北京市石景山区2025 ~2026学年度高三下学期二模数学试题 含解析

石景山区2026年高三统一练习数学2026.5本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的几何意义即可求解.【详解】，复数对应的点为，位于第四象限.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，所以.3.已知函数是偶函数，则实数（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据偶函数定义求解.【详解】因为函数为偶函数，所以，所以，解得.4.已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】举出反例可判断BCD，根据不等式的基本性质，可判断A，进而得到答案．【详解】对于A，由，两式相加得，故A正确；对于B，令，满足，此时，，故B错误；对于C，令，满足，此时，，故C错误；对于D，令，满足，此时，，故D错误.5.设α，β是两个不同的平面，则的充要条件是（）A.存在无数条直线与α，β都平行B.存在无数个平面与α，β都垂直C.对任意的直线，都存在直线，使得D.对任意的直线，都存在直线，使得【答案】C【解析】【分析】借助于长方体模型逐一判断各选项即可.【详解】

如上图，作长方体，取平面，平面分别为平面.对于A，因，且，且，则，显然可作无数条与平行且不在平面的直线，即存在无数条直线与都平行，但不平行，故A错误；对于B，因平面与平面均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面，即存在无数个平面与都垂直，但不平行，故B错误；对于D，由上图，显然，且，在平面内作一条与垂直相交的直线，则，从而对平面内的任意直线，都有，即对任意的直线，都存在直线．使得，但不平行，故D错误；

对于C，假设为两相交平面，如上图取平面，平面分别为平面，则，对于任意的直线，（不妨设与相交）都存在直线，使得，因，则有，又因，则有，这与与相交矛盾，故假设不成立，故有，充分性成立；反过来，时，对于任意的直线，都可以过直线和平面内一点作一个平面，使，则必有，故必要性成立，故C正确.6.已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将存在个零点转化为函数与的图象有2个交点，先讨论与相切的情况，再将平移讨论的范围，数形结合即可求解.【详解】若存在2个零点，则有2个解，即有2个解，即函数与的图象有2个交点.当时，单调递减，值域为，当时，单调递增，值域为，先求与相切的情况：设切点为，因为，所以，所以，所以切点为，代入切线方程，得.当时，直线与相切于点，同时与有个交点，此时共2个交点；当时，直线与有个交点，与有个交点，共2个交点；当时，直线与无交点，与有个交点，共个交点；当时，直线与无交点，与无交点，共个交点；综上，存在2个零点时，的取值范围是.7.人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（）（参考数据：）A.49dB B.46dB C.26dB D.13dB【答案】A【解析】【分析】设原强度、新强度,代入分贝公式拆分对数，利用已知和计算,得结果.【详解】设原来的噪音强度为，对应的等级.改善后的噪音强度为，对应的等级为.根据公式，代入得：.计算：.将，代入：.8.若，则n的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理补项配凑求和的通项表达式【详解】由，解得.9.在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解.【详解】在中，由余弦定理得，而，则，两式联立解得，所以的面积为.10.在正方体中，E是棱的中点，S是正方形ABCD及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的轨迹是（）A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分【答案】B【解析】【分析】首先建立空间直角坐标系，进一步利用两点间的距离公式化简求出结果．【详解】根据正方体中，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则，由于，所以，整理得，即，所以，动点的轨迹为圆的一部分．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域是______．【答案】【解析】【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为.12.设向量与不共线，向量与共线，则______．【答案】##0.5【解析】【详解】向量与不共线，由向量与共线，得，所以.13.设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______．【答案】1（只要满足即可，答案不唯一）【解析】【分析】根据题意可知，只需比较直线的斜率与渐近线的斜率即可.【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为，若直线与双曲线C无公共点，只需.故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）.14.等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______．【答案】①.②.64【解析】【分析】由等比数列基本量求通项，利用数列单调性进行最大值计算求解【详解】设等比数列公比为q，则，即，即；因为，所以数列为递减数列且各项均为正，，，当时，；当时，且递减，所以当时取最大值为15.已知α，，且.给出下列四个结论：①有最小值；②无最大值；③有最小值；④无最大值．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②③④【解析】【分析】根据所给条件，令，可得，分别令，，转化为关于的式子，令换元后，再由函数单调性判断选项即可.【详解】因为，所以，因为，所以，设，由可得，解得，所以，，对①②，令，代入得：，令，则，则，函数在上单调递增，故无最值，故①错误②正确；令，代入可得，由可得，则，由函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，由于区间端点取不到，故无最大值，故③④正确.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在．（1）求的值；（2）求在区间上的最大值和最小值．条件①：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为；条件②：；条件③：函数在区间上具有单调性，且.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选择条件①或③，的值为（2）在区间上的最大值为，最小值【解析】【分析】（1）先化简函数，再根据所选条件确定的值，进而求出的值.（2）先求出的范围，再根据三角函数的性质求出给定区间上的最值.【小问1详解】选条件①：根据题意，解得，即，因为，所以，则，．选条件②：由，可得，因为正弦函数的值域为，而，所以此条件下函数不存在.选条件③：因为函数在单调，且，所以，解得，即，因为，所以，则，．【小问2详解】据题意，，，当，即时，，所以的最大值为．当，即时，，所以的最小值为.17.如图，在正三棱柱中，，M，N分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）设平面与平面的交线为l，求直线l与直线MN所成的角.【答案】（1）证明见解析（2）（3）.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理求证即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角余弦值即可；（3）利用向量法求线面角即可.【小问1详解】如图，取的中点G，连接NG，AG．由N，G分别为，的中点，得，且．又因为，且，所以，且．故四边形AMNG为平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】取AB中点O，中点H，连结CO，OH．在正三棱柱中，平面ABC，为等边三角形，则，，易得平面ABC.所以，.故AB，OC，OH两两互相垂直，不妨设，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，因此，，设平面的法向量为，则即令，则.于是.取BC中点Q，则易知为平面的一个法向量.平面的一个法向量.所以．由题意知二面角为钝角，所以其余弦值为．【小问3详解】因为，平面，平面，所以平面.因为平面平面，平面，所以.又因为.设直线l与直线MN所成角为α，，直线l与直线MN所成角为.18.2026年春节期间，模式口历史文化街区推出“骐骥献瑞”主题集章打卡活动.游客可以收集“龙马献瑞”，“马到成功”，“马效炎德”，“马奔财乡”，“奇骏延年”，“马行无疆”6个蕴含马年吉祥寓意的专属印章.为了解不同年龄段游客的打卡习惯，从参与活动的人群中随机抽取100名游客，统计他们集章情况如下表（同一题材重复集章只计1个）：组别集章1个集章2个集章3个集章4个集章5个集章6个各组总人数青年1人1人2人12人12人2人30人中年3人2人8人30人15人2人60人老年1人2人1人3人2人1人10人每个游客的打卡行为相互独立.（1）从上表的青年组中随机抽取1名游客，求该游客集章个数不少于4的概率；（2）从参与打卡活动的青年和中年游客中各随机抽取2人，用上表统计的频率估计概率，试估计这4人中“恰有2人集章4个、2人集章5个”的概率；（3）将青年、中年、老年组的组别分别编码为，0，1，用上表统计的频率估计概率，从集章个数为k（，2，3，4，5，6）的游客中随机抽取1人，记该游客的组别编码为，写出满足的k值的个数.（结论不要求证明）【答案】（1）（2）（3）2【解析】【分析】（1）利用古典概型求解即可；（2）根据频率估计的概率，结合互斥事件与独立事件的概率公式求解；（3）根据期望公式转化为老年人与青年人的人数多少问题求解即可,【小问1详解】表中青年组共有游客30名，其中集章个数不少于4的人数为，从中随机抽取1名游客，该游客集章个数不少于4的概率为．【小问2详解】根据题中数据，“青年游客集章4个”的概率可估计为；“青年游客集章5个”的概率可估计为；“中年游客集章4个”的概率可估计为；“中年游客集章5个”的概率可估计为．所以“恰有2人集章4个、2人集章5个”的概率可估计为：．【小问3详解】因为青年、中年、老年组的组别分别编码为，0，1，所以期望P（老人）P（青年），需满足P（老人）P（青年）（因分母为总人数，只需比较分子），对分别计算：当，青年1人，中年3人，老年1人，老年人数青年人数，；，青年1人，中年2人，老年2人，老年人数青年人数，；同理，当时，老年人数都小于青年人数，所以，综上，满足条件的值为，共2个.19.已知椭圆C：的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，，直线l平行于AB且与椭圆C交于不同的两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l使得A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】(1）根据离心率可得，再结合可得，即可得椭圆方程；(2）设直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理分别求线段的中点，结合等腰梯形的性质列式求解即可.【小问1详解】由已知可得，解得．故椭圆C的方程为．【小问2详解】据题意，假设存在平行于AB的直线l，设直线l的方程为，设，，联立，得，，即，，，因为以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形，所以，即成立，，，，，整理得．代入，得，即或，当时，，则，又因为，解得．当时，直线l方程为与直线AB重合，不符合题意，舍去；当时，直线l方程为所得四边形为平行四边形，不符合题意，舍去；所以不存在平行于AB的直线l交椭圆于M，N两点，使得以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形．20.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）令．（ⅰ）当时，讨论函数在上的单调性；（ⅱ）若在内存在唯一的极大值点，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）（ⅰ）单调递增；（ⅱ）【解析】【分析】(1)求导后计算切点坐标和切线斜率即可求解(2)(i)二次求导判断导数的最小值，进而判断原函数的单调性(ii)与分类讨论，通过二次求导来证明极值点存在【20题详解】根据题意，，，，，，所以所求切线方程为.【21题详解】（ⅰ）时，，，设，则，当时，，，所以；当时，，，所以.所以在单调递减，在单调递增.所以当时，，所以在上单调递增.（ⅱ）由已知，，，①当时，，所以在上单调递增，不合题意.②当时，设，则，当时，，，所以；当时，，，所以.所以在单调递减，在单调递增.因为，当，；当，，所以存在，，使．当x变化时，，情况如下：x＋0－0＋↗

↘

↗所以在上存在唯一的极大值点，符合题意.综上所述，21.设递增数列中的每一项都是正整数，其前n项和为．对于正整数k，若存在正整数j，使得，则称覆盖了，记的“覆盖阶数”为．定义的“覆盖滞后度”为．规定．（1）若，，，，求和的值；（2）若数列是首项为1，公差为2的等差数列，判断是否存在正整数k，使得？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由；（3）设前k项的“覆盖滞后度”，，…，的最大值为M，求证：对任意的，存在，使得．【答案】（