2025-2026学年云南省玉溪市第一中学北校区高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年云南省玉溪市第一中学北校区高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.等比数列{an}的公比为2，则=（）A. B. C.4 D.22.已知向量，，若，则|=（）A.2 B. C.3 D.3.在△ABC中，已知AC=2，AB=4，∠A=60°，则BC=（）A. B. C.12 D.284.一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（）A. B.2π C. D.7π5.已知，则（）A.b＜a＜c B.a＜b＜c C.c＜b＜a D.a＜c＜b6.如图，P是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，∠OFP=60°，则|PF|=（）A.8

B.4

C.

D.7.规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时h）之间的函数关系式为：（e为自然对数的底数，P0为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（）（参考数据：lg2≈0.3）A.10h B.20h C.30h D.40h8.设a∈R，b∈R，若函数m（x）=（a-x）log2（x+b+1）≤0，则a+b=（）A.-2 B.-1 C.0 D.1二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知圆C1：x2+y2-4x+2my+m2=0和圆C2：x2+y2-4y-12=0，则下列说法正确的是（）A.若m=0，则圆C1和圆C2相离

B.若m=0，则圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程是x-y-3=0

C.若圆C1和圆C2外切，则

D.若圆C1和圆C2内切，则m=-210.已知函数f（x）=|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（）A.f（x）的图象关于直线对称 B.f（x）的周期为

C.（π，0）是f（x）的一个对称中心 D.f（x）在区间上单调递减11.1688年，笛卡尔根据塔索研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程C：x3+y3-4axy=0，则下列选项中正确的是（）A.笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点

B.笛卡尔叶形线关于直线y=x对称

C.当a=3时，若点P（x,y）是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则|PO|的最大值为

D.当a=1时，若点P（x,y）是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则xy的最大值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥CC1，A1C1⊥CC1，，CC1=1，则异面直线A1B与CC1所成角的余弦值为

.13.若x＞1，则函数y=的最小值为______.14.笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为X，则数学期望E（X）=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记，若，求Pn.16.(本小题15分)

海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x（‰）对亩产量y（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.海水浓度xi（‰）34567亩产量yi（吨）0.620.580.490.40.31残差（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；

（2）（i）完成上述残差表；

（ii）在统计学中，常用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数R2，并判断模型的拟合效果.（计算中数据精确到0.01）

（附：残差，决定系数）17.(本小题15分)

在正三棱锥P-ABC中，PO⊥平面ABC，垂足为点O，过O作平面α与棱PA，AB，BC，CP交于点D，E，F，G.

（1）求证：E，O，F三点共线；

（2）若四边形DEFG为平行四边形，求的值.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=lnx-x．

（Ⅰ）求证：f（x）≤-1；

（Ⅱ）若函数h（x）=af（x）+（a∈R）无零点，求a的取值范围．19.(本小题17分)

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆外一点，过P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，直线OP与椭圆交于A，B两点（点A在PO延长线上）.

（i）求直线MN的方程；

（ii）△AMN的面积是否存在最大值，若存在，求出此时动点P的轨迹，若不存在，请说明理由.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】BD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】3

14.【答案】

15.【答案】an=n

当n为偶数时，；当n为奇数时，

16.【答案】解：（1）由题意海水浓度xi（‰）分别为3，4，5，6，7，

亩产量yi（吨）分别为0.62，0.58，0.49，0.4，0.31，

可知，，

将样本中心点的坐标（5，0.48）代入经验回归方程得

0.48=5b+0.88，解得b=-0.08，

所以经验回归方程为．

当x=8时，，

即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为0.24吨；

（2）（i）由经验回归方程，

代入表中数据可得，

，；

，；

，；

，；

，．

所以残差表如下：海水浓度xi（‰）34567亩产量yi

（吨）0.620.580.490.40.31残差-0.02

0.02

0.010-0.01（ii）由上数据可知，

，

所以决定系数，与1比较接近，

所以拟合效果较好．

17.【答案】因为E∈平面α，F∈平面α，

所以EF⊂平面α，

同理EF⊂平面ABC，所以平面α∩平面ABC=EF．

又因为O∈平面α，O∈平面DEFG，所以O∈EF，即E，O，F三点共线

=

18.【答案】解：（I）证明：f（x）=lnx-x，则f′（x）=-1=，

令f′（x）＞0，得0＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1，

所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）

上单调递减，

当x=1时，f（x）取最大值，所以f（x）≤f（1）=-1，所以f（x）≤-1；

（Ⅱ）因为h（x）=a（lnx-x）+，

所以h′（x）=a（-1）+=（1-x）（+），

当a=0时，h（x）=＞0，h（x）

在定义域上无零点；

当a＞0时，x＞0，所以+＞0，令h′（x）＞0，得0＜x＜1，

所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

当x=1时，h（x）

取最大值