2026年精算师精算模型考试试题及答案

2026年精算师精算模型考试试题及答案一、单项选择题（本题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在生存模型中，设T(x)表示年龄为x的个体的未来寿命随机变量，其密度函数为(t)。若死力函数=A.均匀分布B.指数分布C.正态分布D.威布尔分布2.对于一个复合泊松过程，设理赔次数N∼Poisson(λ)A.expB.expC.expD.exp3.在信度理论中，给定观测数据,,A.仅先验均值B.仅样本均值C.后验均值作为下一期预测值D.极大似然估计4.设某寿命表服从Gompertz定律，即=B。若已知=40且=35A.1.05B.1.02C.0.98D.1.105.在破产理论中，Lundberg不等式给出了初始盈余为u时破产概率ψ(u)的上界：ψ(u)≤，其中RA.1B.λC.1D.c6.对于二项分布B(n,p)A.VB.VC.VD.V7.在修匀方法中，Whittaker-Henderson修匀方法的主要目的是在以下两者之间取得平衡：A.光滑性与拟合度B.偏差与方差C.灵敏度与特异度D.样本量与显著性水平8.假设损失X服从对数正态分布，参数μ=3,A.B.C.D.e9.在多状态模型中，设转移强度矩阵为：Q=(状态0表示健康，状态1表示疾病，状态2表示死亡（吸收态）。则从状态0出发，2年后处于状态1的概率(2A.0.15B.0.17C.0.20D.0.1210.对于一个(a,bA.泊松分布B.二项分布C.负二项分布D.几何分布11.在有限波动信度中，假设观测数据X服从正态分布，均值μ未知，方差已知。若要求完全信度，即P(|¯XA.=B.=C.=D.=12.在广义线性模型（GLM）中，若连接函数为g(A.正态分布B.伽马分布C.泊松分布D.逆高斯分布13.设X服从帕累托分布Pareto(αA.B.C.D.14.在Box-Jenkins模型（ARIMA模型）中，ARMA(p,q)过程的自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的特征是：A.ACF拖尾，PACF截尾B.ACF截尾，PACF拖尾C.ACF和PACF均拖尾D.ACF和PACF均截尾15.假设随机变量X服从参数为n,p的二项分布。当n很大，p很小，且λ=A.正态分布B.泊松分布C.指数分布D.均匀分布二、判断题（本题共10小题，每小题3分，共30分。请判断各题描述的正确性，正确的选A，错误的选B）16.在生命表中，如果死力随年龄x增加而严格单调递增，则生存函数是凸函数。17.对于复合泊松过程，如果理赔频率λ增加一倍，个别理赔额分布不变，则聚合理赔额的方差增加一倍。18.在贝叶斯信度模型中，当样本容量n趋向于无穷大时，信度因子Z趋向于1。19.Lundberg上界ψ(u)20.在参数估计中，极大似然估计量（MLE）总是无偏的。21.对于威布尔分布，当形状参数β=22.在破产模型中，调节系数R仅依赖于个别理赔额的分布，与安全系数θ无关。23.样本均值总是总体均值的一致估计量。24.如果两个随机变量X和Y的相关系数为0，则它们一定相互独立。25.在时间序列分析中，差分运算可以用于消除非平稳时间序列的趋势项。三、计算与推导题（本题共4小题，共50分。要求写出必要的计算过程、公式及最终结果，使用LaTex公式）26.（本题12分）某保险公司承保的车辆险理赔次数N服从参数为λ=0.5的泊松分布。个别理赔额(1)求聚合理赔额S=的均值E[S(2)利用正态近似，计算P(27.（本题12分）设寿命分布服从Makeham定律，即死力函数为=A+B(1)证明生存人数满足关系式：=k，其中s,(2)根据给定数据，求解参数c的值（保留四位小数）。28.（本题14分）在一个离散时间盈余过程中，设初始盈余u=5。每期的保费收入为c=P(定义ψ((1)写出破产概率ψ((2)计算ψ(29.（本题12分）对于某类风险，假设其年度损失X服从参数为α和θ的帕累托分布（Pareto,α,(1)写出帕累托分布关于参数α和θ的对数似然函数。(2)假设已知θ=100，利用极大似然法估计参数四、综合案例分析题（本题共2小题，共60分。要求结合理论模型与实际数据进行深入分析，公式使用LaTex）30.（本题30分）某寿险公司正在评估一款定期寿险产品的准备金计提方案。该产品针对40岁的投保人，保险期限为20年。若被保险人在保险期间内死亡，赔付金额为100,000元。公司精算师决定使用多重状态模型进行评估，包含三个状态：健康（0）、残疾（1）、死亡（2）。其中死亡为吸收态。给定以下转移强度：从健康到死亡的转移强度：=0.001+0.00005状态0：健康状态1：残疾状态2：死亡转移强度：=0.001=0.01=0.1=0.002利息力i=(1)请构建柯尔莫哥洛夫微分方程组，描述状态转移概率矩阵P((2)假设不考虑残疾状态，仅考虑生存-死亡两状态模型，且死力=0.001(3)若考虑上述完整的三状态模型，请写出第10年末处于健康状态和残疾状态时的准备金计算公式（表达式即可，无需算出具体数值，需包含积分项）。(4)分析引入残疾状态对该产品准备金计提的影响。31.（本题30分）某财产险公司经营车险业务，拥有大量的历史保单数据。为了优化定价策略，精算部门决定建立信度保费模型。假设某类被保险人（例如“城市年轻男性”）的年索赔频率X服从以下结构：给定风险参数Θ=θ，条件期望E[其中Θ服从伽马分布Gamm公司收集了该类被保险人在过去n年的索赔数据,,(1)计算该风险的纯保费（即无条件期望）μ=E[(2)推导贝叶斯信度保费表达式，即E[(3)证明在n→∈f(4)现在假设具体参数如下：λ=0.2,=0.05Θ∼观测到n=5年的数据，总索赔次数为请利用Bühlmann信度模型（作为贝叶斯信度的近似），计算下一年信度估计的索赔频率。(5)比较Bühlmann信度模型与Bühlmann-Straub模型在车险定价应用中的主要区别。参考答案与解析一、单项选择题1.B解析：死力函数为常数是指数分布（在生存模型中对应于DeMoivre死亡律只是均匀分布的一种特殊情况，但死力为常数对应的是常数死力，即生存函数S(t)=修正：DeMoivre是均匀分布，死力递增。常数死力对应指数分布。故选B。2.C解析：复合泊松过程的矩母函数公式为(t)=exp[λ(3.C解析：贝叶斯信度的核心思想是利用观测数据更新先验分布，得到后验分布。预测下一期观测值通常使用后验均值，即E[4.B解析：Gompertz定律下，=（不完全伽马函数），或者利用关系式（此处应为形式）。更简单的推导：∈fty使用近似或特定性质：ln=∈令u=，则积分变为与相关的项。实际上，≈−此题计算较繁琐，主要考察Gompertz性质。若通过选项反推或记忆特定数值，一般c略大于1。选B作为合理猜测（或需精确计算：−=5.C解析：调节系数R满足方程1+注：(t)=，则E[Y6.B解析：二项分布E[7.A解析：Whittaker-Henderson修匀的核心思想是在“拟合优度”（修匀值与原始观察值的差距）和“光滑性”（修匀值的三阶差分平方和）之间通过惩罚系数z或k进行权衡。8.B解析：对数正态分布X∼LN(μCV此题σ=1，故CV=。等等，选项A是计算检查：E[X=。VVaC=题目σ=1，结果修正：题目选项A是。正确答案应为A。原解析误判为B，实为A。9.B解析：求解Kolmogorov微分方程。(t===初始P(这是一个常系数线性微分方程组。可以使用特征值法或矩阵指数。Q=(特征方程|Qr==−(t初始条件：t=0,+=(t(0代入=−：−=−(t当t=(2最接近选项B(0.17)。10.A解析：对于泊松分布，E[对于二项分布，Var<11.A解析：完全信度标准公式≥(。这里要求P(|12.C解析：泊松分布的自然连接函数是ln正态分布是恒等连接，伽马分布是倒数连接。13.A解析：帕累托分布Pareto(αE[X]E[=α=α14.C解析：ARMA(p,q)模型的自相关函数（ACF）是拖尾的，因为混合了AR和MA；偏自相关函数（PACF）也是拖尾的。AR(p)是PACF截尾；MA(q)是ACF截尾。15.B解析：泊松定理。当n大，p小，np二、判断题16.A解析：=exp(−∈dt)。若单调递增，则的二阶导数符号与凸性有关。实际上，若死力递增，死亡密度函数往往呈右偏，是下降函数。对于DeMoivre（死力递增），是线性的（既非凸也非凹？不对，=ω−x是直线）。对于Gompertz（死力递增），是凸函数（下降速度越来越快）。一般地，成年人死力递增，17.A解析：Var(S)=λ18.A解析：信度因子Z=。当n→∈19.B解析：调节系数R的存在性依赖于理赔额的矩母函数在某个区间内有限以及保费大于理赔期望。如果理赔额分布是重尾的（如对数正态、帕累托），R可能不存在（为0）。所以“总是存在”是错误的。20.B解析：MLE不一定是无偏的。例如正态分布方差的MLE是∑(−¯21.A解析：威布尔分布f(x)=(22.B解析：调节系数方程1+(1+θ)R=(23.A解析：根据大数定律，样本均值是总体均值的一致估计量（只要期望存在）。正确。24.B解析：相关系数为0仅表示不线性相关，不一定独立。例如X∼25.A解析：差分可以提取确定性趋势，使非平稳序列转化为平稳序列。正确。三、计算与推导题26.解：(1)计算聚合理赔额S的均值和方差。对于理赔次数N∼E[对于个别理赔额X：E[E[Va根据复合泊松分布的性质：E[Va(2)利用正态近似计算P(S∼标准化：Z=P(查标准正态分布表，P(（注：使用连续性修正S>250⇒27.解：(1)证明：由死力定义=−Makeham定律：=A积分得：ln令k=，则=令g=，s则=k证毕。(2)求解c：利用公式=k，我们可以消去k。。设=。设=。我们有：(i)=(ii)=将(ii)除以(i)：−−1=取对数：(−这是一个关于c的非线性方程，通常需要数值解法。但是我们可以通过比例关系进一步简化。取对数形式的原始方程：ln这是一个关于的线性回归问题。令=ln，==l我们有三个点(40由于c未知，这实际上是寻找c使得这三点共面（在x,或者利用King-Hardy方法求解Makeham参数。这里使用近似估算：。对于Makeham，这通常与有关。若c≈1.04，实际上，利用三参数方程组：900080005000消去k,ll两式相减：ln同样地，我们需要另一个方程消去ln从第一式：ln这通常需要迭代求解。在考试中，若为选择题可代入验证，计算题需写出上述setup。若假设A=0(Gompertz)，则=,=。=。==c=题目是Makeham，有A项，计算更复杂，但c值通常在1.02到1.10之间。鉴于题目要求“求解”，若无计算器，只能列出方程。若需数值解，通过迭代法可得c≈注：题目要求保留四位小数，通常暗示有特定数值解或需写出精确步骤。此处仅提供方程建立过程。28.解：(1)破产概率ψ(ψ(u)若u+即ψ((2)计算各值。c=ψ(u)=0.5ψ(注意：当u很大时，我们需要边界条件ψ(∈fty由于W最大为8，且c=3，当u足够大时，这需要设定一个截断点U使得ψ(由于最大理赔8，最小保费3，最大净亏损5。若u很大，破产概率极小。让我们从ψ(0)开始计算，假设对于足够大的u或者更精确地，我们需要解线性方程组。因为u可以无限增大，但系数是齐次的。假设ψ(=1乘以：=0.5+0.5−此方程难以手解。我们使用递推法，假设当u≥20时倒推计算：对于u≥8，让我们尝试从0开始正向计算，但这需要知道高值。让我们假设对于u≥10，ψ(实际上，对于这种题目，通常设定一个上限M，使得ψ(让我们计算u=0到ψ(ψ(ψ(ψ(ψ(ψ(ψ(我们需要假设ψ(6),ψ假设ψ(则：(5)ψ(4)ψ(3)ψ(2)ψ(1)ψ(0)ψ解方程组：由(0):ψ(代入(2):2ψ由(4):ψ(由(3):ψ(由(5):ψ(这是一个线性方程组。代入消元：ψ(将ψ(5)ψψ0.92ψ(将ψ(3)ψψ(将ψ(4)221.77175ψ(将ψ(1)ψ4.312括号内：0.82ψ右边=0.5==0.943方程：4.3123.369ψ(反推其他值：ψ(ψ(ψ(ψ(ψ(结果：ψ(（注：由于截断假设ψ(29.解：(1)帕累托分布密度函数f(对数似然函数L(L(L((2)已知θ=100，估计代入θ=L(对α求导并令为0：=+=l=lα=计算数值：数据：150,200,350,500,800。1+取对数：lllll求和≈0.9163α≈四、综合案例分析题30.解：(1)柯尔莫哥洛夫微分方程（向前方程）：(t或者写成矩阵形式：P(其中Q(Q(t具体到本题常数强度：Q=((2)不考虑残疾，仅两状态模型。死力μ=v=保险金额B=第10年末的准备金V等于未来赔付的精算现值。剩余期限为10年。V=由于μ为常数0.001，=。V====1960.78(3)考虑三状态模型。设j为当前时刻（10年）