复习讲义03 整式的乘法（解析版）

专题03整式的乘法（期末复习讲义）内容导航明·期末考清把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型一同底数幂的乘法题型二科学记数法题型三幂的乘方运算题型四积的乘方运算题型五同底数幂的除法题型六零指数幂和负整数指数幂题型七单项式乘法题型八多项式乘法题型九多项式乘法与图形面积题型十已知多项式乘积不含某项求字母的值题型十一多项式乘法化简求值题型十二整式乘法混合运算题型十三乘法公式题型十四乘法公式与几何图形题型十五通过对完全平方公式变形求值题型十六多项式乘法中的规律性问题题型十七乘法公式的新定义问题过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律五种幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂）能熟记幂运算口诀，准确区分各类幂运算法则，熟练完成基础幂式化简计算选择题、填空题必考，易错混淆指数加减与乘除，零指数忽略底数不为0的限制整式四则运算（单×单、单×多、多×多、整式除法）能套用整式乘除法则，按步骤规范开展整式混合运算，不漏项、不错符号计算小题必考，多项式相乘容易漏乘项、去括号符号出错，是高频失分点平方差公式及多种变式运用能找准式子中的相同项与相反项，灵活运用公式各类变形快速化简求值选择与化简计算题高频考查，易错分辨不出公式结构，盲目套用公式完全平方公式及拓展变形能牢记完全平方结构特征，熟练使用公式及其衍生变式进行代数式换算期末重难点，最容易遗漏中间项2ab，常结合整体代入题型综合命题绝对值小于1的小数的科学记数法能确定a与n的取值，正确用负整数指数形式表示极小数值填空基础题，易错数错小数点前0的个数，写错10的负指数知识点01幂的运算（1）幂的乘法运算：均为正整数)口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。（2）幂的乘方运算:都为正整数)口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（3）积的乘方运算：为正整数）口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（4）幂的除法运算：均为正整数，并且)口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。（5）零指数：知识点02整式的乘法（1）单项式乘单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．（3）多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．（4）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．（5）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．知识点03乘法公式1.平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：①位置变化：；②符号变化：③指数变化：；④系数变化：2.完全平方公式：，两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：，知识点04科学记数法科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于1的数，也能写成的形式，其中n是正整数，1a10，这叫科学记数法．注：对于一个绝对值小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有m个0，则10的指数n=m+1．题型一同底数幂的乘法例1．已知：，，，求a，b，c三者之间的数量关系．【答案】【详解】解：，，∴，∵，．则变式1-1．计算________．【答案】【详解】解：．变式1-2．，，则的值为______．【答案】6【详解】解：∵，，∴．变式1-3．若，则的值为（

）A．8 B． C．6 D．【答案】B【分析】【详解】解：∵2025个相加可表示为，2026个相乘可表示为，∴根据题意得，又∵，等式两边同时除以，得，将代入，得，故选：B．题型二科学记数法例2．2026年，中国“嫦娥九号”月球南极采样返回任务取得圆满成功，科学家在样品中发现了一种新型矿物，其晶体尺寸仅为0.00000003米．数据“0.00000003”用科学记数法表示为（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】解：．变式2-1．据交通运输部数据显示，2026年五一假期期间，全社会跨区域人员流动总量达151712.8万人次．其中数据151712.8用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：．变式2-2．2026年国产AI心电芯片识别异常的延迟仅秒，数据用科学记数法表示为_________．【答案】【详解】解：对于，第一个不为零的数字为，满足，前面共有个，因此，可得．变式2-3．在物理学中，电阻表示导体对电流阻碍作用的大小，电阻的单位是欧姆（）．比欧姆大的单位还有千欧（）、兆欧（）、吉欧（）．它们之间的换算关系是：，，．教室内的白炽灯正常工作时的电阻约为．数据“”用科学记数法表示为______．【答案】【详解】解：根据换算关系可得，因此，则题型三幂的乘方运算例3．已知为正整数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】【详解】解：∵，，∴；故选：D．变式3-1．计算：_____．【答案】【详解】解：．变式3-2．若，则______．【答案】9【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：9．变式3-3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，，∴，，又∵，且∴即．题型四积的乘方运算例4．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，故选：C．变式4-1．一个长方形花坛长是米，宽是米，则此长方形花坛的面积为（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】【详解】解：（米），故选：C．变式4-2．与相等的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】【详解】解：选项A：，故不符合题意；选项B：，故不符合题意；选项C：，故符合题意；选项D：，故不符合题意．故选：C．变式4-3．计算：．【答案】【详解】解：．题型五同底数幂的除法例5．若，则_____．【答案】【分析】【详解】解：∵，∴，又∵，∴，故答案为：．变式5-1．计算__________．【答案】【分析】【详解】解：．故答案为：．变式5-2．若，其中不为0，且均为正整数，则的值为______．【答案】【详解】解：∵，∴．故答案为：．变式5-3．计算：．【答案】【详解】解：．题型六零指数幂和负整数指数幂例6．_____________．【答案】【详解】解：．变式6-1．_____【答案】1【详解】解：原式．变式6-2．若式子有意义，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】【详解】根据题意得：，解得：．故答案为．变式6-3．【课内回顾】如果一个幂的结果等于，有如下三种情况：①底数不为零的零指数幂，例如；②底数为的整数指数幂，例如；③底数为的偶数指数幂，例如．【知识运用】(1)若，则_________；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【答案】(1)；(2)的值为或或；(3)的值为或．【分析】【详解】（1）解：∵，又∵，∴，∴，解得：；（2）∵，∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况：①底数不为零的零指数幂，即且，解得：；②底数为1的整数指数幂，即，解得：；③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立，∴综上，的值为或或；（3）∵，∴分类讨论：（）当且时，解得：且，矛盾，不成立；（）当时，整理，得：，∴如果一个幂的结果等于，有如下三种情况：①底数不为零的零指数幂，即且，解得：；②底数为的整数指数幂，即，解得：；③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立；∴综上，的值为或．题型七单项式乘法例7．计算：．【答案】【详解】解：．变式7-1．若单项式与单项式相乘的结果是一个十二次单项式，则________．【答案】【分析】【详解】解：∵，又∵单项式与单项式相乘的结果是一个十二次单项式，∴，，．故答案为：．变式7-2．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，∴，，∴，，∴．故选：A．变式7-3．如图是一个简单的数值运算程序(1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简）(2)从、、1、2中任选一个数作为的值代入，求输出的结果．【答案】(1)(2)当时，输出的结果为（答案不唯一）【分析】【详解】（1）解：根据数值运算程序图可知：输出的结果为；（2）解：由（1）可知：输出的结果为，∴当时，则；当时，则；当时，则；当时，则．题型八多项式乘法例8．若，则与的关系是（

）A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．绝对值相等【答案】A【详解】解：，，，，对任意都成立，则，．变式8-1．计算：__________．【答案】【详解】解：.变式8-2．要使的展开式中项系数为1，则的值为（

）A． B．2 C．0 D．1【答案】D【详解】解：，的展开式中项系数为1，，解得：．故选：D．变式8-3．某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式中的两个常数弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数可以是（

）A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2【答案】D【详解】解：∵，根据题意，∴，解得：，∴．题型九多项式乘法与图形面积例9．如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动．(1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积；(2)若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？【答案】(1)(2)元【分析】【详解】（1）解：∵长方形活动场地的长为，宽为，∴长方形活动场地的面积为，∵长方形舞台的长为，宽为，∴长方形舞台的面积为，∴塑胶跑道的面积为．（2）解：∵，，∴塑胶跑道的面积，∵铺设塑胶跑道的价格为元，∴铺设塑胶跑道共需（元）．变式9-1．如图1，图形A、图形B是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中．若知道图形②与图形⑤的面积差，则一定能求出（）A．图形①与图形②的周长和 B．图形④与图形⑥的周长和C．图形①与图形②的周长差 D．图形④与图形⑥的周长差【答案】D【详解】设长方形纸片的长为x，宽为y，正方形的边长为a，图形②的面积，图形⑤的面积，，图形①的周长，图形②的周长，∴图形①与图形②的周长和为，故A选项不符合题意；图形④的周长，图形⑥的周长，，故B选项不符合题意；图形①与图形②的周长差为,故C选项不符合题意；图形④与图形⑥的周长差为，根据题意为已知，即为已知，故D选项符合题意，综上所述，一定能求出的是D．变式9-2．在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，．(1)求证：．(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】【详解】（1）证明：由题意可得：，，，，∴．（2）解：，，∴，∵，∴．变式9-3．如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离．(1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积；(2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值．【答案】(1)平方米(2)【分析】【详解】（1）解：扩建后的长为：，扩建后的宽为：，扩建后的面积为：故扩建后的面积为平方米．（2）解：原面积为：，面积增加量为：，当时，面积增加了400平方米，代入得，即，，∴．答：的值为．题型十已知多项式乘积不含某项求字母的值例10．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：不含项，，，故选：D．变式10-1．若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】A【详解】∵，又乘积中不含x的一次项，一次项系数为0，即，解得：．变式10-2．已知的展开式中不含有和的项，那么________．【答案】42【详解】解：==；∵展开式中不含有和的项，∴，解得：，∴．变式10-3．若的积中不含项与项．(1)求、的值；(2)求代数式的值．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）解：∵的积中不含x项与项，∴，解得：．（2）解：∵，∴∴题型十一多项式乘法化简求值例11．先化简，再求值：，其中．【答案】，【详解】解：当时，原式．变式11-1．已知，，

则的值为___________【答案】3【详解】解：∵，，∴，故答案为：3．变式11-2．已知，则_____．【答案】16【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：16．变式11-3．先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】【详解】解：原式，当时，原式．题型十二整式乘法混合运算例12．计算结果正确的是（

）A．2 B． C．x D．【答案】D【详解】解：；故选：D．变式12-1．已知，，，若的值与的取值无关，则的值为______．【答案】0【分析】【详解】解：，，，，的值与的取值无关，，故答案为：0．变式12-2．如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（

）A．的长 B．的长 C．的长 D．的长【答案】D【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，，，，，，又，，若要求出的面积，只需知道的长．故选：D．变式12-3．阅读理解，完成任务：三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：．发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…；(1)第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为________．(2)第个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：________________________，请补全等式并说明它的正确性．【答案】(1)25(2)，，，证明见解析【分析】【详解】（1）解：由题意可得第4个“三角形数”与第5个“三角形数”的和为：；（2）第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：，证明：右边．∴等式成立．故答案为：，，题型十三乘法公式例13．已知，，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)1(2)7【详解】（1）解：，，所以．（2）解：，，所以，所以．变式13-1．从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：由图可得，阴影部分的面积为：；由图可得，平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，，高为大正方形边长与小正方形边长之差，，∴阴影部分的面积为：，∴验证成立的公式为：．变式13-2．先化简，再求值：，其中．【答案】，【详解】解：，当时，原式．变式13-3．先化简，再求值：，其中．【答案】；【详解】解：；当时，原式．题型十四乘法公式与几何图形例14．如图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块半径分别为的圆形，其中重叠部分为花圃，对应阴影部分分别表示两个班级的基地面积．若，则_____．【答案】【详解】解：由题意可知，，，，，（负值舍去）．变式14-1．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为图2重叠部分的面积为．若，则（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【详解】解：令正方形的边长为，∵，∴，则，，令，则，，∴．变式14-2．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：由图形可得，，故选：A．变式14-3．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值．解：将两边同时平方，得，即．因为，等量代换，得，所以．请根据以上信息，解答下列问题．(1)已知，则；(2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)11【分析】【详解】（1）解：∵，∴，解得：；（2）解：根据题意可得：图中阴影部分的面积．根据题意，得，即，∵，∴，即，∴图中阴影部分的面积．（3）解：设，则，，，．题型十五通过对完全平方公式变形求值例15．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（

）A．12 B．9 C．7 D．5【答案】C【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为，由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为，所以，即，，即，而，，，而，则,．故选：C．变式15-1．已知，，则的值为______．【答案】17【详解】解：∵，，∴根据完全平方公式得：①，②，得：，两边同除以得：．变式15-2．两个正方形、的边长分别是a、b，将这两个正方形如图摆放，点E与点C重合，点H在CD上，连接BH，若这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，则阴影部分面积（

）A．9 B．6 C．12 D．8【答案】B【详解】解：∵这两个正方形边长之和为7，面积之和为25，∴，，∴，∴，∴，∴阴影部分面积为．变式15-3．如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______．【答案】【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可知，为线段上的一点，且，，两正方形的面积和，，，，，，，如图，延长与交于点，延长与交于点，则，阴影部分的面积．题型十六多项式乘法中的规律性问题例16．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释”展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为3，则的展开式中第三项的系数为（

）A．1 B．5 C．10 D．15【答案】D【详解】解：通过观察可得除了每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两个数字之和；∴每一行第三项的系数等于上一行第二项与第三项的系数之和，的各项系数分别为1，3，3，1，的各项系数分别为1，4，6，4，1，的各项系数分别为1，5，10，10，5，1，∴的第三项系数，故选：D．变式16-1．观察下列各式：；；；根据规律计算：的值是______．【答案】【详解】解：由题意：，根据题干规律，令，；故答案为：．变式16-2．观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题：（1）_________．（2）计算_________．【答案】【分析】【详解】解：（1）由题意，得，∴；（2）．变式16-3．下图是杨辉三角与（其中n为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律．……(1)直接写出：______；______．(2)若，其中，，，，，，为各项系数．①直接写出：______，______；②求的值．【答案】(1)；(2)①1；6；②64【分析】【详解】（1）解：∵，将用替代可得，由杨辉三角可得展开式中系数为∴；（2）解：①由杨辉三角可得展开式中系数为∴系数为，∴中系数；②当时，，即．题型十七乘法公式的新定义问题例17．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”如：记；．已知：，则的值是（

）A．16 B． C．20 D．【答案】B【详解】解：，，，即有，，，则的值是，故选：B．变式17-1．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵☆，∴☆，∵，∴，故选：C．变式17-2．【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如：【问题初探】根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________【归纳猜想】先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________【初步应用】如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积．【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96【分析】【详解】解：问题初探：∵，∴；；；归纳猜想：∵，，，∴，∴，又∵，∴；初步应用：∵，，，∴，∵，∴．变式17-3．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：．(1)_____；(2)若有理数m、n满足，且．①求的值；②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)11(2)①；②【分析】【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：①∵，，∴，∴，整理得，∵，∴，∴，∴；②图中阴影部分的面积，∵，，∴原式．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（2025·26七年级上·山东威海·期末）计算的结果是（

）A．18 B． C． D．【答案】C【详解】解：原式；故选：C．2．（2023·24七年级下·贵州毕节·期末）已知，，则的值为______．【答案】20【详解】解：∵∴，代入得：原式．3．（2025·26七年级上·陕西西安·期末）如图，分别以长方形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，，若，，则阴影部分的面积为（

）A．28 B．24 C．22 D．18【答案】C【详解】解：设，∵，，∴，∴，∴，∴，即阴影部分的面积为22．故选：C4．（2025·26七年级上·上海普陀·期末）将分式表示成不含分母的形式为______．【答案】【详解】解：故答案为：．5．（2025·26七年级上·湖南张家界·期末）计算：．【答案】【详解】解：．6．（2025·26七年级下·山东聊城·期中）先化简，再求值：．其中，．【答案】；【详解】解：原式当，时原式．7．（2025·26七年级上·甘肃兰州·期末）如图，大小两个正方形的边长分别为a，b．(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S；(2)如果，求阴影部分的面积．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）解：；（2）解：当时，．8．（2024·25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．例：若，，试比较，的大小．解：设，那么，．因为，所以．看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题：若，，试比较，的大小．【答案】；过程见解析【分析】【详解】解：学会了，此时，的大小关系为，设，则，，，；，，，，．期末重难突破练（测试时间：10分钟）9．（2024·25七年级下·江苏淮安·阶段检测）已知实数满足，则的值为______．【答案】【分析】【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：4051．10．（2025·26七年级下·浙江·期末）已知，若b不影响W的取值，则常数______．【答案】2【详解】解：，因为b不影响W的取值，所以含b的项的系数为0，即，解得．11．（2025·26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为________．【答案】3【详解】解：，，，，，的值与x的取值无关，，，，，，当时，A的值为，故答案为：3．12．（2025·26七年级下·河南郑州·期中）若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题：(1)如果，求x的值；(2)如果，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．13．（2025·26七年级下·安徽阜阳·期末）【阅读理解】若x满足，求的值．解：设，，则，，所以，我们把这种方法叫作换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．【解决问题】(1)若x满足，则______；(2)若x满足，求的值；(3)如图，在长方形中，，点E，F分别是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．【答案】(1)15(2)150(3)【分析】【详解】（1）解：设，，∴，∵，∴，∴；（2）解：设，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即；（3）解：由题意得：，，，设，，∴，∵长方形的面积为，∴，∵四边形和是正方形，∴图中阴影部分的面积和，即图中阴影部分的面积和为．期末综合拓展练（测试时间：15分钟）14．（2025·26七年级上·上海杨浦·期末）若，（为整数），则的值是_____．（用含、的代数式表示结果）【答案】【分析】【详解】解：由，得，故，又，所以，，故，故答案为：．15．（2025·26七年级下·陕西西安·期中）已知：（1）；（2）；（3）；猜想规律如下：（其中为正整数，且）．利用上面猜想的结论计算：_____________．【答案】【详解】解：∵，设，，，∴，，∴，∴．16．（2025·26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下：设，则．∴．∴，即．(1)根据上述规定，填空：①，；②若，则．(2)计算：，并说明理由．(3)记．求证：．【答案】(1)①3