复习讲义05 分式与分式方程（解析版）

专题05分式与分式方程（期末复习讲义）内容导航明·期末考情把握命题趋势，明确备考路径记·必备知识梳理核心脉络，扫除知识盲区破·重难题型题型分类突破，方法技巧精讲题型01分式、最简分式、最简公分母题型02分式有无意义的条件题型03分式的值为0的条件题型04利用分式的基本性质判断分式值的变化题型05分式的混合运算题型06分式化简求值题型07分式方程的定义题型08解分式方程题型09根据分式方程根的情况求参数题型10分式方程的实际应用题型11分式运算有关的规律性问题题型12分式方程有关的规律性问题过·分层验收阶梯实战演练，验收复习成效核心考点复习目标考情规律分式的概念与有意义条件理解分式的定义，能判断分式有无意义及分式值为零的条件基础必考点，常以填空题或选择题形式考查分母不为零及分子为零的条件分式的基本性质与约分、通分掌握分式的基本性质，能熟练进行约分、通分，化为最简分式高频易错点，容易忽略符号变化或因式分解不彻底，常出现在化简求值题中分式的乘除与乘方能准确进行分式的乘法、除法及乘方运算，并化为最简结果中档计算题常考，需注意运算顺序及结果化简，易与加减运算混淆分式的加减（同分母与异分母）掌握同分母分式加减法则，能正确进行异分母分式的通分与加减运算综合计算题中的核心步骤，常与分式方程、化简求值结合，易错点是最简公分母找错分式方程的解法理解分式方程的概念，掌握去分母化为整式方程的方法，并检验根期末必考点，常以解答题形式出现，易忽略检验增根，导致失分分式方程的应用能根据实际问题列出分式方程，并求解检验，解决行程、工程、销售等问题压轴题型之一，常考列方程及检验合理性，易在等量关系建立和增根检验上出错知识点01分式的概念与相关条件定义：形如AB（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。其中A叫分子，B三个重要条件：1.分式有意义：分母≠02.分式无意义：分母=03.分式值为0：分子=0且分母≠0示例：分式2xx-3有意义→x-3≠0，即x≠分式x2-4x-2的值为0→x2-4=0得x=±2，但x=2时分母为0易错点：1.判断分式值为0时，只关注分子为0而忽略分母不为0。如例中x=2虽使分子为0，但分母也为0，分式无意义。2.分式与分数的混淆：分母中必须含有字母才是分式，如x23.“有意义”与“值为0”的条件记反。知识点02分式的基本性质性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。数学表达：AB=A∙CB∙C;AB=A÷CB÷C（示例：2x3y=2x∙23y∙2=4x6yx2-1x+1=(x+1)(x-1)x+1=x-1（分子分母同除以x+1，前提x易错点：1.“都”字漏掉：只乘分子或只乘分母。2.“同一个”弄错：分子乘2，分母乘3，改变分式值。3.“不为0”忽略：同乘的整式可能为0导致错误。4.符号处理错误：分子分母同时变号时混淆。如-x-y=x知识点03分式的约分与最简分式约分：利用分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去。最简分式：分子与分母没有公因式的分式（不能再约分）。约分步骤：1.系数：约去系数的最大公约数。2.字母：约去相同字母的最低次幂。3.多项式：先分解因式，再找公因式。示例：6a3b29a2b4=2a3b2（系数约x2-4x2-2x=(x+2)(x-2)x(x-2)=易错点：1.只约系数忘约字母，或只约字母忘约系数。2.分子或分母是多项式时未分解因式直接约分。3.约分不彻底，结果不是最简分式。4.误以为x+yx+y=0，实际等于1（x+y≠0知识点04分式的通分通分：将几个异分母分式化为同分母分式的过程，通常取最简公分母。最简公分母的确定：1.系数：取各分母系数的最小公倍数。2.因式：取各分母所有因式的最高次幂。示例：-分式12x与13x2的最-1x2-1=1(x+1)(x-1)与1x+1的最简公分母为易错点：1.找最简公分母时遗漏因式或系数求错。2.通分后分子忘乘相应的倍数。3.将分母扩大时，分子未同步扩大。知识点05分式的运算1.分式的乘除:ab∙cd=ac示例：2x3y∙2.分式的加减:ab±c示例：xx+1-1x+1=x-1x+1;2x+3.分式的混合运算按先乘除、后加减，有括号先算括号的顺序进行。易错点：1.分数线有括号作用：分子是多项式时，相减忘加括号。如1x-x-1x=1-(x-1)x=2-xx，若写1-x-1)2.约分时对分式整体结构认识不清，只约部分。3.结果未化为最简分式。4.乘除运算中，除法转化为乘法时忘取倒数。知识点06分式方程的概念与解法定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程的一般步骤（一化二解三检验）：1.去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。2.解整式方程。3.检验：将解代入最简公分母，若为0则舍去（增根）。示例：解方程2x-1=1-去分母：2(x+1)=x-1-解得：2x+2=x-1，x=-3-检验：x=-3时，(x-1)(x+1)=(-4)(-2)=8≠0，是原方程的解易错点：1.漏乘不含分母的项：方程中若有常数项，去分母时容易漏乘。2.忘记检验：检验是解分式方程的必要步骤，否则可能混入增根。3.增根概念不清：增根是使最简公分母为0的解，不是原分式方程的解，必须舍去。4.分子是多项式时去分母括号错误：如x-1x=2去分母得x-1=2x，而不是x-1=2知识点07分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤（审、设、列、解、验、答）：1.审：分析题意，找等量关系。2.设：设未知数（直接设或间接设）。3.列：根据等量关系列方程。4.解：解分式方程。5.验：检验是否是原方程的解+是否符合实际意义。6.答：写答案。常见模型：类型基本关系等量参考行程问题路程=速度×时间时间相等、路程相等工程问题工作量=效率×时间工作量常设为1利润问题利润=售价-进价单价相等、总价相等购物问题总价=单价×数量数量相等、总价相等示例（工程问题）：甲队单独完成工程需60天。甲队先做20天，剩下的甲乙合作24天完成。求乙队单独完成需多少天？解：设乙队单独完成需x天。20解得x=90，经检验符合题意。易错点：1.忽略双重检验：既要检验是否为增根，又要检验是否符合实际（如人数为整数、时间正数等）。2.单位不统一：如速度单位千米/小时与时间单位分钟混用。3.等量关系找错：特别是工程问题中“合作时间”与“单独工作时间”混淆。知识点08分式方程增根与无解问题（拓展）增根：去分母后整式方程的解使最简公分母为0，不是原方程的解。无解：两种情况——1.去分母后的整式方程无解；2.整式方程有解，但所有解都是增根。已知增根求参数步骤：1.化分式方程为整式方程。2.令最简公分母=0，得增根的值。3.将增根代入整式方程求参数。示例：若关于x的方程2x-3+ax+3=1有增根x=3，求-去分母得整式方程，将x=3代入可求a。易错点：1.混淆“有增根”和“无解”：无解包含但不限于有增根的情况。2.未考虑最简公分母的多个零点（可能多个增根）。题型一分式、最简分式、最简公分母解｜题｜技｜巧分式分母含字母；最简分式分子分母无公因式，需约分；最简公分母取各分母系数最小公倍数与所有因式最高次幂的积，通分前先分解分母，避免漏乘或重复。【典例1】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）代数式，，，，，中，属于分式的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】本题考查了分式的判断等知识点，解题关键是掌握分式的定义．根据分式的定义，对每个代数式逐一分析，再作出判断．【详解】解：是整式，它不是分式；中是常数，分母不含字母，它是整式，它不是分式；分母含字母，它是分式；是整式，它不是分式；分母含字母，它是分式；分母含字母，它是分式，∴属于分式的有、、，共3个，故选：B．【典例2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列分式中，最简分式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了最简分式的定义，分子与分母没有公因式的分式为最简分式．根据最简分式的定义逐一判断各选项的分子分母是否存在公因式即可．【详解】解：选项A中，的分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式；选项B中，无法分解因式，与分母无公因式，是最简分式；选项C中，，的分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式；选项D中，分母，分子分母有公因式，约分后为，不是最简分式；故选：B．【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）分式，的最简公分母为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了最简公分母，最简公分母是各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积，由此即可得出结果，熟练掌握最简公分母的定义是解此题的关键．【详解】解：∵分母和的系数最小公倍数为12，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为，∴最简公分母为：，故选：A．【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（

）A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数【答案】D【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质．【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误；对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误；对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误；对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确．故选：D．题型二分式有无意义的条件解｜题｜技｜巧分式有意义则分母不为零；无意义则分母为零，不考虑分子；根据分母列方程或不等式求解，注意分母为多项式时需整体考虑，不能只取部分因式为零，结果要检验。【典例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）若分式无意义，则x的取值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为0是解题的关键．要使分式无意义，需满足分母为0．据此求解即可．【详解】解：由题意，得解得：，故选：B．【典例2】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）当取哪个数时，分式的值不存在（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据当分母为零时分式的值不存在得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵分式的值不存在时，∴，∴，故选：D．【变式1】（25-26八年级上·新疆和田·期末）若分式无意义，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义当分母为零，因此求解分母即可．【详解】解：∵分式无意义当分母为零，∴令，解得，∴当时，分式无意义．故选：B．【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如果一个分式，当时分式无意义，当时分式的值为0，则这个分式可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了分式无意义，分式的值为零的条件，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当时，分式无意义，排除选项B、D，然后把代入A、C选项计算即可判断．【详解】解：当时，，则分式，无意义；，，则分式，有意义，故排除选项B、D，当时，，，故选项C符合题意，选项A不符合题意．故选：C．题型三分式的值为0的条件解｜题｜技｜巧分式值为0需分子为零且分母不为零；先令分子等于0解方程，再代入分母检查是否非零，若分母为零则舍去该解，注意分子分母有公因式时先约分再判断，避免增根。【典例1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）若分式的值为，则的值为___________．【答案】【分析】本题考查分式的值为的条件，掌握分式值为的两个条件是解题关键．若分式的值为，则分子为且分母不为．【详解】解：分式的值为，则分子且分母，故，且．故答案为：．【典例2】（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式的值为零，则______．【答案】【分析】本题考查了分式值为零的条件等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．根据分式值为零需分子为零且分母不为零求解即可．【详解】解：∵分式的值为零，∴且分母，解得：或，∵，∴，∴，故答案为：．【变式1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________．x的值1分式的值不存在0【答案】【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算．【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得．当时，分式的值为0，则分子，即，解得．所以．故答案为：．【变式2】（25-26七年级上·上海·期末）如果分式的值为零，那么x的值为_____．【答案】【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此列式求解即可．【详解】解：∵分式的值为零，∴，且，或，解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意；综上所述，，故答案为：．题型四利用分式的基本性质判断分式值的变化解｜题｜技｜巧分式分子分母同乘非零整式值不变；判断变化看分子分母运算是否对应，排除乘零情况；可代入特殊值快速验证，注意符号变化与整体倍分关系，避免只看部分忽略整体。【典例1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）分式可变形为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果．【详解】解：∵==．【典例2】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍【答案】A【分析】根据题意，将扩大后的x、y代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化．【详解】解：由题意，将原分式中x换为，y换为，===，∴新分式的值是原分式值的2倍 ．【变式1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（

）A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍C．扩大为原来的4倍 D．不变【答案】B【分析】先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可．【详解】解：由题意得，故分式的值扩大为原来的2倍．【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键．【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变，∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意；、，又，故该选项变形正确，符合题意；、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意；、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意；故选：．题型五分式的混合运算解｜题｜技｜巧先算乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，注意通分与约分，结果化为最简分式或整式；运算中可先分解因式再约分，避免盲目通分，最后检验分母是否为零。【典例1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）计算：．【答案】．【分析】本题主要考查了分式的混合运算，包括分式的通分、因式分解、约分以及除法变乘法的法则，熟练掌握分式混合运算的顺序和运算法则是解题的关键．先对括号内的分式进行通分并相加，再将除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，最后通过约分得到最简结果．【详解】解：原式．【典例2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）化简：．【答案】【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解．【详解】解：．【变式1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）化简：．【答案】【分析】本题考查了分式的混合运算，先将分式除法转化为乘法，进行因式分解和约分，再进行分式减法运算．【详解】解：原式．【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算，下面是同学们两种不同解法的部分运算过程．①原式；②原式．(1)以上解法中正确的是_____________（填序号即可）；(2)写出完整的解答过程．【答案】(1)①(2)【分析】本题考查分式的混合运算．熟悉分式的混合运算的运算顺序，分式的通分与约分：通分是将异分母分式化为同分母分式，约分是将分子分母的公因式约去，分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，是解题的关键．（1）根据分式的混合运算的运算顺序，先算括号内，再算括号外的除法，判断即可．（2）按照分式的混合运算的运算法则，先计算括号内的，对分母进行因式分解，通分后，再计算括号外的除法，约分后得到答案．【详解】（1）解：∵分式混合运算需先算括号内，再算括号外的除法，∴①算式是正确的，②算式是错误的；故答案为：①；（2）解：．题型六分式化简求值解｜题｜技｜巧先化到最简分式，再代入数值；代入时注意分母不为零，负数添括号，整体代入可简化；条件如x+y=3可变形后代入，避免复杂计算，结果需约分，检验是否合理。【典例1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】此题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再将a的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：，当时，原式．【典例2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，4【分析】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．先对分式进行化简，然后代数求值即可．【详解】解：当时，原式．【变式1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）先化简，再求值：，其中从3、2、1、中选取一个合适的数代入求值．【答案】化简结果为；当时，值为【分析】本题考查分式的化简求值，关键是先因式分解、通分进行化简，再根据分母不为零的条件选择合适的代入计算．【详解】解：．由分母不为零，得且，只能取，代入得．【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值：(1)，其中．(2)，其中．【答案】(1)，(2)，【分析】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）先对分式进行化简，然后代数求值即可；（2）先对分式进行化简，然后代数求值即可．【详解】（1）解：将代入上式得，原式；（2）解：将代入上式得，原式．题型七分式方程的定义解｜题｜技｜巧分母中含未知数的方程是分式方程；判断看分母字母是否未知，注意分母可为零但方程中需排除增根，整式方程与分式方程区别在于分母，解前先找最简公分母。【典例1】（25-26八年级上·广西贺州·期末）下列方程中，属于分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键．分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可．【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数，选项A：，分母无未知数，不是分式方程；选项B：，分母x是未知数，是分式方程；选项C：，分母2是常数，不是分式方程；选项D：，分母无未知数，不是分式方程．故选：B．【典例2】（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，是分式方程的是（

）①；②；③；④A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④【答案】A【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义是分母中含有未知数的方程，据此逐一判断各方程是否符合条件．【详解】解：∵方程①的分母含有未知数，∴①是分式方程；∵方程②的分母是常数，∴②不是分式方程；∵方程③的分母都是常数，∴③不是分式方程；∵方程④的分母含有未知数，∴④是分式方程．∴是分式方程的是①④，故选：A．【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在方程，，，，中，分式方程的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是判断方程中分母是否含有未知数．逐一分析每个方程，判断分母中是否含有未知数，统计满足分式方程定义的个数．【详解】解：：分母为，不含未知数，不是分式方程；：分母含未知数，是分式方程；：分母含未知数，是分式方程；：分母含未知数，是分式方程；：分母为（常数），不含未知数，不是分式方程．综上，分式方程共3个．故选：B．【变式2】（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，哪些是分式方程（

）①；②；③；④A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】本题主要考查分式方程的定义．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可．【详解】解：①，符合分式方程的定义，是分式方程；②，符合分式方程的定义，是分式方程；③，分母里不含有字母，不符合分式方程的定义，不是分式方程；④，符合分式方程的定义，是分式方程；故选：B．题型八解分式方程解｜题｜技｜巧去分母乘最简公分母化为整式方程，解后必须检验代入最简公分母是否为零；零则增根舍去；注意符号变化与移项，避免漏乘常数项，无解情况包括整式方程无解或解全为增根。【典例1】（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）解方程(1)；(2)．【答案】(1)(2)分式方程无解【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果；（2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果．【详解】（1）解：去分母可得：，去括号可得：，移项可得：，合并同类项可得：，检验，当时，，∴分式方程的解为；（2）解：将方程整理可得：，去分母可得：，去括号可得：，移项可得：，合并同类项可得：，检验，当时，，∴分式方程无解．【典例2】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键思想是去分母，把分式方程转化为整式方程，求出解后再代入最简公分母检验是否增根．（1）首先把方程两边同乘，化为一元一次方程，可得：，解一元一次方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根；（2）首先把方程两边同乘，化为整式方程，可得：，解整式方程求出的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根．【详解】（1）解：，方程两边同乘，可得：，

去括号可得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为得：，检验：把代入，可得：，是原分式方程的解；（2）解：，方程两边同乘，可得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为得：，检验：把代入，可得：，是原分式方程的解．【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)无解(2)【分析】（1）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根；（2）先将方程两边乘转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原方程的根．【详解】（1）解：方程两边乘，得，解得，检验：当时，，所以，原分式方程无解；（2）解：方程两边乘，得，解得，检验：当时，，所以，原分式方程的解为．【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）解方程(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【分析】本题考查了解分式方程．（1）方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解；（2）去分母方程两边同乘最简公分母，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解．【详解】（1）解：方程两边同乘最简公分母，得：，解得：当时，，因此是原方程的解．（2）解：方程两边同乘最简公分母，得：，解得当时，，因此是增根，原方程无解．题型九根据分式方程根的情况求参数解｜题｜技｜巧先将分式方程化为整式方程，解用参数表示，再根据根的正负、整数或增根条件列不等式或方程；注意分母不为零与增根排除，常需分类讨论，最后检验参数范围。【典例1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________．【答案】且【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解．【详解】解：方程两边同乘，得，展开并整理，得，当，即时，方程无解，∴，当时，，又∵分母不为零，需且，检验增根：若方程有增根，则或，若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是，若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解，因此，分式方程有解的条件为且．【典例2】（25-26七年级上·上海·期末）若关于的方程有增根，则的值为________．【答案】或22【分析】本题考查了分式方程的增根．首先把分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，据此求出或，分别代入整式方程求出m的值即可．【详解】解：方程两边都乘以，得，∵方程有增根，∴或，解得或，当时，，解得；当时，，解得；故答案为：或22．【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________．【答案】且【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可．【详解】解：，∴且，由题意知，，解得且．故答案为：且．【变式2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为_____．【答案】或【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根（使原方程分母为零），分别求解即可．【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得：整理得：移项得：当即时，方程左边为，右边为，即，矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解，当时，，若解为增根，则或，当时，，解得，即，得，不成立，无解，当时，，解得，即，整理得，所以，此时解为增根，故原方程无解，综上，满足条件的值为或．故答案为：或．题型十分式方程的实际应用解｜题｜技｜巧审题设未知数，根据等量关系列分式方程，解后双重检验：是否满足方程且符合实际意义；注意单位统一与结果合理性，常涉及工程、行程或销售问题，答案要带单位。【典例1】（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元．(1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用；(2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？【答案】(1)纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元(2)小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算【分析】本题考查分式方程与一元一次不等式在实际购车费用问题中的应用，解题关键是根据“行驶里程相同”“费用比较”等条件建立方程或不等式，理清费用的组成部分．（1）根据两款车行驶里程相同，建立分式方程求解每千米行驶费用，注意分式方程解完后必须检验；（2）根据年使用费用的构成（行驶费用+保险费+保养费），分别列出两款车的年费用表达式，再根据“电动车更划算”的条件建立一元一次不等式求解．【详解】（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，,答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元．（2）解：设小明家年平均行驶里程为，纯电动汽车的年使用费用为元，燃油车的年使用费用为元，根据题意得：，解得：，答：当小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算．【典例2】（25-26八年级上·陕西延安·期末）2025年春晚舞台上，宇树人形机器人表演扭秧歌，吸引了大量的关注，并带动整个人形机器人行业的畅销，某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每件款人形机器人的售价比每件款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为900万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出5件．(1)求该公司每件款、款人形机器人在网上的售价分别是多少万元？(2)若该公司在网上进行预约销售了、两款人形机器人共25件，且总销售额不低于470万元，则最少预约销售了款人形机器人多少件？【答案】(1)每件A款人形机器人售价为20万元.每件B款人形机器人售价为18万元(2)最少预约销售了A款人形机器人10件【分析】（1）设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，再根据相同销售额下销量差为5件列分式方程求解即可；（2）设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据总销售额的要求列一元一次不等式，求解得到最小销售数量．【详解】（1）解：设每件A款人形机器人的售价为x万元，则每件B款人形机器人的售价为万元，根据题意得，解得，检验：当时，，所以是原分式方程的解，则，答：每件A款人形机器人售价为20万元，每件B款人形机器人售价为18万元；（2）解：设预约销售A款人形机器人m件，则预约销售B款人形机器人件，根据题意得，解得，答：最少预约销售了A款人形机器人10件．【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同．(1)求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？(2)采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？【答案】(1)每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元(2)可以购买14盒口罩，6盒水银温度计【分析】（1）设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元，根据“用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同”建立分式方程求解；（2）设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计，根据题意建立不等式组求解即可．【详解】（1）解：设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元，由题意得：，

解得：，经检验是原方程的解，且符合题意，，答：每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元；（2）解：设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计，由题意得：解得y只能取整数，，答：可以购买14盒口罩，6盒水银温度计．【变式2】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床．(1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？(2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润．【答案】(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元(2)最大利润为1998元【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可；（2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可．【详解】（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元，根据题意，得，解得：，经检验，是所列分式方程的解，（元）．答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元．（2）解：根据题意，得：，解得：，A款电热毯的售价为（元），B款电热毯的售价为（元），则，∵，∴W随a的增大而增大，∵且x为正整数，∴当时，W的值最大，．答：最大利润为1998元．题型十一分式运算有关的规律性问题解｜题｜技｜巧观察式子结构，寻找重复模式，通常含裂项相消或循环规律；将复杂分式拆成简单分式差，累加时中间项抵消，注意首尾项与分母变化，归纳通项公式，验证n=1时成立。【典例1】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式：①；②；③；．．．(1)根据以上规律写出第④个等式：___________；(2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性；(3)利用你发现的规律，计算：．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是得出所给的数字的规律．（1）根据等式的规律写出第④个等式即可；（2）根据等式的规律写出第n个等式，把等式右边进行运算即可证明；（3）所求的式子变形为，利用发现的规律进行运算即可．【详解】（1）解：第④个等式为：，故答案为：．（2）解：①；②；③；④；……∴第n个式子为：．证明：∵右边左边，∴成立．（3）解：．【典例2】（24-25八年级上·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律：①，②，③……(1)请写出第④个等式：__________；(2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】本题主要考查了分式类规律题，分式的加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．（1）观察给出的3个等式，找出分数的分子、分母的变化规律，即可求解；（2）用含n的等式表示（1）中发现的规律，写出第n个等式，再根据异分母的分式加法法则计算化简即可证明．【详解】（1）解：由题意得：第④个等式为，故答案为：；（2）解：由题意得，第n个等式为：，证明：．【变式1】（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式：①；②；③；④(1)根据上面等式的规律补全等式：；(2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______；(3)请证明（2）中等式的正确性；(4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果：．【答案】(1)；(2)(3)证明见解析(4)【分析】本题考查规律性：数字的变化类，（1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是；（2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式；（3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可；（4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算；解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算．【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为，∴等式为：，故答案为：；；（2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是，∴第个等式为：，故答案为：；（3）证明：左边，∴左边右边，∴原等式成立；（4）解：．【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式：；；；……请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：(1)；(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；(3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了实数的运算规律探究．分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键．（1）根据，计算求解即可；（2）由题意知，；（3）根据，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，．故答案为：；（2）解：由题意知，．故答案为：；（3）解：由题意知，．题型十二分式方程有关的规律性问题解｜题｜技｜巧观察方程形式，常发现根与系数或序号关系，先解前几个特例找规律，猜想通解表达式；验证时代入方程，利用分式方程解法，注意增根与定义域，可归结为数列或递推问题。【典例1】（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；；【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明．（2）【拓展】①利用你发现的规律计算：；②利用上述规律解答：若的值为，求n的值．【答案】（1），证明见解析；（2）①；②25【分析】本题考查了分式规律探究，异分母减法，分式方程，理解题意，观察得到规律，并熟练掌握分式的运算法则是解题关键．（1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明；（2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解；②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解．【详解】（1）解：第n个等式为：；证明如下：．（2）解：①．②∵，∴，解得，经检验是分式方程的解，的值为25．【典例2】（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：；；；请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题：(1)________；(2)请你按利用发现的规律计算：；(3)利用上面规律解方程：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类．（1）根据已知条件中的等式，找出规律即可；（2）按照（1）中的规律进行计算即可；（3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：原式；（3）解：，，，解得：，经检验，是原方程的解，原方程的解是．【变式1】（25-26八年级上·广西防城港·期末）探究与应用【特例分析】（1）填空：①的解为x=；②的解为x=；③的解为x=；【总结规律】（2）根据你发现的规律直接写出第4个分式方程及它的解：．【解决问题】（3）请你按照上述规律写出第n（n为正整数）个分式方程，并求出它的解．（写出解答过程）【答案】①②③；（2）第4个分式方程为，解为；（3）第个分式方程为，解为【分析】本题考查分式的规律以及分式方程，本题通过三个具体的分式方程，引导学生观察并归纳解的规律．首先解出前三个方程的解，从中发现解与序号之间的关系，进而推广到第四个方程，并最终写出第个方程及其解．解题的关键在于观察方程结构和解的变化规律，理解分式方程的解法过程，并进行代数推导与归纳总结．（1）①两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根；②两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根；③两边同乘以，去括号，移项合并即可，注意代入检验增根；（2）直接根据规律写出第四个分式方程及它的解即可；（3）根据规律，第n个方程为：，两边同乘，移项整理即可．【详解】（1）解：①解方程：，两边同乘以，得：去括号：，移项合并得：，检验：当时，分母，解成立，所以解为；故答案为：；②解方程：，两边同乘以，得：去括号：，移项合并得：，检验：当时，分母，解成立，所以解为；故答案为：；③解方程：，两边同乘以，得：，去括号：，移项合并得：，检验：当时，分母，解成立，所以解为，故答案为：；（2）观察前三个方程：①，②，③，规律：左边分子为，右边分子为，且结构为，因此第4个方程为：解法同上：两边同乘：，整理，得：，移项合并得：，检验成立，解为，所以第4个方程是，解为；故答案为：，；（3）根据规律，第n个方程为：，解方程：两边同乘：移项整理：，解得：，检验：当时，（因n为正整数），分母不为零，解成立，所以第n个方程的解为．【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整：特例1：；特例2：；特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子）【发现规律】______．（，且n为整数）【应用规律】（1）计算：；（2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分．【答案】问题初探：发现规律：应用规律：（1）；（2）9【分析】问题初探：直接通过计算求解即可；发现规律：通过计算，化去根号即可；应用规律：（1）利用规律求解；（2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分．【详解】问题初探：解：故答案为：；发现规律：解：故答案为：；应用规律：（1）解：（2）解：当小数部分是时，，解得：，经检验是分式方程的根，∴整数部分是．期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．（25-26八年级上·广西来宾·期末）下列各式是分式的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴A是整式，不是分式，故此选项不符合题意；B、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴B是整式，不是分式，故此选项不符合题意；C、∵选项中的分子、分母都是整式，分母含有字母，∴C是分式，故此选项符合题意；D、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴D是整式，不是分式，故此选项不符合题意．2．（25-26八年级上·山西朔州·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质：“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”，逐项验证即可得到答案．【详解】解：A、的分子不含因式，无法约分为，则，变形错误；B、，变形正确；C、的分子、分母没有同时乘同一个不为的整式，，变形错误；D、分式分子、分母同时加不符合分式基本性质，，变形错误．故选：B3．（25-26八年级上·四川泸州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根据分式方程解为正数、分式有意义的条件确定x的限制，再解分式方程得到x关于m的表达式，代入限制即可求出m的取值范围．【详解】解：∵分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为0，∴且，即且，，去分母得：，整理得，∵且，∴且，解得：且．4．（25-26八年级上·上海·期末）函数中自变量的取值范围是_____．【答案】【分析】函数表达式分母含有二次根式，需同时满足二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，，解得．5．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若关于的分式方程无解，则的值为___________．【答案】或【分析】先将分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解a的值：一种是整理后整式方程中x的系数为0，整式方程无解，此时原分式方程无解；另一种是整式方程有解，但解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解．【详解】解：，方程两边同乘最简公分母，得，整理得，当，即时，方程左边为，右边为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合题意．当时，若原分式方程无解，则整式方程的解为原分式方程的增根．分式方程的增根使最简公分母为0，即，得，将代入，得，解得．综上，的值为或．6．（25-26九年级上·四川成都·期末）已知，则的值为_______．【答案】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．【详解】解：，．7．（25-26八年级上·云南文山·期末）解方程：．【答案】【分析】先去分母化为一元一次方程，然后解一元一次方程，再检验即可．【详解】解：，解得，经检验，是原方程的解，∴原方程的解为．8．（25-26八年级上·四川泸州·期末）先化简，再求值：，其中【答案】，当时，原式【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．【详解】解：，当时，原式．期末重难突破练（测试时间：10分钟）1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）下列说法正确的是（）A．代数式是分式B．分式是最简分式C．分式的值为0，则x的值为D．分式中都扩大3倍，分式的值不变【答案】B【分析】本题主要考查了分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式相关概念及性质的应用条件是解题的关键．根据分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，对每个选项逐一分析判断即可．【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的整式，π是常数，∴的分母不含字母，是整式不是分式，故A错误．∵的分子与分母没有公因式，∴该分式是最简分式，故B正确．∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，由得，又时，分母，分式无意义，∴，故C错误．将都扩大3倍后，新分式为，是原分式的3倍，分式的值改变，故D错误．故选：B．2．（25-26八年级上·山东滨州·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能完成总工程的，根据题意，可列方程（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了分式方程的应用——工程问题，熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，列方程，是解题的关键．设乙队单独施工1个月完成总工程的，将总工程量记为单位1，根据“甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量”列方程，整理后对应选项即可．【详解】∵总工程量记为单位1，甲单独1个月完成总工程的，∴两队共同工作的半个月中，甲完成的工程量为，乙完成的工程量为，∵工程全部完成，总工程量为1，∴可得方程，移项整理得，与选项A一致．故选：A．3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（

）A．或 B．10或 C．3或 D．5或10【答案】A【分析】本题考查分式方程无解的判定，需结合增根的定义，分析整式方程的