专题05 轴对称的性质（期末复习专项训练＋5大题型）（解析版）

专题05轴对称的性质题型1根据轴对称的性质求解（常考点）题型4轴对称图形之垂直平分线（重点）题型2折叠问题（重点）题型5轴对称图形之角平分线（重点）题型3轴对称图形之等腰三角形（重点）题型6最短路径问题（难点）题型一根据轴对称的性质求解（共5小题）1．（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数．【详解】解：由轴对称可知，，，，，，．故选：D．2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（

）A． B．C．平分 D．垂直平分【答案】D【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可．【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴，A．∵与是一组对应边，∴，故此选项不符合题意；B．∵与是一组对应角，∴，故此选项不符合题意；C．∵与是一组对应角，∴平分，故此选项不符合题意；D．∵直线是对称轴，∴垂直平分，故此选项符合题意．故选：D．3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（）A．是等腰三角形 B．垂直平分C．与的面积相等 D．直线，的交点不一定在上【答案】D【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可，解题的关键是掌握轴对称的性质．【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点，∴，垂直平分，与的面积相等，故B、C选项正确；∴是等腰三角形，故A选项正确；直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项错误；故选：D．4．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，点D，E分别在边上，点A与点B关于直线成轴对称，若，的周长是25，下列结论中错误的是（

）A．的周长为15 B．C． D．是轴对称图形【答案】D【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，轴对称图形的识别，由三角形周长计算公式可得，由轴对称图形的性质可得，则可证明的周长，根据现有条件无法证明是轴对称图形，据此可得答案．【详解】解：∵的周长是25，∴，∵，∴；由轴对称图形的性质可得，∴的周长，根据现有条件无法证明是轴对称图形，∴四个选项中，只有D选项中的结论错误，符合题意，故选：D．5．（25-26八年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，点分别是轴，轴正半轴上的动点，直线平分第一象限，点关于直线的对称点为，连接，线段与的交点为，给出如下结论：①点必在直线上；②；③点是直线上一动点，必有；④线段的长度一定小于线段的长度．以上结论正确的是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【答案】A【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点．证明，然后即可证明，即可判断②；证明，则，即可判断①；由两点之间线段最短即可判断③；当时，由轴对称的性质得到，即可判断④．【详解】解：由轴对称的性质可得，∴∵，∴，∴，∵，∴，故②正确；∴，∵，∴∴∵直线平分第一象限，∴点必在直线上，故①正确；点是直线上一动点，必有，故③错误；当时，由对称可得，则点与点B重合，点与点重合，则，故④错误，∴正确的有①②，故选：A．题型二折叠问题（共5小题）6．（25-26七年级上·上海普陀·期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N．(1)如果，那么°；(2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示；(3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数．【答案】(1)50(2)(3)或【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可；（2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可；（3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可．【详解】（1）解：由折叠可知，．因为四边形是长方形，所以，所以．故答案为：50；（2）解：如图所示，因为，所以，由折叠可得，所以；（3）解：当点在的左上方时，如图所示，设，则，∵，，∴，解得，所以．当点在的右下方时，如图所示，设，则，∵，，∴，解得，所以．综上所述，∠CBD的度数为或．7．（25-26七年级上·广东梅州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线．(1)如图1，若，则；(2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点．①如图2，当点在上时，求的度数；②如图3，若，求的度数；③如图4，若，，则的度数为（用含n的式子表示）．【答案】(1)28(2)①；②；③【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论；（2）①由折叠得出，再由点在上，进而求解即可；②首先求出，然后由折叠得到，然后求出，进而即可求出；③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解，即可解题．熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．【详解】（1）解：，由折叠知，；（2）解：①由折叠知，，∴当点在上时，；②由条件可知，由折叠知，，∴，∴；③∵，∴由折叠得，，∴，∴由折叠得，，，，∴，∴由折叠得，．8．（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图1，将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处．(1)如图1，若，求的度数．(2)如图2，将另一角沿折叠，点落在射线上的处．求的度数．(3)如图3，将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部．若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，见解析【分析】本题考查了折叠的性质，平角的定义．（1）根据折叠的性质得到，根据平角的定义计算即可；（2）根据折叠的性质得到，，根据平角的定义得到，即可求出的度数；（3）设，则，根据折叠的性质得到，根据平角的定义得到，即．【详解】（1）解：∵将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处，，∴，∴；（2）解：∵将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处，将另一角沿折叠，点落在射线上的处，∴，，∵，∴；（3）解：，理由如下：设，∵，∴，∵将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部，∴，∵，∴，即．9．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）综合与实践．【课本回顾】如图①是七年级上册课本第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕上一点，此时与重合，所以，再将纸片铺平，可知射线是的平分线．【问题情境】将一张长方形纸片折叠，为折痕，点落在点处，平分．【综合应用】(1)如图②，若与重合，求的度数；(2)如图③，若，求的度数；(3)如图④，若，请直接写出的度数（用含的代数式）【答案】(1)(2)(3)【分析】该题主要考查了翻折变换及其应用问题，与角平分线有关的计算．灵活运用翻折变换的性质是解题的关键．（1）根据折叠的性质可得，再根据角平分线的性质以及平角的定义解答即可；（2）根据折叠的性质可得，再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可；（3）根据折叠的性质可得，用的代数式分别表示出和，再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可．【详解】（1）解：由折叠可知，∵平分，∴，∴，∵，∴；（2）解：由折叠可知，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：由折叠可知，∵，∴，∵平分，∴，∴．10．（25-26七年级上·吉林·期末）活动探究：利用折纸可以作出角平分线．(1)如图，若，则．(2)折叠长方形纸片，，均是折痕，点落在点，点落在点，连接．如图，当点在上时，，则．请你判断与的数量关系，并计算说明理由．如图，当点在的内部时，连接，若，，直接写出的度数是．【答案】(1)；(2)；，理由见解析；．【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．（）由折叠得出，即可得出结论；（）由折叠得出，，再由点落在上，得出，即可得出结论；同的方法求出，，即可得出结论．【详解】（1）解：由折叠性质可知，，故答案为：；（2）解：，理由，由折叠性质可知，，，∵，∴，当时，，故答案为：；由折叠知，，，∵，，∴，，∴，即的度数为，故答案为：．题型三轴对称图形之等腰三角形（共5小题）11．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，为等腰三角形，，点是延长线上的一点，，则的度数为_______．【答案】【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．先根据平角的性质，求出，再根据等边对等角求出，最后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵的内角和为，∴．故答案为：．12．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________．【答案】或【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可．【详解】分三种情况讨论，当时，，此时点与点C重合，不符合题意，故舍去；当时，；当时，，综上，的度数为或．13．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，求和的度数．【答案】，【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，计算即可．本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】解：．14．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接．(1)求证：；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积；（1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证；（2）由三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）证明：，为中点，．（2）解：的面积（）．15．（23-24八年级上·吉林延边·期末）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______；【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数；【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______．【答案】；；【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质，①根据等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理求得，利用“三线合一”性质即可求得答案；②由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合角度之间的关系即可求得答案；③由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合三角形内角和定理得和，再次结合三角形内角和定理得到即可求得答案．【详解】解：①∵，∴，∴，∵是中线，∴，故答案为：．②，，、分别为和的中线，，，，；③∵，，∴和是等腰三角形，∵、分别为和的中线，∴，，，∵，∴，∴，又，，∵，∴．故答案为：．题型四轴对称图形之垂直平分线（共5小题）16．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______．【答案】8【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解．【详解】解：连接，的周长为，，垂直平分，，，，，为线段的中点，，，，，，．故答案为：8．17．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___．【答案】/44度【分析】根据垂直平分线得到，由三角形内角和定理得到，根据折叠可得，由三角形外角的性质得到，由此即可求解．【详解】解：∵的垂直平分线交于点，∴，∴，∵，∴，∵将沿折叠，点恰好与点重合，∴，∵，∴，解得，，∴．18．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，，，的垂直平分线交于点．(1)求的度数；(2)若，，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解；（2）根据垂直平分线的性质结合图形，利用三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可．【详解】（1）解：，．，

的垂直平分线交于点，，，，，；（2）解：，，，．，．19．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）已知，在中，，如图①，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在A点的另一侧相交于点D，连接，，作直线交于点E．请解答下列问题：(1)你认为与有什么关系？请说明理由．(2)如图②，若点P是直线上的任意一点，与有什么关系？为什么？【答案】(1)垂直平分线段，证明见解析(2)，理由见解析【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的判定与性质；（1）由，由作图可得：，从而可得答案；（2）根据是线段的垂直平分线可得答案.【详解】（1）解：垂直平分线段，理由如下：∵，由作图可得：，∴是线段的垂直平分线；∴垂直平分线段；（2）解：，理由如下：由（1）得：是线段的垂直平分线；点P是直线上的任意一点，∴.20．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接，判断的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)为等腰三角形，见解析【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．（1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出即可；（2）根据，得出，证明，得出，根据，即可证明结论；（3）根据，得出，根据等腰三角形的性质得出，即可证明结论．【详解】（1）证：三角形为等腰直角三角形，，，，，∴，，∴，在和中，；（2）证明：，，D为的中点，，在和中，，∴，∴，，；（3）解：为等腰三角形，理由如下：∵，，∵，，垂直平分，∴，为等腰三角形．题型五轴对称图形之角平分线（共5小题）21．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____【答案】4【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到，由垂线段最短得到，即可得到的最小值．【详解】解:过作于，∵，，∴，∵和分别平分和，∴，，∴，∴，∵，∴的最小值为．22．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________．【答案】8【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．过点D作，，垂足分别为、，根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论．【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为、，∵是角平分线，∴，设，∵，即∴，解得，∴，∵是中的中线，∴．故答案为：8．23．（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，．(1)请判定与是否相等？为什么？(2)与互补吗？请说明理由．【答案】(1)，见解析(2)与互补，见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，证明是解题的关键。（1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，则可证明．（2）由全等三角形的性质可得，由平角的定义可得，则，即与互补．【详解】（1）解：，理由如下：∵垂直平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：与互补，理由如下：∵，∴，∴，∴，即与互补．24．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分．(1)求点D到的距离的长；(2)若，求证：．【答案】(1)的长为(2)见解析【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．（1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解；（2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点，∵平分，且，∴，∵，∴，解得，∴的长为；（2）证明：如图，过点作，交的延长线于点，由（1）得，∵，，∴，∴，∴．25．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点．(1)求的度数．(2)如图，连接，若，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解；（）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证；本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】（1）解：为的中点，，∴垂直平分，，，同理可得，∵，∴，∴，；（2）证明：∵，，，，∴平分，，，．题型六最短路径问题（共5小题）26．（25-26八年级上·广东中山·期末）如图，点P，Q在直线l的同一侧，现需在l上找一点M，使得的和最小，下列做法正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查了对称的性质以及两点之间线段最短，理解两点之间线段最短是解题的关键．作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M，此时最小．【详解】解：∵点P，Q在直线l的同侧，∴作Q点关于l的对称点，连接与l的交点为M，由对称性可知，此时，最小，故选：D．27．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在的正方形网格中，直线a外，有A，B两点．在直线a上求一点P，使最短，则点P的位置应选在点_______处，（填图中的字母）【答案】C【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，掌握轴对称的性质并正确作图是解题的关键．根据轴对称的性质作图即可求解．【详解】解：如图：作点B关于直线a的对称点N，连接，则交直线a于点C，由对称性可得，，，当三点共线时，最短，点P的位置应选在点C处．故答案为：C．28．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干