则（）A．ac<bc B．ac<C．2a+b<2b+c D．b−a<c−b【题型3】由不等式的性质求和式/差式/商式的范围核心知识 同向不等式可加性：； 异向不等式可减性：（等价于，再相加） 同向正数不等式可乘性：；可除性： 易错点：同向不等式只能相加，不能相减；同向正数不等式只能相乘，不能相除，需转化为加法/乘法形式方法技巧1.线性组合法：将目标式表示为已知不等式的线性组合，如已知，求的范围，通过设转化求解2.分步推导法：先利用同向可加性求、的范围，再结合可乘性求目标式范围，避免直接多次相加导致范围扩大3.变量分离法：将目标式中的变量分离，分别判断各部分的范围，再结合不等式性质推导4.端点验证法：求出范围后，验证端点是否能取到，避免因多次使用不等式性质导致范围失真【经典例题1】（24-25高一上·广西河池·期中）已知2<a<3,−2<b<0，则a+2b的取值范围为（

）A．0≤a+2b≤3 B．0≤a+2b<3 C．−2≤a+2b≤3 D．−2<a+2b<3【经典例题2】（25-26高一下·四川成都·期中）若1<a+b<4,−2<a−b<4，则a+3b的取值范围是（）A．−5<a+3b<1 B．−2<a+3b<10 C．−2<a+3b<9 D．−5<a+3b<10【巩固练习1】（25-26高一下·河南商丘·月考）已知−1≤x+y≤1，1≤x−y≤2，则4x−2y的取值范围是（

）A．2,7 B．3,8 C．2,8 D．5,10【巩固练习2】（25-26高一下·山东德州·月考）已知1≤2x−y≤2,−1≤2x+3y≤1，则6x+y的取值范围为______【巩固练习3】（25-26高二上·北京朝阳·月考）已知实数a,b．(1)若−3<a<1,18<b<(2)若−1<a+b<3,2<a−b<4，求2a+3b的取值范围．【题型4】由已知不等式判断条件不等式核心知识 已知条件不等式（如等），判断目标不等式是否成立，本质是对不等式性质的综合应用 核心逻辑：利用已知条件，结合不等式的对称性、传递性、可加性、可乘性等，推导目标不等式的符号或大小关系方法技巧1.性质链推导法：从已知条件出发，逐步利用不等式性质推导目标不等式，形成完整的逻辑链2.特殊值代入法：代入符合已知条件的特殊值，验证目标不等式是否成立，快速排除错误选项3.符号分析优先：先判断各变量的正负，再利用可乘性、倒数性质推导，如说明同号，可用于判断倒数不等式4.等价变形法：将目标不等式变形为与已知条件相关的形式，如判断可变形为，结合已知的符号，只需判断的符号【经典例题1】（2026·山东东营·二模）（多选）已知m>n>0，则下列说法正确的是（

）A．lnm>lnnC．若c>0，则mc>nc D．1【经典例题2】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知a<b<0，则（

）A．13a2C．2a−a【巩固练习1】（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知log3a>logA．a−b>b B．1C．a|a|>b|b| D．1【巩固练习2】（24-25高二下·江苏苏州·期末）（多选）已知a>b>0，则（

）A．ab>b2 C．a−b>【巩固练习3】（2025·海南·三模）（多选）已知实数x, y满足x<y，则下列不等式一定成立的是（A．y3>x3 B．log3y−x【题型5】分式不等式核心知识 定义：形如的不等式，其中 等价转化： 关键：分式不等式转化为整式不等式时，必须注意分母不为0的限制方法技巧1.等价转化法：将分式不等式转化为整式不等式（组）求解，注意保留分母不为0的条件2.数轴标根法（穿针引线法）：将整式不等式的根标在数轴上，从右上方穿线，奇次根穿过，偶次根不穿过，快速写出解集3.移项通分法：对含多个分式的不等式，先移项、通分，化为单个分式再求解，避免直接交叉相乘（易出错）4.特殊情况处理：当分子或分母含参数时，需分类讨论分母的正负，避免直接乘除导致不等号方向错误【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）不等式x−4x−1≥2的解集是（A．{x∣−2≤x≤1} B．{x∣x≤−2} C．{x∣−2≤x<1} D．{x∣x>1}【经典例题2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）不等式x−3x−1≤0的解集是（A．{x∣1<x≤3} B．{x∣1<x<3} C．{x∣1≤x≤3} D．{x∣x≤3}【巩固练习1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）不等式x−4x−1A．{x∣−2≤x≤1} B．{x∣x≤−2}C．{x∣−2≤x<1} D．{x∣x>1}【巩固练习2】（25-26高二下·江西抚州·期中）已知定义在0,3上的函数fx的图象如图所示，则不等式f′xA．1,2 B．2,3 C．1,2∪2,3 【巩固练习3】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）不等式3x−12−x≤1的解集是（A．34,2 B．34,2 C．【题型6】高次不等式核心知识 定义：次数高于2次的整式不等式，形如 核心解法：因式分解+数轴标根法，将高次多项式分解为一次因式的乘积，再通过穿线法求解 关键：正确因式分解、判断各因式根的重数，以及最高次项系数的符号方法技巧1.因式分解法：将高次多项式分解为的形式，其中为根，为根的重数2.数轴标根法步骤： 1.移项：将不等式化为的形式，且最高次项系数为正 2.标根：求出的所有根，标在数轴上 3.穿线：从数轴右上方开始穿线，奇次根穿过数轴，偶次根不穿过（“奇穿偶不穿”） 4.写解集：根据不等式符号，取数轴上方（）或下方（）的区间，注意时包含实根，时不包含3.易错点规避：穿线前必须将最高次项系数化为正，否则穿线方向会错误；重根的处理要严格遵循“奇穿偶不穿”4.含参数高次不等式：先因式分解，再根据根的大小分类讨论，画出数轴标根图求解参数范围【经典例题1】（2026·辽宁辽阳·二模）不等式2−x2x≥1的解集是（A．−∞,1∪4,+∞ B．1,4 【经典例题2】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）“x>1”是“x3+4xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【巩固练习1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）不等式x+12−x2【巩固练习2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）不等式x3x3A．−∞,−2∪C．−2,0∪0,2【巩固练习3】（25-26高一上·湖南常德·月考）解下列不等式：(1)−x(2)3+2(3)x课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）不等式x−1x−3A．xx<1或x≥3C．xx≤1或x>32．（2026·山东济宁·三模）已知集合A=xx−1<1，B=A．0,1 B．1,2 C．0,2 D．−1,23．（25-26高一下·四川成都·期中）已知M=x²−2x+4,N=2x−1，则M与N的大小关系为（

）A．M>N B．M<N C．M≥N D．与x有关4．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知a,b,c∈R，且a>b，c>1，ab≠0，则（

）A．a−c>b−1 B．ac>b C．cb>c5．（2026高三·全国·专题练习）设a>b>0，下列不等式不正确的是（

）A．ab<a2+b22 B．ab<6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）不等式x2+2x−23+2x−A．−1,2∪3,+∞ B．−1,2∪3,+∞7．（2026·山东聊城·二模）已知正数a,b,c满足logac>logA．c>1 B．a<bC．ac>b8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（

）A．7−5>C．2ln3<3ln9．（2026·北京昌平·二模）设−1<x<0<y<1，则下列不等式一定成立的是（

）A．log2x−C．x2−y10．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知a,b∈R，且0<|a|<b<1，则（

）A．a2>b2 B．1a>二、多选题11．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）若a>b>0，c<d<0，则（

）A．a−c>b−d B．ad>bc C．ac>b12．（2026高一·全国·专题练习）（多选题）若实数a，b满足1≤a+b≤5,−1≤a−b≤3，则下列说法正确的有（）A．a的取值范围为[0,4] B．b的取值范围是[−1,3]C．3a−2b的取值范围是[−2,10] D．3a−2b的取值范围是[−6,14]13．（25-26高三·全国·一轮复习）[多选]下列说法中正确的是（

）A．若c>0，ac>bc，则a>bB．若−2<a<4，1<b<3，则−8<a−2b<2C．若a>b>0，m<0，则mD．若−2<a+b<4，1<b−2a<3，则−9<a−2b<014．（2026·贵州黔西南·二模）已知实数a，b满足a−1>b−1，则（A．a>b B．1C．a−ba+b−2<0 三、填空题15．（25-26高一上·重庆·月考）不等式(x2−3x+2)(四、解答题16．（24-25高一上·广西河池·期中）比较(x−3)2与(x−2)(x−4)

第3讲不等式的性质与分式不等式高次不等式题型总览题型总览总览核心题型归纳（目录）模块一模块一核心题型·举一反三【题型1】作差/作商法比较数（式）的大小核心知识 作差法原理：；； 作商法原理：当时，；； 适用场景：代数式结构复杂、直接判断困难时，通过差或商的符号判断大小关系方法技巧1.作差法通用步骤：作差→变形（因式分解/配方/通分）→判断差的符号→得出大小关系2.作商法适用条件：比较的两个数（式）均为正数，尤其适用于指数式、幂式比较3.变形技巧： 因式分解：将差式分解为易判断符号的因式乘积 配方：将差式配成完全平方形式，利用非负性判断符号 通分/有理化：分式或根式作差后，通分或有理化处理4.特殊情况处理：差式无法直接判断符号时，可代入特殊值辅助验证，再分情况讨论【经典例题1】（2026·青海西宁·二模）已知a>b>0>c，则下列不等式一定正确的是（

）A．ac>bc B．a(a+c)>b(b+c) C．a(b−c)>b(a−c) D．1【答案】C【分析】根据不等式性质以及特殊值求解.【详解】选项A：因为a>b，c<0，所以ac<bc，错误.选项B：a(a+c)−b(b+c)=aa−b>0，取a=1,b=0.5,c=−2，则(a−b)(a+b+c)=0.5×(−0.5)<0，错误.选项C：a(b−c)−b(a−c)=ab−ac−ab+bc=c(b−a).因为c<0，b−a<0，故c(b−a)>0，即a(b−c)>b(a−c)，C正确.选项D：取a=5,b=3,c=−1，满足a>b>0>c，则左边1a−b=12，右边【经典例题2】（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若ℎ1+ℎ2=4r，则圆锥的体积VA．V1>V2 B．V1【答案】C【详解】因圆锥与圆柱的表面积相等，则有πr整理得ℎ12=4代入化简得3解得：ℎ2=221−3因V1=1则V1故V1【巩固练习1】（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知m>n>0，则（

）A．mn<nmC．m+n22>【答案】D【分析】对于A，把不等式两边平方再作差即可判断；对于B，根据特殊值法即可判断；对于C，利用均值不等式即可判断；对于D，根据基本不等式即可判断.【详解】对于A，因为m>n>0，所以可得mn>0,nm>0，则mn2−所以mn对于B，令m=3,n=2，则m+n=5,mn=6，则m+n<mn，故B错误;对于C，根据均值不等式m+n22≤又因为m>n，所以等号不成立，则m+n2对于D，因为m>n>0，所以nm>0,m当且仅当m=n时等号成立，而m>n，所以等号不成立，则nm故选：D【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知a>b>0，则ab与a+1b+1的大小是【答案】a【分析】利用作差法求解即可【详解】ab∵a>b>0，∴a−b>0,b(b+1)>0，∴ab故答案为：a【巩固练习3】（25-26高一上·北京·月考）已知M=a+2a+3，N=a+1A．M=N B．M<NC．M>N D．无法确定【答案】C【分析】作差即可比较作答.【详解】M−N=a+2a+3−故选：C【题型2】不等式的性质与真假判断核心知识 基本性质： 1.对称性： 2.传递性： 3.可加性：； 4.可乘性：；； 5.乘方/开方性：； 易错性质：（不恒成立，如）；（不恒成立，如）方法技巧1.性质逐一验证法：根据不等式的基本性质，逐条验证命题是否成立2.举反例排除法：对错误命题，只需举出一个反例即可否定，适用于选择题3.符号优先判断：判断含乘方、倒数的不等式时，先明确各数的正负，避免直接套用性质4.等价变形法：将不等式变形为等价形式，再结合已知性质判断，如将变形为【经典例题1】（2026·山东济宁·三模）（多选）已知a，b，c为实数，则（）A．若ac2>bc2，则a>b B．若C．若a>b>c>0，则b+ca+c>ba D．若a>0，b>0【答案】ACD【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对1a【详解】选项A：已知ac2>bc2选项B：当a=1,b=−1时，满足a>b，ab=1×(−1)=−1≠0，此时1a=1,1选项C：b+ca+c因为a>b>c>0，所以a−b>0,a+c>0，所以ca−baa+c>0，即选项D:已知a+b=1,a>0，b>0，将1a+1根据基本不等式，因为a>0,b>0，所以ba则ba+ab≥2所以1a+1【经典例题2】（2026·湖南长沙·二模）已知a,b,c∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是（

）A．1a<1b B．a2>【答案】C【分析】根据不等式的基本性质，运用举反例的方法，逐一分析选项，判断在a>b的条件下，各选项中的不等式是否一定成立.【详解】选项A：当取a=1，b=−1，此时a>b，但1a=1，1b选项B：当取a=1，b=−2，此时a>b，但a2=1，b2选项C：因为函数f(x)=x3在R上是单调递增函数，因此当a>b时，必有选项D：当c=0时，ac【巩固练习1】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知实数a，b满足a>b，且1a>1A．ab>0 B．a+b>0 C．a+b<0 D．ab<0【答案】D【详解】1a因为a>b，所以b−a<0，所以由b−aab若a=3,b=−1，显然a>b，ab<0，此时a+b>0，若a=12,b=−1，显然a>b，ab<0所以选项BC都不恒成立，所以选项BC都不正确.【巩固练习2】（2026·陕西·模拟预测）（多选）如果a,b,c,d∈R,ab≠0，则下列说法正确的是（

）A．若a>b，则1B．若ac2C．若a>b,c>d，则ac>bdD．若b>a>0,c>0，则b+c【答案】BD【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉c2【详解】对于A：取a=1,b=−2，则1a对于B：由ac2>bc2，可知c2≠0对于C：取a=1,b=−1,c=0,d=−2，ac=0,bd=2，此时ac<bd，故C错误；对于D：b+ca+c因为b>a>0，所以a−b<0；又c>0，aa+c即b+ca+c−b【巩固练习3】（2026·重庆·二模）已知a<b<c，则（）A．ac<bc B．ac<C．2a+b<2b+c D．b−a<c−b【答案】C【分析】对于ABD，举反例即可，对于C，利用不等式的基本性质即可证明.【详解】对于A：当c≤0时，不等式不成立，故A错误；对于B：取a=2,b=3,c=10，则ac>b对于C：因为a<b<c，所以2a<b+c，即2a+b<2b+c，故C正确；对于D：取a=1,b=3,c=4，则b−a>c−b，故D错误.【题型3】由不等式的性质求和式/差式/商式的范围核心知识 同向不等式可加性：； 异向不等式可减性：（等价于，再相加） 同向正数不等式可乘性：；可除性： 易错点：同向不等式只能相加，不能相减；同向正数不等式只能相乘，不能相除，需转化为加法/乘法形式方法技巧1.线性组合法：将目标式表示为已知不等式的线性组合，如已知，求的范围，通过设转化求解2.分步推导法：先利用同向可加性求、的范围，再结合可乘性求目标式范围，避免直接多次相加导致范围扩大3.变量分离法：将目标式中的变量分离，分别判断各部分的范围，再结合不等式性质推导4.端点验证法：求出范围后，验证端点是否能取到，避免因多次使用不等式性质导致范围失真【经典例题1】（24-25高一上·广西河池·期中）已知2<a<3,−2<b<0，则a+2b的取值范围为（

）A．0≤a+2b≤3 B．0≤a+2b<3 C．−2≤a+2b≤3 D．−2<a+2b<3【答案】D【详解】由−2<b<0，得−4<2b<0，而2<a<3，则−2<a+2b<3.【经典例题2】（25-26高一下·四川成都·期中）若1<a+b<4,−2<a−b<4，则a+3b的取值范围是（）A．−5<a+3b<1 B．−2<a+3b<10 C．−2<a+3b<9 D．−5<a+3b<10【答案】B【详解】设a+3b=ma+b+na−b2<2a+b<8，−4<−a−b【点睛】错误思路：先单独求a、b各自范围，再代入求a+3b.两式相加:2a∈两式相减:2b∈再算a+3b：−得到：−5<a+3b<13.a和b不是相互独立变量，a+b与a−b有约束关联，不能先拆开单独求a,b范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围.【巩固练习1】（25-26高一下·河南商丘·月考）已知−1≤x+y≤1，1≤x−y≤2，则4x−2y的取值范围是（

）A．2,7 B．3,8 C．2,8 D．5,10【答案】A【详解】根据题意可知4x−2y=x+y+3x−y由1≤x−y≤2可得3≤3x−y≤6，又所以2≤x+y+3x−y≤7，即4x−2y的取值范围是【巩固练习2】（25-26高一下·山东德州·月考）已知1≤2x−y≤2,−1≤2x+3y≤1，则6x+y的取值范围为______【答案】[1,5]【分析】利用不等式待定系数配凑求解【详解】设6x+y=m展开得6x+y=对比系数列方程得2m+2n=6−m+3n=1，解得所以6x+y=2因为1≤2x−y≤2，−1≤2x+3y≤1所以2×1≤22x−y≤2×2−1≤2x+3y≤12≤2(2x−y)≤4，两不等式相加得2−1≤6x+y≤4+1，即【巩固练习3】（25-26高二上·北京朝阳·月考）已知实数a,b．(1)若−3<a<1,18<b<(2)若−1<a+b<3,2<a−b<4，求2a+3b的取值范围．【答案】(1)(−24,8)；(2)(−9【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围.（2）将2a+3b用a+b,a−b表示出，再利用不等式的性质求出范围.【详解】（1）由18<b<1当−3<a<0时，0<−a<3，则0<−ab<24当0≤a<1时，0≤ab<8所以ab的取值范围是(−24,8)（2）依题意，2a+3b=5由−1<a+b<3,2<a−b<4，得−5则−92<52【题型4】由已知不等式判断条件不等式核心知识 已知条件不等式（如等），判断目标不等式是否成立，本质是对不等式性质的综合应用 核心逻辑：利用已知条件，结合不等式的对称性、传递性、可加性、可乘性等，推导目标不等式的符号或大小关系方法技巧1.性质链推导法：从已知条件出发，逐步利用不等式性质推导目标不等式，形成完整的逻辑链2.特殊值代入法：代入符合已知条件的特殊值，验证目标不等式是否成立，快速排除错误选项3.符号分析优先：先判断各变量的正负，再利用可乘性、倒数性质推导，如说明同号，可用于判断倒数不等式4.等价变形法：将目标不等式变形为与已知条件相关的形式，如判断可变形为，结合已知的符号，只需判断的符号【经典例题1】（2026·山东东营·二模）（多选）已知m>n>0，则下列说法正确的是（

）A．lnm>lnnC．若c>0，则mc>nc D．1【答案】AC【分析】选项A利用函数y=lnx的单调性判断；选项B余弦函数不单调，举反例；选项C根据不等式的性质确定；选项D利用函数【详解】函数y=lnx在区间因为m>n>0，所以lnm>m=2π，n=π时，若c>0，m>n>0，则mc>nc，选项C正确；函数y=(12)x【经典例题2】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知a<b<0，则（

）A．13a2C．2a−a【答案】BD【分析】根据不等式的性质判断AB；取a=−2,b=−1判断C；构造函数【详解】对于A，由a<b<0得a2>b2>0对于B，由a<b<0得−a>−b>0，故4−a>4−b>4，4−a>对于C，取a=−2,b=−1，满足a<b<0，2−2对于D，令gx=sinx+x3，当x∈−∞,−π2时，cosx≥−1,3x故当a<b<0时，ga<gb故选：BD【巩固练习1】（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知log3a>logA．a−b>b B．1C．a|a|>b|b| D．1【答案】BC【分析】先根据对数的运算性质得a>b>0，再根据不等式的性质和指数函数的单调性即可判断各选项.【详解】由log3a>log对于A，当a=2,b=1时，显然a−b>b不成立，故A错误；对于B，指数函数y=12x则R上是减函数，由a>b对于C，因为a>b>0，所以a=a，b所以aa=a由a>b>0得a2对于D，因为a>b>0，所以a2所以1a故选：BC.【巩固练习2】（24-25高二下·江苏苏州·期末）（多选）已知a>b>0，则（

）A．ab>b2 C．a−b>【答案】ACD【分析】利用不等式性质判断A；举反例判断B；根据比较式子的结构构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小判断CD.【详解】对于A，因为a>b>0，所以ba−b>0，即对于B，当a=3>b=2>0时，a+b=5<ab=6，错误；对于C，设fx因为y=x和y=log2所以函数fx在0因为a>b>0，所以fa>fb即a−对于D，设gx=1+所以函数gx在0因为a>b>0，所以ga所以1+a即1+a故选：ACD【巩固练习3】（2025·海南·三模）（多选）已知实数x, y满足x<y，则下列不等式一定成立的是（A．y3>x3 B．log3y−x【答案】AD【分析】对于AD，可通过幂函数、指数函数的单调性判断；对于BC，可通过特殊值判断；【详解】对于A，由函数fn=n3单调递增，可知当对于B，取y=2,x=1，可得log3对于C，取y=1,x=−1，显然1x对于D，ey−ex2>x−y等价于ey+2y>e故选：AD【题型5】分式不等式核心知识 定义：形如的不等式，其中 等价转化： 关键：分式不等式转化为整式不等式时，必须注意分母不为0的限制方法技巧1.等价转化法：将分式不等式转化为整式不等式（组）求解，注意保留分母不为0的条件2.数轴标根法（穿针引线法）：将整式不等式的根标在数轴上，从右上方穿线，奇次根穿过，偶次根不穿过，快速写出解集3.移项通分法：对含多个分式的不等式，先移项、通分，化为单个分式再求解，避免直接交叉相乘（易出错）4.特殊情况处理：当分子或分母含参数时，需分类讨论分母的正负，避免直接乘除导致不等号方向错误【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）不等式x−4x−1≥2的解集是（A．{x∣−2≤x≤1} B．{x∣x≤−2} C．{x∣−2≤x<1} D．{x∣x>1}【答案】C【详解】x−4x−1≥2即为x−4−2x+2x−1≥0，故【经典例题2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）不等式x−3x−1≤0的解集是（A．{x∣1<x≤3} B．{x∣1<x<3} C．{x∣1≤x≤3} D．{x∣x≤3}【答案】A【详解】不等式x−3x−1≤0等价于x−3x−1解得1<x≤3.即不等式的解集为x|1<x≤3.【巩固练习1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）不等式x−4x−1A．{x∣−2≤x≤1} B．{x∣x≤−2}C．{x∣−2≤x<1} D．{x∣x>1}【答案】C【分析】将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解.【详解】由x−4x−1≥2，得x−4x−1−2≥0，即x−4−2等价于x+2x−1≤0x−1≠0即原不等式的解集为x|−2≤x<1.【巩固练习2】（25-26高二下·江西抚州·期中）已知定义在0,3上的函数fx的图象如图所示，则不等式f′xA．1,2 B．2,3 C．1,2∪2,3 【答案】C【分析】由分式不等式f′xx−2>0得f′x>0x>2或【详解】∵f′xx−2>0，∴f′由图可得，当0<x<1或2<x<3时，fx单调递增，则f′x>0；当1<x<2时，∴由f′x>0x>2，解得2<x<3；由∴不等式f′xx−2【巩固练习3】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）不等式3x−12−x≤1的解集是（A．34,2 B．34,2 C．【答案】C【详解】不等式3x−12−x≤1化简为3x−1−2−x2−x=解得x≤34或即不等式3x−12−x≤1【题型6】高次不等式核心知识 定义：次数高于2次的整式不等式，形如 核心解法：因式分解+数轴标根法，将高次多项式分解为一次因式的乘积，再通过穿线法求解 关键：正确因式分解、判断各因式根的重数，以及最高次项系数的符号方法技巧1.因式分解法：将高次多项式分解为的形式，其中为根，为根的重数2.数轴标根法步骤： 1.移项：将不等式化为的形式，且最高次项系数为正 2.标根：求出的所有根，标在数轴上 3.穿线：从数轴右上方开始穿线，奇次根穿过数轴，偶次根不穿过（“奇穿偶不穿”） 4.写解集：根据不等式符号，取数轴上方（）或下方（）的区间，注意时包含实根，时不包含3.易错点规避：穿线前必须将最高次项系数化为正，否则穿线方向会错误；重根的处理要严格遵循“奇穿偶不穿”4.含参数高次不等式：先因式分解，再根据根的大小分类讨论，画出数轴标根图求解参数范围【经典例题1】（2026·辽宁辽阳·二模）不等式2−x2x≥1A．−∞,1∪4,+∞ B．1,4 【答案】D【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.【详解】2−x2故xx−1x−4≥0x≠0，解得故该不等式的解集为0,1∪【经典例题2】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）“x>1”是“x3+4xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求出不等式的解，再根据范围的包含关系判断条件关系.【详解】x3+4x故x3+4x而1,+∞为−3,−2故“x>1”是“x3故选：A.【巩固练习1】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）不等式x+12−x2【答案】(−【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解.【详解】由“穿针引线法，奇穿偶不穿”作出函数y=x+1由函数图象可知，当x≤−1或x=2或x≥3时，x+12−x故答案为：(−∞【巩固练习2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）不等式x3x3A．−∞,−2∪C．−2,0∪0,2【答案】A【分析】先对3x【详解】由3x所以x3所以x>0x−13x−2<0解得：x>023<x<1解得：23<x<1或−2<x<0或故选：A.【巩固练习3】（25-26高一上·湖南常德·月考）解下列不等式：(1)−x(2)3+2(3)x【答案】(1)xx≥5或x≤−1(2)xx>−1或(3)xx≤−1或x=3【分析】（1）利用因式分解求二次不等式的解集；（2）由分式不等式转化为二次不等式，然后求得解集；（3）利用因式分解求三次不等式解集.【详解】（1）−x2+4x+5≤0则x−5x+1∴原不等式的解集为xx≥5或x≤−1（2）3+2x+1≥0则3x+5x+1∴原不等式的解集为xx>−1或（3）x3−5x∴x2∴x2∴x−32∴原不等式的解集为xx≤−1或x=3课后过关检测课后过关检测一、单选题1．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）不等式x−1x−3A．xx<1或x≥3C．xx≤1或x>3【答案】B【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可.【详解】不等式x−1x−3≤0等价于x−1x−3≤0x−3≠0，解得1≤x≤32．（2026·山东济宁·三模）已知集合A=xx−1<1，B=A．0,1 B．1,2 C．0,2 D．−1,2【答案】B【详解】由题设A=xB=x2xx+1所以A∩B=x|1<x<23．（25-26高一下·四川成都·期中）已知M=x²−2x+4,N=2x−1，则M与N的大小关系为（

）A．M>N B．M<N C．M≥N D．与x有关【答案】A【详解】M−N=x24．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知a,b,c∈R，且a>b，c>1，ab≠0，则（

）A．a−c>b−1 B．ac>b C．cb>c【答案】D【详解】对于A，当a=3，b=2，c=6时，a−c=−3<b−1=1，故A错误；对于B，当a=−1，b=−2，c=3时，ac=−3<b=−2，故B错误.对于C，当a=1，b=−1，c=2时，cb对于D，因为a>b，c>1，所以ac5．（2026高三·全国·专题练习）设a>b>0，下列不等式不正确的是（

）A．ab<a2+b22 B．ab<【答案】C【详解】对于A，∵a>b>0，∴a−b>0，即a−b2∴a2−2ab+b2对于B，∵a>b>0，由均值不等式得a+b>2ab，即ab<a+b对于C、D，∵a>b>0，由均值不等式得a+b>2ab，∴∴2aba+b<6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）不等式x2+2x−23+2x−A．−1,2∪3,+∞ B．−1,2∪3,+∞【答案】B【分析】变形得到x−2x−3x+1≥0，即x−2x−3x+1【详解】x2+2x−23+2x−即x−2x因为x2+x+1=x+即x−2x−3x+1≥0，且x≠−1可利用根法进行求解，如图：

解得−1<x≤2或x>3，故原不等式的解集为−1,2∪故选：B．7．（2026·山东聊城·二模）已知正数a,b,c满足logac>logA．c>1 B．a<bC．ac>b【答案】D【分析】由logac>0,logbc>0可知a,b,c要么都大于1，要么都在0,1内，再由logac>logbc分类讨论【详解】因为logac>0,logbc>0,若0<a<1，则0<c<1，同理由logbc>0可知b与c要么都大于1，要么都在因此，a,b,c满足以下两种情况之一：a>1,b>1,c>1；0<a<1,0<b<1,0<c<1.下面分类讨论：情况一：c>1，此时a>1,b>1，所以lna>0,由logac>因为lnc>0，所以又因为lna,lnb>0，故由于c>1时，函数y=cx单调递增，所以a<b⇒情况二：0<c<1，此时0<a<1,0<b<1，所以lna<0,由logac>因为lnc<0，两边同除以lnc又因为lna,lnb<0，所以由于0<c<1时，函数y=cx单调递减，所以a>b⇒综上，无论哪种情况，都有c所以正确选项是D.8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（

）A．7−5>C．2ln3<3ln【答案】D【分析】由不等式的性质判断A；由三角函数的性质判断B；由对数的公式判断C；由对数函数和指数的单调性判断D.【详解】对于A，因为7−5−由于7+5>即7−对于B，由0<cosπ5<1，则1cos对于C，2ln对于D，由log151则log19．（2026·北京昌平·二模）设−1<x<0<y<1，则下列不等式一定成立的是（

）A．log2x−C．x2−y【答案】D【分析】由−1<x<0<y<1，利用对数性质取特殊值可排除A，根据12t单调递减判断B不成立，再取特殊平方值否定C，最后由sint在−1,1上单调递增，结合x<y【详解】选项A：log2|x|−log2|y|=log2|x||y|选项B：指数函数y=12t在R上单调递减，由x<y，得1选项C：x2−y2=(x+y)(x−y).取特殊值x=−34，y=选项D：正弦函数y=sint在(−1,1)上单调递增，由x<y，得sinx<10．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知a,b∈R，且0<|a|<b<1，则（

）A．a2>b2 B．1a>【答案】C【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函数的单调性和奇偶性即可判断.【详解】对于A，因为0<|a|<b<1，所以