第八讲 整式乘法（10大易错题型＋知识构建＋题型详解＋过关检测）（解析版）

期末提分题型大串讲易错题型08——整式乘法题型01：整式加减乘除正误判断题型02：整式的混合运算与求值题型03：整式乘法结果不含某项题型04：整式乘法与图形的面积题型05：利用乘法公式简便计算题型06：平方差公式与图形面积题型07：完全平方与图形的面积题型08：乘法公式变形求值问题题型09：完全平方式中求字母值题型10：整式乘法的实际应用题01：整式加减乘除正误判断下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式逐项分析即可．【详解】解：A．，故不正确；B．，故不正确；C．，正确；D．，故不正确；故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，乘法公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．1．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】运用平方差公式进行运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、积的乘方运算【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的除法、积的乘方、平方差和完全平方公式分别计算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；、，该选项正确，符合题意；、，该选项错误，不合题意；故选：．2．下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】幂的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、同底数幂相乘、积的乘方运算【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是关键．根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则计算即可．【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意；B、，原选项错误，不符合题意；C、，正确，符合题意；D、，原选项错误，不符合题意；故选：C．3．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】合并同类项、运用完全平方公式进行运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算【分析】本题考查同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘的运算法则计算并判断A；根据合并同类项的运算法则计算并判断B，根据幂的乘方的运算法则计算并判断C；根据完全平方公式计算并判断D．【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；B、，原计算错误，故此选项不符合题意；C、，正确，故此选项符合题意；D、，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：C．4．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、积的乘方运算【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算即可．【详解】解：A，，原计算错误，故本项不符合题意；B，，原计算错误，故本项不符合题意；C，，原计算错误，故本项不符合题意；D，，故本项符合题意；故选：D．02：整式的混合运算与求值已知，求代数式的值．【答案】3【知识点】运用平方差公式进行运算、整式的混合运算、已知式子的值，求代数式的值【分析】本题考查了代数式的求值、平方差公式，利用整体代入法求值是解题的关键．由题意得，再利用整式的乘法和平方差公式化简式子，再整体代入即可求解．【详解】解：，，，代数式的值为3．1．先化简，后求值：，其中．【答案】，【知识点】整式的混合运算【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先对括号里面的式子进行整式的四则混合运算，然后计算整式的除法，最后把代入化简后的结果计算即可．【详解】解：当时，原式2．化简求值：，其中，．【答案】【知识点】整式的混合运算、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式根据单项式乘以多项式，完全平方公式去括号，合并同类项，得到最简结果，再把，代入计算即可．【详解】解：当，时，原式3．先化简，再求值：，其中．【答案】．【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式展开，再根据整式的加减法计算，然后代入求值即可．【详解】解：原式．当时，原式．4．若，求代数式的值．【答案】7【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值【分析】本题考查了乘法公式，求代数式的值，先根据乘法公式计算，再合并同类项，然后把代入计算即可．【详解】解：；∵，∴，∴原式．03：整式乘法结果不含某项．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值．【答案】【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可．【详解】解：，∵结果中不含和的项，∴，∴．1．已知计算的结果中不含x的一次项，求的值．【答案】【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，计含x的一次项的系数为0求出a的值，最后代值计算即可得到答案．【详解】解：，∵计算的结果中不含x的一次项，∴，∴，∴．2．已知的展开式中不含项，且常数项是．求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题考查多项式乘多项式，不含项的理解，解一元一次方程，求代数式的值等．（1）先将整式展开后得，再由常数项为得，继而求得，后得到本题答案；（2）先将整式乘法计算完成得，再代入（1）中的数值即可得到本题答案．【详解】（1）解：∵，∵的展开式中不含项，∴，∵常数项是，∴，即：，∴，∴（2）解：由（1）得，，∴，∴．3．若的计算结果中不含与项．(1)求的值；(2)求代数式的值．【答案】(1)(2)13【知识点】已知字母的值，求代数式的值、积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据整式的运算以及计算结果中不含与项即可得到答案；（2）将代入式子计算即可．【详解】（1）解：原式，计算结果中不含与项，，解得；（2）解：将代入，原式．4．已知的展开式中不含项和常数项，求：(1)m，n的值；(2)的值．【答案】(1)，(2)1【知识点】已知字母的值，求代数式的值、已知多项式乘积不含某项求字母的值【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．（1）根据整式的运算法则进行化简后即可求出答案；（2）将m与n代入进行计算即可求出答案．【详解】（1）解：，∵的展开式中不含项和常数项，∴，∴（2）解：∵，，∴．04：整式乘法与图形的面积．如图，某城市广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）．(1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）．(2)若，满足，求该广场音乐喷泉的面积．(3)在（2）的条件下，音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为元，求市民活动区域铺设地砖的费用【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为(2)(3)市民活动区域铺设地砖的费用为元【知识点】多项式乘多项式与图形面积、多项式乘多项式——化简求值【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可；（2）根据非负数的性质，得出，代入（1）的式子进行计算即可求解；（2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可，将，代入即可求解．【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为．答：音乐喷泉池的占地面积为．（2）解：，∴解得：，∴（3）解：由题可得市民活动区域的面积为．市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，．当时，答：市民活动区域铺设地砖的费用为元．1．如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜．(1)用含的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简）(2)若，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本．【答案】(1)(2)种植蔬菜所需的总成本为元．【知识点】已知字母的值，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式表示式，代数式求值，解题的关键在于根据图形表示出种植蔬菜的面积．（1）根据“种植蔬菜的面积大长方形面积个小长方形面积”列出代数式即可；（2）将代入（1）中代数式求出种植蔬菜的面积，结合种植蔬菜每平方米的成本为10元，即可求出种植蔬菜所需的总成本．【详解】（1）解：由图知，种植蔬菜的面积为；（2）解：若，则种植蔬菜的面积为（平方米），又种植蔬菜每平方米的成本为10元，所以种植蔬菜所需的总成本为（元），答：种植蔬菜所需的总成本为元．2．综合与实践活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系项目背景数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到：问题探究提出问题（1）由图2可以得到：_____________．迁移应用（2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，求的值．拓展创新（3）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式：（画出一种即可）【答案】（1）；（2）13；（3）见解析【知识点】多项式乘多项式与图形面积【分析】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是运用多项式乘多项式的计算法则计算．（1）由图2可以得，按照多项式乘多项式的计算法则计算；（2）根据图2所得的等式，得，因为，求出；（3）依照示例画出图形即可．【详解】解：（1），故答案为：

（2）由（1）可知：

（3）如图．3．如图①，有A，B，C，D四种不同型号的卡片，每种卡片各有2张．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为c，d的长方形，D型卡片是相邻两边长分别为b，d的长方形．从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c，d各不相等）．(1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．(2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．(3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法．【答案】(1)见详解(2)，，，(3)5种【知识点】多项式乘多项式与图形面积【分析】本题考查几何的基础模型，通过4个不同的长方形可以拼接成新的长方形，同时也是因式分解的几何表示方法．（1）通过图形可知，边需要和边重合，则有另一边为的矩形，边和边重合，则有另一边为的矩形，然后将的边重合，则得到新的矩形，（2）根据图②中的矩形数量，可知面积可以表示为，根据新的矩形的两边长分别为和可得，矩形面积为，故可以用等式来连接，图③同理可得，（3）根据前边的推论，结合多项式乘法即可推出其他种长方形．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：图②的面积可以表示为：，也可以表示为，∴，图③的面积可以表示为：，也可以表示为，∴，故答案为：，，；（3）解：根据条件可得，除了图②和图③外，还可以拼出五种不同的长方形，第一种，由，故长方形的长为，宽为，由1个卡片，2个卡片，2个卡片，1个卡片拼得；第二种，由，故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得；第三种，由，故长方形的长为，宽为，由1个卡片，1个卡片，2个卡片，2个卡片拼得；第四种，由，故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，1个卡片，1个卡片拼得；第五种，由，故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得．4．综合与实践数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．七年级课外活动小组剪了若干个边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片（如图1所示），发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．乐学组的同学：我们拼出了如图2的长方形，我们发现这个图形可以解释等式：．(1)勤奋组的同学拼出了如图3的长方形，这个图形可以解释的等式为________．(2)启航组同学要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张．(3)卓越组的同学想用1张A卡片，5张B卡片，4张C卡片拼成一个长方形，验证某个等式，请你帮他们画出图形并写出可以解释的等式．可以解释的等式为：________．【答案】(1)；(2)2；7；3；(3)见解析，【知识点】多项式乘多项式与图形面积【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键．（1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可；（2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答；（3）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数解答，然后画出图形即可．【详解】（1）解：；（2），需用A类卡片2张，B类卡片7张，C类卡片3张．故答案为：2；7；3；（3）张A卡片，5张B卡片，4张C卡片拼成一个长方形，，图形为：等式为．05：利用乘法公式简便计算．利用整式乘法公式计算：(1) (2)【答案】(1)9600 (2)1【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了乘法公式，解题的关键是对所求的算式合理的进行变形，再利用乘法公式简便计算．（1）运用平方差公式即可简便计算；（2）将变形为，根据平方差公式即可简便计算．【详解】（1）解：（2）解：1．简便计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算【分析】本题考查完全平方公式及平方差公式，即，．（1）利用平方差公式变形并化简求解即可；（2）将原式变形利用完全平方公式求解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．2．用简便方法计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了乘法公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；（1）根据平方差公式进行计算即可求解．（2）根据平方差公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：原式（2）解：原式3．用简便方法进行计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算【分析】（）利用完全平方公式计算即可；（）把原式转化为，再利用平方差公式计算即可；本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，正确计算是解题的关键．【详解】（1）解：原式；（2）原式．4．简便计算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算【分析】本题考查了有理数简便计算，涉及积的乘方的逆用，完全平方公式和平方差公式，选择合适的简便计算方法是解题关键．（1）逆用积的乘方进行简便计算即可；（2）利用平方差公式简便计算即可；（3）利用完全平方公式简便计算即可；（4）利用完全平方公式简便计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：（3）解：（4）解：．06：平方差公式与图形面积．【实践操作】如图①，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，把图①中形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③；（1）请写出从图①到图③验证的乘法公式为：____________________________________，并说明理由．【应用探究】（2）利用（1）中验证的公式简便计算：；（3）计算：．【知识迁移】（4）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为的正方体中去掉一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：_______________________________________________．（结果不需要化简）【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4）【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形【分析】本题考查了“数形结合”中的乘法公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律．（1）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，分别计算即可得出：（2）观察（1）的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将499拆成，将501拆成即可．（3）利用将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为0，故答案为第一个因式乘以最后一个因式．（4）将立体图形分割成三部分，分别为：，其和为，恰等于．【详解】解：（1）图③整个大长方形的面积等于图①阴影部分的面积：∴；理由如下：一方面：

另一方面：

∴；

（2）原式

（3）原式

；

（4）将立体图形分割成三部分，分别为：，其和为．1．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A．

B．

C．(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知求的值；②简便计算：．【答案】(1)B(2)①3②【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形【分析】（1）根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为；重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形，根据面积不变性质，建立等式解答即可．（2）①根据，结合已知求的值即可．②根据题意，得，解答即可．本题考查了平方差公式的几何意义，及其应用，正确理解意义，灵活应用是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为；重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形，根据面积不变性质，建立等式得．故选B．（2）①根据，且故．②根据题意，得．2．【实践操作】（1）如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），把图中形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图，用含、的式子表示图中大长方形的面积为______；

（2）请写出图、图、图验证的乘法公式为：______；【应用探究】（3）利用（）中验证的公式简便计算：；（4）计算：．【答案】（）；（）；（）；（）．【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算【分析】（）利用长方形的面积等于长乘以宽即可；（）图中大长方形的面积等于图的阴影部分面积，分别计算即可得出；（）观察（）的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将拆成，将拆成即可；（）利用将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为，故答案为第一个因式乘以最后一个因式；本题考查了“数形结合”中的平方差公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律．【详解】（），，，，故答案为：；（）图中大长方形的面积等于图的阴影部分面积，∴，故答案为：；（）原式，，；（）原式，，，．3．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示）．(1)实验与操作：上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的选项）：A． B．C． D．(2)应用与计算：请利用你从（）选出的等式，完成下列各题：①根据以上等式简便计算：．②已知，，计算的值．【答案】(1)D(2)；．【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形【分析】（）分别表示出图和图阴影部分的面积，根据面积相等即可求解；（）利用平方差公式直接计算即可求解；利用平方差公式把等式左边转化成，代入即可求解；本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为，由图可得，阴影部分的面积为，∵图和图阴影部分的面积相等，∴，故选：；（2）解：；∵，∴，∵，∴，∴，∴．4．【实践操作】（1）如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把图①中L形的纸片按图②剪拼，改造成了一个大长方形如图③，请求出图③中大长方形的面积；

（2）请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为：．【应用探究】（3）利用（2）中验证的公式简便计算：；（4）计算：．【知识迁移】（5）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式如图④，将一个棱长为a的正方体中去掉一个棱长为b的正方体，再把剩余立体图形切割分成三部分如图⑤，利用立体图形的体积，可得恒等式为：．（结果不需要化简）

【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)或【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算【分析】（1）利用长方形的面积等于长乘以宽即可．（2）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，分别计算即可得出：（3）观察（2）的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将499拆成，将501拆成即可．（4）利用将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为0，故答案为第一个因式乘以最后一个因式．（5）将立体图形分割成三部分，分别为：，其和为，恰等于．【详解】解：（1）长方形的面积为：；（2）图③整个大长方形的面积等于图①阴影部分的面积：∴；（3）原式；（4）原式；（5）将立体图形分割成三部分，分别为：，其和为．故答案为：．【点睛】本题考查了“数形结合”中的乘法公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律．07：完全平方与图形的面积．已知两个正方形A，B，边长分别为．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．(1)用a，b表示图甲阴影部分面积为________；图乙阴影部分面积为：_______(需化简)(2)若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，求正方形A，B的面积之和(请写出解题过程)；(3)在（2）的条件下，三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．【答案】(1)，(2)20(3)44【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键：（1）易得图甲中阴影部分的边长为，利用面积公式计算即可，分割法求出图乙的面积即可；（2）利用完全平方公式变形计算即可；（3）分割法表示出阴影部分的面积，利用完全平方公式变形计算求值即可．【详解】（1）解：图甲阴影部分面积：，图乙阴影部分面积：，（2）设正方形A，B的边长分别为，由图甲得，由图乙得，∴；答：正方形A，B的面积之和为20；（3）∵，，∴，∵，∴，∵，且，∴，∴图丙的阴影部分面积．1．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．方法；方法．(2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知，，求和的值；②已知，求的值．【答案】(1)；(2)(3)①2.5，15；②21【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】（1）方法1：根据“阴影部分的面积边长的正方形的面积边长为的正方形的面积”即可得出答案；方法2：根据“阴影部分的面积边长为的正方形边长为，的长方形”即可得出答案；（2）由（1）计算的结果即可得出，，之间的等量关系；（3）①由（2）的结果得，则，将，代入计算即可得出的值；根据，得，由此可得的值；②设，，则，，进而由得，根据得，继而得，然后根据即可得出答案．此题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．【详解】（1）解：方法阴影部分的面积边长的正方形的面积边长为的正方形的面积，阴影部分部分的面积为：；方法阴影部分的面积边长为的正方形的面积边长为，的长方形的面积，阴影部分的面积为：；故答案为：；；（2）由（1）可知：；（3）①由（2）可知：；，，，，；，，，；②设，，，，，，，，，，．2．（1）用4个长和宽均为a，b的长方形拼成如图1的大正方形，可用两种方法来表示图中阴影部分的面积，方法一：，方法二：，可得等式：．（2）若，求的值．（3）将两个正方形卡片以图2方式摆放，使A，M，B在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为52，求阴影部分的面积．【答案】（1），；（2）52；（3）24【知识点】已知字母的值，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作大正方形与4个长方形的面积差进行解答即可；（2）利用（1）的结论代入计算即可；（3）设，由题意可得，根据代入计算即可．本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作大正方形与4个长方形的面积差，即，所以有，故答案为：，；（2）∵，∴；（3）设，由题意可得，∴，3．如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且．(1)将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为．(2)如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式．(3)利用用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明【答案】(1)(2)(3)见解析【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．（1）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式；（2）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式；（3）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得．【详解】（1）解：方法一：这个大正方形的边长为，则这个大正方形的面积为；方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，所以这个大正方形的面积为；从而可以得到一个乘法公式为，故答案为：；（2）解：方法一：这个大正方形的边长为，则这个大正方形的面积为；方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和，所以这个大正方形的面积为；则所得到的等式为，故答案为：；（3）解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形，则图形的面积为，阴影部分的面积为，所以由图知．4．【阅读理解】题目：若，求的值．解：观察发现，与中的与互为相反数，所以我们不妨设，．，．，，．我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想．【理解应用】（1）若，则．（2）若满足，求和x的值．【拓展应用】（3）如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，求出正方形和正方形的面积和．【答案】（1）；（2）或；（3）【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值【分析】本题为整式的混合运算综合题，涉及比较多完全平方公式，熟悉掌运算法则是解题的关键．（1）设，，结合题意列式运算即可；（2）设，，结合题意列式运算即可；（3）利用面积公式列式运算即可．【详解】（1）解：设，，则，，∴，∴；（2）解：设，，设，，则，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴；∵，∴，∴，，即或，∴或；（3）解：，，，∴，，∵，∴，∴，设，，则，，∵，∴08：乘法公式变形求值问题．已知．求下列各式的值：(1)；(2)(3)【答案】(1)7(2)8(3)47【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用配方法对整式进行整理，解题的关键是熟练掌握配方法，并灵活应用．（1）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可；（2）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可；（3）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可．【详解】（1）解：，将代入上式得：原式；（2）解：，将代入上式得：原式；（3）解：，将代入上式得：原式．1．已知，．求的值．【答案】344【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式结构是解题的关键．根据完全平方公式把再减去，可得到，代入数据求解即可．【详解】解：，，．2．阅读理解：若满足．求的值．解：设，，则，，．解决问题：(1)若满足．求的值；(2)若满足，求的值．【答案】(1)15(2)【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，仿照题意利用完全平方公式求值是解题的关键．（1）仿照题意的方法即可求解；（2）设，，则有，，再利用公式，代入数据求出的值，即可求解．【详解】（1）解：设，，则，，．的值为15．（2）解：设，，则，，，，解得：，，的值为．3．【阅读理解】已知，求，的值．解：，，，又，，，，，．【学以致用】(1)若，求的值；(2)已知，求，的值．【答案】(1)(2)【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．（1）将变形为即可求出结果；（2）将变形为，得出，求出结果即可；【详解】（1）解：∵，，，解得：；（2）解：，，，，．4．阅读理解：已知，求的值．解：因为，所以，即．因为，所以．参考上述过程解答下列问题：(1)若．①________；②求的值；(2)已知，，求的值．【答案】(1)①；②；(2)【知识点】通过对完全平方公式变形求值【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键．（1）①根据材料提示，结合完全平方公式的变形计算即可；②根据完全平方公式的计算即可求解；（2）运用完全平方公式的变形计算即可．【详解】（1）解：①∵，∴，即，∵，∴；②∵，∴，由①可知，，∴原式；（2）∵，∴，即，∵，∴，∵，∴原式．09：完全平方式中求字母值．若是一个完全平方式，则．【答案】11或【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并灵活应用．利用完全平方公式进行求解即可．【详解】解：根据题意得，或解得或，故答案为：11或．1．如果是一个完全平方式，那么．【答案】6或【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，求答案即可.【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，解得：或.故答案为：6或．2．若是一个完全平方式，则．【答案】或16【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题考查了完全平方式，其特点是：两数的平方和，加上或减去这两个数的乘积的2倍；由题意知，已知两数的平方和，则，由此可求得m的值．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，即，解得：或；故答案为：或16．3．若是关于x的完全平方式，则．【答案】或/4或【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题主要考查了完全平方式，根据题意可得两平方项为，则一次项为，据此求解即可．【详解】解：∵是关于x的完全平方式，∴，∴，∴或，故答案为：或．4．如果关于的整式是完全平方式，那么．【答案】2或．【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方式等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案．【详解】解：∵∴解得或．故答案为：2或．10：整式乘法的实际应用题．图表示地铁在①站发车人数及②站、③站变化人数．(1)用的代数式表示②站的发车人数；(2)③站发车时，求地铁上最少人数．【答案】(1)(2)人【知识点】整式加减的应用、通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查了整式的加减，非负数的性质，解题的关键是掌握相关知识．（1）用①站发车人数减去②站下次的人数，即可求解；（2）②站的发车人数加③站的上车人数，并将其整理、配方，即可求解．【详解】（1）解：，②站的发车人数为人；（2），③站的发车人数最少有人．1．2024年底，国内社交媒体平台流出的视频中某飞机工业集团试飞了一款新型战斗机，独特的三发布局尤为瞩目．小明作为一名国防军事爱好者激动不已，在学校科技艺术节比赛，制作了飞机模型，并用板制作了如图所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图所示．(1)用含a、b的代数式表示板模型的总面积（结果需化简）；(2)若，，求板总面积．【答案】(1)(2)【知识点】计算单项式乘单项式、通过对完全平方公式变形求值、单项式乘多项式的应用【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，单项式乘以单项式的应用，正确列出板面积的代数式是解题的关键．（1）分别求出三角形和两个梯形的面积，再求和即可得到答案；（2）根据完全平方公式的变形求出的结果即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：∵，，∴，∴，∴板总面积为．2．【探索】（1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：；根据（1）的结论，若，，则的值是．【应用】（2）如图3，C是线段上的一点，以，边向上分别作等腰和等腰，点E在上，连接，若，，求的面积．【拓展】（3）如图4，某学校有一块梯形空地．于点E，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为109平方米，米，求种草区域的面积和．【答案】（1），12（2）的面积为14（3）种草区域的面积和为19【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．（1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可；（2）设，由题意得，，由代入计算即可；（3）设，由题意得，，，根据代入计算即可．【详解】解：（1）图1中4个小长方形的面积为，图②中4个小长方形的面积为，∴；∵，，根据题意得，，∴，∴；（2）∵等腰和等腰∴设，∴∵，，∴，由（1）得，∴∴∴的面积；（3）设，，由题意得，，∴，即，∴，即种草区域的面积和为19．3．【实践探究】

用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学活动课上，老师展示了如图①的长方形纸片，它是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：【知识生成】（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：______；方法2：______；观察图②直接写出代数式，，之间的等量关系是______；【拓展应用】（2）如图③，若“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为，哪种小麦的单位面积产量高?请说明理由．【答案】（1），，；（2）当时，两个小麦试验田的单位面积产量一样；当时，“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量比“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题主要考查完全平方公式与图形面积的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；（1）根据图②可直接进行求解；（2）由（1）及结合偶次幂的非负性可进行求解．【详解】解：（1）由图可得：方法1：；方法2：，∴；故答案为，，；（2）由题意得：，∵，∴，当且仅当时取等号；答：当时，两个小麦试验田的单位面积产量一样；当时，“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量比“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高．4．实践教学：某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大．数据采集：为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示．数据应用：(1)请分别计算这两个建筑物的占地面积；(2)若，则__________组同学的想法正确．（填“①”或“②”）【答案】(1)回字形福建土楼占地面积为，山西大院占地面积为(2)①【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积【分析】本题考查多项式乘法的实际应用，整式加减的应用：（1）用含a，b的式子表示出图形的长和宽，再利用多项式乘多项式求解；（2）结合：，计算这两个建筑物的占地面积之差，即可求解．【详解】（1）解：回字形福建土楼占地面积为：；山西大院占地面积为：；（2）解：这两个建筑物的占地面积之差，，，回字形福建土楼的占地面积更大，即①组同学的想法正确，故答案为：①．一、选择题（本大题共10小题）1．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【知识点】积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、同底数幂相乘【分析】根据完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减计算即可．【详解】解：，选项A计算正确，符合题意；，选项B计算错误，不符合题意；，选项C计算错误，不符合题意；，选项D计算错误，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减，熟练掌握公式是解题的关键．2．下列式子是完全平方式的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．根据定义逐项分析即可．【详解】解：A．，中间项不是首位积的2倍，故不是完全平方式；B．，是完全平方式；C．，无2个平方项，故不是完全平方式；D．，平方项的符号不一致，故不是完全平方式；故选B．3．若是完全平方式，则k应为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】根据，结合完全平方公式的定义，得，解答即可．本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．【详解】解：由，且是完全平方式，故．故选：C．4．若是完全平方式，则m的值是（

）A．7或 B． C．7 D．7或【答案】D【知识点】求完全平方式中的字母系数【分析】本题考查了完全平方公式的应用．完全平方公式：这里首末两项是和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和4积的2倍，据此求解即可．【详解】解：∵，∴在中，，解得：或．故选：D．5．已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的一次项，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值【分析】本题考查了多项式乘以多项式，先求出值，即可得出，求出即可．【详解】解：，∵展开式中不含的一次项，∴，∴，故选：B．6．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，给出下列三种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【知识点】平方差公式与几何图形【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用两种不同的方法分别表示出阴影部分的面积，逐一进行判断即可．【详解】解：对于①，阴影部分的面积：左边表示为，右边表示为∴，能够验证平方差公式；对于②，阴影部分的面积左边表示为：，右边表示为：∴，能够验证平方差公式；对于③，阴影部分的面积左边表示为：，右边表示为：∴，能够验证平方差公式；故选D．7．在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为，宽为，）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4．下列结论中，正确的有（）①；②；③；④．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，根据拼图得出，，，，再根据公式变形逐项进行判断即可．【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为，中间空缺的小正方形的边长为，根据题意可知，，，，∴，∴，由于，，而，∴，，∴，因此①②③正确，④不正确，故选：A．8．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，在正方形中，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若长方形纸片的面积与周长分别是和，则值的是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握长方形面积公式是解题的关键．根据长方形纸片的面积与周长求出和的值，设正方形的边长为，再根据面积求解即可．【详解】解：设正方形的边长为，由题意可得：解得：，∴，，∴，故选：B．9．观察下列几个算式：③；④，．．．．．．，结合你观察到的规律判断的计算结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】数字类规律探索、整式的混合运算【分析】本题主要考查了数字规律、整式的混合运算等知识点，找出计算规律是解题的关键．根据已知的几个算式发现规律，然后运用规律解答即可．【详解】解：；②；③；④，．．．则．故选B．10．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（

）①当时，；②当为关于x的三次三项式时，则；③当多项式M与N的乘积中不含项时，则；④；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、整式的混合运算、已知字母的值，求代数式的值、多项式的项、项数或次数【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，多项式乘多项式中不含某一项的问题．将代入代数式求出的值，判断①，根据多项式的和为三次三项式，得到的常数项为0，求出的值，确定②，计算多项式乘多项式后，项的系数为，求出的值判断③，根据恒等式对应项的系数相等，求出的值，判断④．掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．【详解】解：∵，∴当时，；故①正确；∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数，∴，∴；故②正确；∵，又多项式M与N的乘积中不含项，∴，∴；故③正确；∵，∴，∴，∴，∴；故④正确；综上：正确的个数为4个；故选D．二、填空题（本大题共10小题）11．计算：．【答案】【知识点】计算单项式乘单项式【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，据此进行计算即可．本题考查单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．12．小郑用6个长为，宽为的小长方形按如图方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，其面积分别表示为，且．当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则应满足的关系是．【答案】【知识点】单项式乘多项式的应用【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，整式的乘法无关类型，数形结合是解题的关键．设，求出，根据当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即可求得，的数量关系．【详解】解：设，∴∵当的长度变化时，的值始终保持不变，∴即，故答案为：．13．已知，，则的值是．【答案】4【知识点】多项式乘多项式——化简求值【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．把展开，再把和的值代入，即可得到结果．【详解】解：，，．故答案为：4．14．已知，则代数式的值为．【答案】17【知识点】多项式乘多项式——化简求值【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，根据恒等式得到对应项相同，求出的值，整体代入法求出代数式的值即可．【详解】解：，∴，∴；故答案为：17．15．要使的展开式中不含的一次项，则的值为．【答案】【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式法则展开，令x的一次项系数为0即可．【详解】解：∵的展开式中不含的一次项，∴，解得：故答案为：．16．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式的最大值为．【答案】32【知识点】多项式乘多项式与图形面积【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值．【详解】解：依题意有，当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，∴，当时，如图，阴影部分是边长为的正方形，∴，当时，该长方形为边长是8的正方形，边长是和的长方形的最大面积是64，∴的最大值为．故答案为：．17．如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接，若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为．【答案】18【知识点】平方差公式与几何图形【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则、，可得，再由阴影部分的面积为9，可得，然后整理即可解答．【详解】解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，则、，∴，∵阴影部分的面积为9，∴，即，∴，即大正方形的面积与小正方形的面积之差为18．故答案为18．18．某古书记载有一个狡猾的地主，把一块边长为的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把这块地的一边减少，另一边增加，变成长方形继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用学过的相关知识分析一下，马老汉租用的土地面积少了．【答案】100【知识点】平方差公式与几何图形【分析】本题考查了平方差公式与图形的面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．利用正方形土地的面积减去长方形土地的面积列出运算式子，再利用平方差公式计算即可得．【详解】解：由题意得：，即马老汉租用的土地面积少了，故答案为：100．19．如图，有一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形，分别将它们按照图①和图②的形式摆放．两个小正方形重叠部分的面积分别为．若，那么的值等于．

【答案】【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，根据题意准确写出图中阴影部分的边长，求出，再化简整理，把代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：由题意可得：，，∴，∵，∴原式，故答案为：．20．现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片，如图1，取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图2；则图2中阴影部分的边长为（用含有a，b的代数式表示）；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图3．则图3中阴影部分的面积为．（用含有a，b的代数式表示）；已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是．【答案】5【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、整式的混合运算、列代数式【分析】先根据正方形的性质得出图2和图3中阴影部分的面积，进而列出等量关系并化简整理，即可求解．【详解】解：根据题意，图3中阴影部分的面积为，图2中阴影部分为正方形，边长为，故图2中阴影部分面积为，∵图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，∴，，解得：，即小正方形卡片的面积是