第一章 §1.2 常用逻辑用语（原卷版）

第第页第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.2常用逻辑用语【高考考向预测】近三年高考常用逻辑用语考查频次稳定，多以选择题形式出现，核心聚焦充分必要条件判断，兼顾全称与特称命题的否定及真假判定，常结合函数、几何、不等式等知识综合设题；预测2027年仍会保持常规考查力度，命题将进一步加强与主干知识的融合，侧重依托各类知识点辨析条件关系，注重逻辑推理严谨性，题型平稳无大幅难度提升，侧重基础逻辑思维的考查。【双基自测●明考向】1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.()(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.()(3)“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件.()(4)命题“∃x∈R，sin2x2+cos2x2=12”是真命题.2.命题“∀x∈R，x2-x+2≥0”的否定为()A.∃x∈R，x2-x+2<0B.∀x∈R，x2-x+2≤0C.∃x∈R，x2-x+2≤0D.∀x∈R，x2-x+2<03.设x∈R，则“cosx=1”是“sinx=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设p：m-1≤x≤m+2，q：0≤x≤2.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是.

1.谨记两个常用结论(1)p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.(2)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.2.理清一个关系“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.【核心梳理●明考点】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)【题型突破●明方向】题型一充分、必要条件的判定例1(1)(2024·北京)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2025·临沂模拟)已知f(x)=tanx，则对任意实数a∈(-1，1)，b∈(-1，1)，“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【跟踪训练】1(多选)下列叙述中正确的是()A.“a>1”是“1a<1”B.若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C.“a<1”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D.若a，b，c∈R且a>0，则“∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“b2-4ac≤0”题型二充分、必要条件的应用例2(1)(2025·哈尔滨模拟)下列四个选项中，使x>y成立的一个充分不必要条件是()A.x2>y2 B.x|x|>y|y|C.lnx>lny D.ex>ey(2)(2026·白银模拟)已知p：“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为()A.(-∞，-5]∪[3，+∞) B.(-∞，-5)∪(3，+∞)C.(-5，3) D.[-5，3]【跟踪训练】2(1)已知p：-1<x<0，q：m-1<x<-3m.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是.

(2)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是.

题型三全称量词与存在量词命题点1含量词的命题的否定例3(多选)下列说法正确的是()A.“菱形是正方形”是全称量词命题B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”D.“A=B”是“sinA=sinB”的必要不充分条件命题点2含量词的命题的真假判断例4(多选)下列命题为假命题的是()A.∃x∈R，ln(x2+1)<0B.∀x>2，2x>x2C.∃α，β∈R，sin(α-β)=sinα-sinβD.∀x∈(0，π)，sinx>cosx命题点3含量词的命题的应用例5已知命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是.

【跟踪训练】3(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则()A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题(2)(多选)(2025·海口模拟)以下说法正确的是()A.“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0”B.“x>3”是“log3(2x+1)>2”的充分不必要条件C.若命题“∀x∈R，x2+(a-1)x+1≥0”为假命题，则实数a的取值范围是(-1，3)D.若命题“∀x∈R，2ax2+ax-38≤0”是真命题，则实数a【限时训练】（30分钟）一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2021·天津)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2025·周口质检)命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为()A.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数B.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数C.存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数D.不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数3.已知p：1x>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数mA.[0，+∞) B.[1，+∞)C.(-∞，0] D.(-∞，1]4.(2023·北京)若xy≠0，则“x+y=0”是“yx+xy=-2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2026·宁波模拟)命题“∃x∈[-2，1]，x2-x-a>0”为假命题的一个充分不必要条件是()A.a≤-14 B.a≤C.a≥6 D.a≥86.(2025·北京)已知函数f(x)的定义域为D，则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若“∃x∈(0，π)，sin2x-ksinx<0”为假命题，则k的取值范围为()A.(-∞，-2] B.(-∞，2]C.(-∞，-2) D.(-∞，2)8.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：SnA.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.下列既是存在量词命题又是真命题的是()A.∃x∈R，|x|<0B.∃x∈Z，cosπ2xC.至少有一个x∈Z，使x能同时被3和5整除D.每个平行四边形都是中心对称图形10.(2025·揭阳模拟)下列叙述中正确的为()A.命题“∀x≤0，总有2x>x2”的否定是“∃x≤0，使得2x≤x2”B.∀x∈(0，+∞)，2x>log2xC.∀x∈R，4x2≥2x-1+3x2D.已知a，b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0”11.下列说法正确的为()A.设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的必要不充分条件B.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(4，+∞)C.若命题“∃x∈R，mx2+mx+1<0”是假命题，则0<m<4D.已知p：0<x≤1，q：4x+2x-m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为[6，+∞)三、填空题(每小题5分，共15分)12.命题“∀x>0，使得ex<x+2”的否定是.

13.(2025·湛江模拟)已知α：x<2m-1或x>-m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是.

14.(2026·郑州模拟)若命题“∃x∈[-1，2]，使得2x2+mx-m-10≥0”是假命题，则实数m的取值范围是.

[每小题6分，共12分]15.(多选)(2025·石家庄模拟)下列说法正确的是()A.“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题B.∀xy>0，x+y≥2xyC.∃x，y∈R，sin(x+y)=sinx+sinyD.若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m-2<x<m+2”，则实数m的取值范围是[1，3]16.(多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“