江苏省常州市2024－2025学年下学期七年级数学期末试卷（解析版）

常州市2024－2025学年第二学期七年级期末质量调研数学2025年6月注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器．2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂答题卡上的相关信息．3．作图题用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.下列与消防相关的图标中，是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．故选：C．2.如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】A【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意．故选：A．3.下列运算中正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查整式的乘法运算、乘法公式，根据运算法则和乘法公式逐一验证各选项的正确性即可．【详解】解：A：，故错误．B：，正确．C：，故错误．D：，故错误．故选B．4.如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（）A.点B B.点C C.点D D.点E【答案】C【解析】【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可．【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D，故选：C5.在《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：“五头牛和两只羊，价值十两金；两头牛和五只羊，价值八两金．一头牛、一只羊分别价值几两金？”若设一头牛价值两金，一只羊价值两金，则根据题意可列方程组为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设一头牛价值两金，一只羊价值两金．第一个条件“五头牛和两只羊价值十两金”对应方程；第二个条件“两头牛和五只羊价值八两金”对应方程．结合选项即可确定答案．【详解】解：设一头牛价值两金，一只羊价值两金，由题意得，，故选：A．6.若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为()A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】本题考查了举反例说明命题是假命题，要说明命题“如果|，那么”是假命题，找到满足但的例子．【详解】解：A：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例．B：，．计算得，，满足，但，符合反例要求．C：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例．D：，．计算得，，不满足，不符合条件．故选：B．7.将三角形纸片与量角器按如图所示方式放置，，，是的外角，则计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查了三角形内角和定理和邻补角的应用．先求出，根据三角形内角和得到，再根据邻补角即可求出答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：D．8.已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（）A.是偶数 B.是偶数C.是偶数 D.是奇数，是偶数【答案】B【解析】【分析】本题考查了同底数幂乘法．熟练掌握同底数幂乘法的法则，奇数偶数性质，是解题的关键．将等式右边统一为3的幂，结合完全平方数的性质确定指数为偶数，进而分析各选项的奇偶性，即得．【详解】∵，且左边为完全平方数，∴必为偶数．∵，且为偶数，∴也需为偶数．若为偶数，为偶数，则需为偶数；若为奇数，为奇数，则需为奇数．∴与奇偶性相同，∴必为偶数．A：如为奇数时，可能为奇数，错误；B：是偶数，正确；C：的奇偶性由决定，不一定为偶数；D：的奇偶性不确定，错误．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9.根据图示，写出关于的不等式的解集为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了图示不等式的解集．熟练掌握数轴表示不等式解集，是解题的关键．根据图示表示小于2，不包括2，写出解集即可．【详解】解：图示的不等式的解集为．故答案为：10.若，则□中的代数式为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查同底数幂运算的逆用，由题意，将问题转化为同底数幂的除法运算，由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案．熟记同底数幂的除法运算法则，将同底数幂的乘法运算转化为除法运算是解决问题的关键．【详解】解：由可得，，故答案为：．11.命题“如果或，那么”的逆命题是_________．【答案】如果，那么或【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．交换命题的题设和结论之后即可写出原命题的逆命题．【详解】解：命题“如果或，那么”的逆命题是：如果，那么或．故答案为：如果，那么或．12.水痘是冬春季常见的传染病，传播途径主要是呼吸道飞沫或直接接触传染，接触污染的用物也会间接传染．水痘－带状疱疹病毒，直径为．数据用科学记数法表示为_________．【答案】【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．【详解】解∶．故答案为∶13.在中，，，则_________．【答案】55【解析】【分析】本题考查直角三角形中求角度问题，涉及直角三角形两锐角互余等知识，根据题意得到，再由消去即可得到答案．熟记直角三角形两锐角互余是解决问题的关键．【详解】解：在中，，则，，，即，解得，故答案为：．14.如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则_________°．【答案】20【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据题意可知，垂直平分线段，再根据垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形外角的性质即可求出答案．【详解】解：根据题意可知，垂直平分线段，，，，，故答案为：20．15.据研究，初中生每天蛋白质推荐摄入量男生约为，女生约为．下表为部分食物每百克的蛋白质质量．食物大米牛乳牛肉蛋白质/若某天小强食用牛乳，大米与牛肉共，实现了蛋白质的摄入量，则这天他食用大米______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．【详解】解：设这天他食用大米，则食用牛肉，由题意得，，解得，∴这天他食用大米，故答案为：．16.自然数15的所有因数为1，3，5，15，这些因数具有关系；自然数8的所有因数为1，2，4，8，这些因数具有关系．像15，8这样的数叫作亏数．若亏数的所有因数为1，，5，（按从小到大排列），则的值为_________．【答案】10或15【解析】【分析】本题考查新定义，读懂题意，理解亏数概念，按题意要求，先确定，分类讨论求解即可得到答案．理解亏数概念是解决问题的关键．【详解】解：亏数的所有因数为1，，5，（按从小到大排列），，即可取，当时，；当时，；当时，，此时所有因数为，不符合题意，舍去；综上所述，的值为10或15，故答案为：10或15．三、解答题（本大题共9小题，共68分．第17，19，22，23，24题每题8分，第18，20，21题每题6分，第25题10分）17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本题主要考查了指数幂与负整指数幂的运算、多项式乘以多项式．根据指数幂与负整指数幂的运算法则，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可；根据多项式乘以多项式的法则可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．18.先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】本题考查了整式的化简求值，解题关键是掌握完全平方公式和平方差公式，本题直接利用公式求解即可．【详解】解：，；时，原式

．19.解方程组和不等式组：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组、解一元一次不等式组的方法步骤是解决问题的关键．（1）由代入消元法解二元一次方程组即可得到答案；（2）先解出不等式组中的每一个不等式，再由“同大取大、同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案．【小问1详解】解：由①得③，将③代入②得，解得；将代入③得；原方程组的解是；【小问2详解】解：，解不等式①得；解不等式②得；不等式组解集为．20.已知：如图，在五边形中，．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，同旁内角互补两直线平行，先根据多边形内角和定理求出内角和，进而求出，然后根据同旁内角互补两直线平行可得答案．【详解】证明：∵五边形的内角和等于，∴．∵，∴．∴．21.证明：连续五个自然数的平方和是5的倍数．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了整式混合运算，设其中一个自然数为n，然后表示出其他的自然数，根据条件列出整式，化简即可得出答案．【详解】证明：设五个自然数为，，，，（），则＝＝．∵是整数，∴是5的倍数．∴连续五个自然数的平方和是5的倍数．22.如图为由等边三角形组成的网格纸．（1）先画出关于直线m对称的，再画出关于直线n对称的；（2）在（1）的条件下，可以看做由绕顺时针旋转（）得到，则的值为．【答案】（1）见解析（2）点，120【解析】【分析】本题考查的是等边三角形的性质，画轴对称图形，旋转的性质；（1）分别根据对称轴确定图形中的对称点的位置，再顺次连接即可；（2）根据等边三角形的性质，结合旋转的性质可得答案．【小问1详解】解：画图如下．；【小问2详解】解：由等边三角形的性质可得：，在（1）的条件下，可以看做由绕点顺时针旋转（）得到，则的值为.23.如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元．（1）一辆小型车连续停车5小时，则停车费为元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为元；（2）现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？（3）若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是．【答案】（1）7，14（2）小型车2辆，大型车4辆（3）【解析】【分析】（1）根据停车收费标准，免费2小时，后面第1小时3元，以后每15分钟元（不满15分钟部分按15分钟计算，大型车双倍）计算即可；（2）设小型车辆，大型车辆，列方程组求解即可；（3）计算按元每15分钟的收费标准收费的时间，再加上免费停车时间和首次收费的1小时，根据24小时连续停放只收12元，即可求解．【小问1详解】解：由表可知，小型车首1小时是3元，超过则每15分钟元（大型车双倍），∵一辆小型车连续停车5小时，由于前120分钟免费，因此实际收费是后面2个小时，∴费用为（元），∵大型车是小型车的双倍，∴大型车费用为14元；故答案为：7；14．【小问2详解】设小型车辆，大型车辆，则解这个方程组，得，答：小型车2辆，大型车4辆．【小问3详解】，，且每个小时有4个15分钟，∴1小时收费以外的时间为小时（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），∵，∴，24小时连续停放只收12元，∴．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的应用，解题关键是理解题意，正确列出算式或方程求解．24.定义：若关于，的二元一次方程的一个解为，当时，则称为二元一次方程的“系相关解”．例如：是二元一次方程的“2系相关解”．（1）二元一次方程的“1系相关解”为；（2）下列二元一次方程存在“2系相关解”的是（填序号）；①；②；③．（3）为二元一次方程的“系相关解”，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）①，③（3）【解析】【分析】本题考查了二元一次方程解，解二元一次方程组，解一元一次不等式，新定义等知识，理解新定义是解题的关键；（1）设是二元一次方程的“1系相关解”，则可得二元一次方程组，解方程组即可；（2）设是二元一次方程的“2系相关解”，即，与每个方程组成二元一次方程组，求解即可判断；（3）由题意得，则；由，可求得m的取值范围；再由即可求得k的取值范围．【小问1详解】解：设是二元一次方程的“1系相关解”，则得，解得：，故；故答案为：；【小问2详解】解：设是二元一次方程的“2系相关解”，即；当时，，解得；当时，方程组无解；当时，，解得；综上，二元一次方程存在“2系相关解”的是①，③；故答案为：①，③；【小问3详解】解：由题意得，则．∵，∴．解得．∴．∴，即