2025-2026学年广西玉林市九校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广西玉林市九校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数2-3i的虚部为（）A.3 B.3i C.-3 D.-3i2.若直线l在平面α内，则符号表示正确的是（）A.l⊂α B.l∥α C.l∈α D.l∩α=A3.下列关于平面向量的说法正确的是（）A.若是共线的单位向量，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则4.已知某平面图形OABC的直观图是如图所示的梯形O'A'B'C'且A′B′=2，O′C′=3，O′A′=2，则原图形OABC的面积为（）A.5

B.

C.12

D.105.已知直线l,m与平面α，其中m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知向量，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.7.已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形8.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，b=6，c=4，若，（0≤λ≤1），若BD与CE相交于点F，则当取最小值时，λ=（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知i为虚数单位，复数z1=1-2i,z2=2-i,则（）A.z1的共轭复数为-1+2i B.|z1|=|z2|

C.z1+z2为实数 D.z1•z2的虚部为-510.已知向量，，则（）A.若，则 B.若，则m=-2

C.若，则m=-2或3 D.若m=1，则与的夹角为135°11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，，则（）A. B.△ABC外接圆的面积为π

C.△ABC面积的最大值为 D.△ABC周长的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量，则=

.13.圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小为原来的，则其体积是原来的

倍.14.已知菱形ABCD的边长为1，，将△ADC沿AC翻折，当三棱锥D-ABC表面积最大时，其内切球表面积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

平面内给定两个向量，.

（1）求的坐标；

（2）若，且A、B、C三点共线，求m的值.16.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是16π，底面直径与母线长相等.

（1）求圆柱的底面半径；

（2）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.17.(本小题15分)

某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m,∠ABC=45°，∠BCA=105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α为75°.

（1）求A，C两点间的距离；

（2）求大楼的高度.18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c-a=2bcosA，b=3.

（1）求B的大小；

（2）若，求△ABC的面积；

（3）求的最大值.19.(本小题17分)

三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名.当△ABC内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a,b,c,点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ.

（1）求证：；

（2）若A=2θ，是否存在常数λ∈R，使得a2+b2+c2=λbccos2θ，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

（3）若θ=30°，试判断△ABC的形状.

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】BD

10.【答案】BCD

11.【答案】BC

12.【答案】

13.【答案】2

14.【答案】（14-8）π

15.【答案】，；

16.【答案】2；

．

17.【答案】解：（1）在△ABC中，∠BAC=180°-105°-45°=30°，

根据正弦定理可知：，则，

所以；

（2）

，

在△DCA中，因为DA⊥AC，则，

所以

∴．

18.【答案】解：（1）因为2c-a=2bcosA，又，

所以2sinC-sinA=2sinBcosA，

所以2sin（A+B）-sinA=2sinBcosA，

所以2sinAcosB-sinA=0，

因为A∈（0，π），sinA≠0，

所以cosB=，

则B=．

（2）因为b2=a2+c2-ac，所以c2-c-6=0，

所以c=2或c=-（舍去），

所以△ABC的面积为S=acsinB=．

（3）由a2+c2-ac=9，得（a+c）2=9+3ac，

因为ac≤，所以（a+c）2≤9+（a+c）2，

所以3＜a+c≤6（当且仅当a=c=3时取等