专题03 特殊的平行四边形（期末复习专项训练）（原卷版）

专题03特殊的平行四边形题型01矩形性质理解题型21添一条件使四边形是菱形题型02利用矩形的性质求角度（常考点）题型22根据菱形的性质与判定求角度（重点）题型03根据矩形的性质求线段长（常考点）题型23根据菱形的性质与判定求线段长（重点）题型04根据矩形的性质求面积（常考点）题型24根据菱形的性质与判定求面积（重点）题型05利用矩形的性质证明（常考点）题型25正方形性质理解题型06求矩形在坐标系中的坐标题型26利用正方形的性质求角度（常考点）题型07矩形与折叠问题（难点）题型27根据正方形的性质求线段长（常考点）题型08矩形的判定定理理解题型28根据正方形的性质求面积（常考点）题型09证明四边形是矩形（常考点）题型29正方形折叠问题（难点）题型10添一条件使四边形是矩形（常考点）题型30求正方形重叠部分面积题型11根据矩形的性质与判定求角度（重点）题型31根据正方形的性质证明（常考点）题型12根据矩形的性质与判定求线段长（重点）题型32正方形的判定定理理解题型13根据矩形的性质与判定求面积（重点）题型33证明四边形是正方形（常考点）题型14求平行线间的距离题型34添一条件使四边形是正方形（常考点）题型15利用平行线间距离解决问题题型35根据正方形的性质与判定证明题型16利用菱形的性质求角度（常考点）题型36根据正方形的性质与判定求线段长（重点）题型17根据菱形的性质求线段长（常考点）题型37根据正方形的性质与判定求面积（重点）题型18根据菱形的性质求面积（常考点）题型38（特殊）平行四边形的动点问题（难点）题型19利用菱形的性质证明（常考点）题型39四边形中的线段最值问题（难点）题型20证明四边形是菱形（常考点）题型40四边形其他综合问题（难点）题型01矩形性质理解1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（

）A．对角线相等 B．对边相等C．对角相等 D．对角线互相平分2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列性质中矩形有而菱形没有的是（

）A．对角相等 B．对角线互相垂直C．对边平行且相等 D．对角线相等3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．对角相等 B．对角线相等C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直题型02利用矩形的性质求角度1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（2026·江苏泰州·一模）c如图，四边形是矩形．(1)用无刻度的直尺和圆规，在的上方确定一点E，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接，，，线段交于点M，判断的形状，并说明理由．3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）【定义】我们把有一组对角是直角的四边形叫做“美妙矩形”：连接它的两个非直角顶点的线段，叫做“美妙对角线”．如图（1），在四边形中，若，则四边形是“美妙矩形”，为“美妙对角线”．【理解】(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是“美妙矩形”的是_．(2)如图（2），在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在网格格点中找到一点D，使得四边形为“美妙矩形”；【应用】(3)若四边形为“美妙矩形”，，，，则_；(4)已知“美妙矩形”中，为“美妙对角线”，点O为的中点，．①如图（3），当四边形为菱形时，求“美妙矩形”的面积；②在①的条件下，将沿着射线方向平移到，当四边形为矩形时，_．题型03根据矩形的性质求线段长1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是______．2．（2026·江苏盐城·一模）问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点、、的对应点分别为点、、，设直线与直线交于点E．(1)猜想证明：猜想与的数量关系，并证明；(2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，求证：四边形是平行四边形；(3)问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，设直线与直线相交于点F，若，，当、、D三点在同一条直线上时，请直接写出的值．3．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，点、分别在、上，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若平分，，，则的长为_____．题型04根据矩形的性质求面积1．（2026·江苏苏州·一模）如图，在长方形电子广告屏中，．动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边以的速度向点运动，逐渐展开主体广告画面．当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3，则播放结束时电子屏幕未展开的面积是________．2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则矩形的面积为______．

3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)如图1，点在边上，在边上找一点，使得平分的周长；(2)如图2，中挖去了一个矩形，作一条直线平分剩下图形的面积．题型05利用矩形的性质证明1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，且，(1)求证：；(2)若，矩形的周长为22，求的长．2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形，是对角线．(1)尺规作图：作菱形，使顶点E、F分别在矩形的边上；（不写作法，保留作图痕迹）；(2)若，，求菱形边长．3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【探索发现】(1)如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，边与边相交于点，边与边相交于点，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，，，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．①请你猜想，，之间的数量关系是__________．②小新对图1的进一步研究中发现，延长与交于一点，通过证明也可推导出，，之间的数量关系，请你证明．【类比迁移】(2)如图2，在矩形中，对角线的中点是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明；【拓展应用】(3)如图3，在中，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点E,F,∠EOF可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度为__________．题型06求矩形在坐标系中的坐标1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点E的坐标为______．2．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点在直线上，直线、直线相交于点，且、．(1)求的值及直线的解析式；(2)在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．3．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位．(1)在图中画出将绕点O顺时针旋转得到的；(2)在图中画出关于原点O的中心对称图形；(3)已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，写出点D的坐标_．题型07矩形与折叠问题1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（

）A． B．4 C．5 D．2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．(1)求证：；(2)若，，求的长．3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，把一张矩形纸片折叠起来，使其对角顶点A、C重合，(1)连接，求证：四边形是菱形；(2)若为9，为3，求EF的长．题型08矩形的判定定理理解1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列命题中正确的是（

）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形或等腰梯形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．（2023·江苏无锡·模拟预测）下列命题中是假命题的是（

）A．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．对角线相等的菱形是正方形3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（

）A． B．C． D．题型09证明四边形是矩形1．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，是的中线，，且，连接，．(1)求证：；(2)当满足条件_时，四边形是矩形．2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，点是菱形的对角线和的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，．(1)求证：平行四边形是矩形．(2)若，且，求的长．题型10添一条件使四边形是矩形1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列条件中，不能判定为菱形的是（

）A． B． C． D．2．（2026·江苏扬州·一模）如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（

）A．① B．② C．③平分 D．④3．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型11根据矩形的性质与判定求角度1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（23-24八年级上·江苏扬州·月考）已知如图所示，，，于P，，则四边形的面积__________．

3．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组进行以下的探究操作；(1)如图1，矩形中，，，点P是边上的一个动点，将沿进行翻折到，当Q点折叠到上时，求和的长．(2)如图2，当矩形变成正方形，且正方形的边长为，在P点移动的过程中，当时，求的长．(3)当矩形变成正方形，且正方形的边长为10，请在备用图中探究并直接写出当为等腰三角形时线段AP的长．题型12根据矩形的性质与判定求线段长1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（

）A．5 B． C． D．2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点平分，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求的长．3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义∶有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”．【定义理解】(1)如图①，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数．【定义运用】(2)如图②，在五边形中，，对角线平分，求证∶四边形为等邻角四边形；【定义拓展】(3)如图③，在等邻角四边形中，．点P为边BC边上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N，在点P的运动过程中，的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，说明理由．题型13根据矩形的性质与判定求面积1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______．2．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____．3．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，，是的角平分线，是的外角的平分线，，垂足为．(1)求证：四边形是矩形．(2)连接，若，，求的长．(3)仅用无刻度的直尺画出将面积平分的射线．题型14求平行线间的距离1．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（

）A．4 B．5 C．6 D．102．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在正方形中，，是正方形的外角，是的平分线上任意一点，则的面积等于__________．3．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，，为、的平分线的交点，于，且，，则与之间的距离等于_______．题型15利用平行线间距离解决问题1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点E，F分别在，上，点G，H在上，若四边形为矩形，则的长的最小值为______．2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为________．3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在梯形上，，对角线，且．(1)求该梯形上下底的和；(2)求该梯形的面积．题型16利用菱形的性质求角度1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B均为格点（网格线的交点），我们把顶点落在格点上的四边形称为格点四边形．请在给定的网格中用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图①中画一个以为对角线的格点正方形；(2)在图②中画一个格点菱形，且四边形不是正方形；(3)在图③中画一个格点平行四边形，且面积为12．题型17根据菱形的性质求线段长1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2026米停下，则这个微型机器人所停的点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，菱形的边长是5，对角线的长是8，，垂足为E，则的长为（

）A．3 B．4 C．4.8 D．9.63．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点运动的路程为，的面积为，若与的函数图象如图2所示，则图中的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13题型18根据菱形的性质求面积1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为___________．3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形中，点E，F为对角线上两点，．(1)求证：四边形是菱形．(2)若正方形的面积为18，，求菱形的面积．题型19利用菱形的性质证明1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，，点、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点．(1)求证：；(2)平分吗？为什么？3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、．(1)求证：；(2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法）题型20证明四边形是菱形1．（22-23八年级下·福建宁德·期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（

）A．B．C． D．2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，在中，点是它的对称中心，过点分别作于M，于N，．(1)求证：是菱形；(2)请添加一个条件______，使是正方形．（写出所有正确答案的序号）①；②M是的中点；③；④．3．（2026·江苏南通·一模）利用图形的定义探索和证明几何图形的性质定理和判定定理是数学学习的重要方法，请完成菱形的其中一个判定定理的证明．求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（答题要求：根据题意画出图形，写出“已知”，“求证”，再进行证明）题型21添一条件使四边形是菱形1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（

）A． B．C． D．平分2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____时，四边形是菱形．3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在中，添加一个条件_____，使得四边形是菱形．题型22根据菱形的性质与判定求角度1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段．(1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长；(2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：；(3)如图3，若为等边三角形，，连接，K为线段上一点，且，M为线段上一点，连接，将绕点M顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为______．2．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成）(1)以为边画平行四边形；(2)在（1）中所画平行四边形的面积为________；(3)点E为边与网格线的交点，请在上确定一点G，使得．（保留作图痕迹）3．（2025·江苏常州·二模）如图，C为的中点，，，．(1)求证：；(2)线段与的关系是_．题型23根据菱形的性质与判定求线段长1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在矩形纸片中，．(1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，求出的长．(2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点的中点重合，求出的长．2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E．(1)求证∶四边形是菱形；(2)若，，求的长．3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接．设点的运动时间为．(1)当为何值时，四边形是矩形？(2)当为何值时，四边形是菱形？题型24根据菱形的性质与判定求面积1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____．2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求菱形的面积．3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）定义：有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．如图1，在四边形中，若，，则四边形是“准菱形”．(1)如图2，在正方形网格中（每个小正方形的边长为1），A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在图2中画出“准菱形”；（要求：D在格点上）；(2)如图3，在中，，以为一边向外作“准菱形”，且，，、交于点D．①若，求证：“准菱形”是菱形；②在①的条件下，连接，若，，，请直接写出四边形的面积．题型25正方形性质理解1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）将菱形、菱形和正方形按如图所示的位置摆放，与间的距离为．已知，则正方形的面积为（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中A区域图形具有而B区域图形不具有的性质是______（写出一个即可）．3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【概念生成】新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”．(1)在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是___________（填序号）．【基础探究】(2)如图1，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．①求证：四边形为“神奇四边形”；②若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长．【拓展延伸】(3)如图2，点，分别在正方形的边，上，将正方形沿直线翻折，使得点的对应点为，点的对应点为，的对应边恰好经过点，过点作于点．若，正方形的边长，请直接写出的长．题型26利用正方形的性质求角度1．（2026·江苏宿迁·一模）如图，四边形为正方形，在平面内找一点E，使为等边三角形，则的度数为________.2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形的内部，作等边三角形，则__________3．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，正方形边长为，正方形边长为（），点在边上，在延长线上，连接，与交于点，连接，．

(1)若，，则_______；(2)求的面积（用，的代数式表示）；(3)如图，点为中点，连接、、，若，，求的面积．题型27根据正方形的性质求线段长1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形的面积为4，的长是，则菱形的面积为（

）A．1 B． C．2 D．2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______．3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____．题型28根据正方形的性质求面积1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（

）A．1 B．2 C．4 D．82．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，将两个正方形按下列方式摆放，B，C，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则______________．3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．(1)请分别写出图1，图2阴影部分的面积能解释的乘法公式：图1：_．图2：_．(2)【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式之间的等量关系是_．(3)【知识迁移】当时，则的值为_．(4)【解决问题】如图4，C是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为20，求的面积(5)如图5，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，，，求图中阴影部分的面积．题型29正方形折叠问题1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，将正方形顶点A折叠至边上的点E，折痕为．若，，则的长是________．2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．(1)求证：；(2)若，，则的长是______．3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）小小的纸片，大大的世界．折纸是同学们十分喜爱的手工活动，通过灵巧的折叠，既能折出精巧别致的图案，又能在操作过程中感受蕴含其中的丰富数学知识．小亮和小慧将一张边长为4的正方形纸片进行如下折叠操作，请你一起阅读并解决相关问题．【活动】小亮：如图1，折叠正方形，使与重合，得到折痕后展开再折叠，使得点A落在的点H上，连接．小慧：如图2，在边上取点E（E不与A，B重合），连接，将沿翻折．【理解】(1)如图1操作，的周长是________．(2)如图2操作，点A的对应点恰好落到对角线上，则的周长是________；【感悟】(3)如图3，小慧继续将沿翻折，发现：、B、C三点能构成等腰三角形．请求此时线段的长；【延伸】(4)如图4，小慧又在边上取点F（F不与C、D重合），并将四边形沿翻折，使得点A的对应点恰好落在边上，记（为D的对应点）与的交点为G，连接，小亮和小慧探讨发现：线段与的长度之和，即存在最小值，请直接写出该最小值及此时线段的长．题型30求正方形重叠部分面积1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（

）A． B． C．4 D．92．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．无法确定3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料：小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分．小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决．(1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______；(2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）；(3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）．题型31根据正方形的性质证明1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，正方形中，对角线，相交于点，过点作射线，，分别交，于点（点不与重合），且，连接，给出下列结论，其中不一定成立的是（

）A．B．四边形的面积等于正方形面积的C．D．平分2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在四边形纸片中，，点E，F分别在边，上，将，分别沿，折叠，点B，D恰好都和点G重合，．(1)求证：四边形是正方形；(2)若正方形边长为3，，求的长度．3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，点E、F在对角线上，且．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，则四边形的面积为____________．题型32正方形的判定定理理解1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（

）A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形2．（24-25九年级下·江苏无锡·月考）下列命题中，是真命题的有（

）①对角线相等的四边形是矩形②对角线互相垂直平分的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四角相等的四边形是矩形A．①② B．②④ C．①③ D．③④3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，已知直线l和直线l外一点A．(1)请用尺规在图中作正方形，使得顶点B，D在直线l上（要求：保留作图痕迹，不需要写作法）(2)若点A到直线l的距离是，的平分线交边于点E，则的长为________．题型33证明四边形是正方形1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）综合探究(1)如图①，将线段平移至，连接，，判断四边形的形状并说明理由；(2)如图②，将线段绕点O（不在直线上）进行一次旋转得到，连接，，得到四边形．①若四边形为菱形，作出一个满足条件的点O及相应的四边形（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）②四边形的形状可以是______（填写所有正确选项的序号）．（a）矩形

（b）正方形

（c）等腰梯形2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是，的中点，E，F是的三等分点（点E靠近点B），G，H是的三等分点（点H靠近点D）．(1)如图（1），连接，，，．①求证：四边形是菱形；②当四边形是正方形时，菱形需要满足的条件是______．(2)如图（2），连接，，，．请从角、边和对角线三个角度描述四边形的性质．（要求：用文字描述．）3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）综合实践课上，同学们以“正方形”为主题开展数学活动．【活动一】如图1，先将一张正方形纸片对折，使得与重合，折痕为，展开后再将正方形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕交于点，(1)求的度数；(2)如图2，若正方形的边长为，点为线段上的一个动点，点为平面内任意一点，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．当取最小值时，此时该平行四边形的面积为_；【活动二】(3)如图3，、、、是四条互相平行的直线，且每两条平行线间的距离相等．请你用直尺和圆规作一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在这四条直线上．（保留作图痕迹）题型34添一条件使四边形是正方形1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（

）A．①填 B．②填C．③填 D．④填2．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，已知中是的中点，过点C作，且．(1)求证：四边形是矩形；(2)若F是上一点，且，则当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．题型35根据正方形的性质与判定证明1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形中，点是上一点，过点作交于点，连接，若，则的度数是________．（用含的代数式表示）2．（25-26九年级下·江苏南京·月考）如图1，在中，，，D，E分别为边和的中点，现将绕点A自由旋转，如图2，设直线与相交于点P，当时，线段的长为_________．3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）情境：如图2，在正方形内取一点，使，将点绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点．特例：在探究过程中遵循由特殊到一般的规律：如图1，发现点在对角线的中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为正方形．探究：(1)如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明；(2)如图3，取中点，连接、、，在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，已知，直接写出的长度．题型36根据正方形的性质与判定求求线段长1．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______．2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，以下结论正确的有（填序号）．____________①；②；③；④为定值．3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图，在中，用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线与的垂直平分线，它们相交于点D．（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）中，若，，且，则的长为_．（如需画草图，请使用备用图）题型37根据正方形的性质与判定求面积1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图四边形中，，，，，E为上一点，且，若，则的面积为（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则四边形的面积是（）A． B． C． D．3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图（1），已知矩形纸片的面积为，相邻两边长之比为，将四张同样大小的矩形纸片拼接成一个正方形，中间留有空隙正方形，如图（2）所示．(1)求图（1）矩形纸片相邻的两边长；(2)求图（2）正方形与正方形的面积．题型38（特殊）平行四边形的动点问题1．（2026·江苏淮安·一模）如图，正方形中，点E，F分别是边、上的动点，且，则的最小值为______．2．（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒．(1)当四边形是平行四边形时，求的值；(2)在