2026年数学奥林匹克竞赛考点解析考试题及答案

2026年数学奥林匹克竞赛考点解析考试题及答案设正整数a,b满足1<a<b，且ab|a²+2026b+1，求所有满足条件的数对(a,b)。解：由ab|a²+2026b+1，可得a|2026b+1，b|a²+1。设a²+1=kb，其中k为正整数，代入a|2026b+1得a|2026·(a²+1)/k+1，整理得a|2026+k，因此存在正整数m使得k=ma2026，k>0故ma>2026。将k代入a²+1=kb得b=(a²+1)/(ma2026)，由b>a得(a²+1)/(ma2026)>a，整理得(m-1)a²2026a-1<0。当m=1时，不等式恒成立，此时k=a2026>0，故a>2026，代入得b=(a²+1)/(a2026)=a+2026+(2026²+1)/(a2026)，令d=a2026，d|2026²+1=4104677，经检验4104677是质数，因此d=1或d=4104677，对应得到数对(2027,4108730)和(4106703,4108730)。当m=2时，不等式化为a²2026a-1<0，得a<2027，又2a>2026故a>1013，即1014≤a≤2026。代入b得b=(a²+1)/(2a2026)，令t=a1013，1≤t≤1013，整理得2b=t+2026+(1013²+1)/t，因此t|1013²+1=2×5×102617，其正因数中仅t=1满足b为正整数，对应得到a=1014，b=51411。当m≥3时，(m-1)a²2026a-1≥2a²2026a-1，结合a>2026/m，可推出b<a，与b>a矛盾，无满足条件的解。综上，所有满足条件的数对为(1014,51411),(2027,4108730),(4106703,4108730)。凸四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD交于点P，已知AB·CD=2AP·BD，BC·AD=2BP·AC，证明：AC=√2BD。证明：设AP=m，PC=n，PB=p，PD=q，由相交弦定理得mn=pq。由△APB∽△DPC得AB/CD=m/q=p/n，故AB=(m/q)CD。代入第一个条件AB·CD=2mBD得CD²=2q(p+q)，又由余弦定理CD²=n²+q²-2nqcos∠APB，整理得：n²q²2mn=2nqcos∠APB--(1)同理，由BC/AD=n/q=p/m，代入第二个条件BC·AD=2BPAC得AD²=2p(m+n)，结合余弦定理AD²=m²+q²+2mqcos∠APB，整理得：m²+p²2p(m+n)=-2mpcos∠APB--(2)将(1)(2)消去cos∠APB，代入mn=pq化简得：(nm)(p+q)=2n(m+n)，(pn)(m+n)=2p(p+q)。两式相乘，约去非零项得(nm)(pn)=4np，将p=mn/q代入，展开整理得：+结合mn=pq，进一步整理得(m+n给定集合S={1,2,...,2026}，A是S的一个子集，满足对任意不同的a,b∈A，都不存在整数k≥2，使得a+kb=ab，求A的最大元素个数。解：将条件变形得ab−a−kb=0，整理得k=，因为k是正整数，且gcd(b,b−1当b=1时，问题转化为：在2,3,...,再加入1，不会产生冲突，因此得到大小为1013+不存在更大的子集，因为2,已知正实数a,