第一章 §1.3 等式性质与不等式性质（原卷版）

第第页第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.3等式性质与不等式性质【高考考向预测】近三年高考中等式与不等式性质考查频次适中，多融入小题运算、大小比较、范围推导之中，侧重考查作差作商比较法、不等式四则变形及同向异向运算规则，极少单独大题命题；预测2027年高考仍将延续基础性渗透考查模式，重点侧重利用性质比较代数式大小、求解代数式取值范围，愈发注重与函数、数列结合灵活设问，强化严谨推理与取值边界判断，立足基础规则，侧重逻辑推导能力考查。【双基自测●明考向】1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关系中的一种.(√)(2)若ba>1，则b>a.(×(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(×)(4)若1a>1b，则b<a.(×2.下列四个命题中，为真命题的是()A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，c>d，则a-c>b-dC.若a>|b|，则a2>b2D.若a>b，则1a>3.设M=2a2+5a+4，N=(a+1)(a+3)，则M与N的大小关系为()A.M>N B.M=NC.M<N D.无法确定4.已知实数a∈(1，3)，b∈18，14，则a1.熟练应用两个倒数性质(1)a<0<b⇒1a<1(2)ab>0，a>b⇒1a<12.牢记四个常用不等式若a>b>0，m>0，则：(1)ba<b(2)ba>b−ma−(3)ab>a(4)ab<a−mb−【核心梳理●明考点】1.两个实数比较大小的方法作差法a−b>0⇔a>b,a2.等式的性质性质1对称性：如果a=b，那么b=a；性质2传递性：如果a=b，b=c，那么a=c；性质3可加(减)性：如果a=b，那么a±c=b±c；性质4可乘性：如果a=b，那么ac=bc；性质5可除性：如果a=b，c≠0，那么ac=b3.不等式的性质性质1对称性：a>b⇔b<a；性质2传递性：a>b，b>c⇒a>c；性质3可加性：a>b⇔a+c>b+c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒a+c>b+d；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2).【题型突破●明方向】题型一数(式)的大小比较例1(1)(多选)下列不等式中正确的是()A.x2-2x>-3B.a3+b3≥a2b+ab2C.a2+b2>2(a-b-1)D.ab<a+2026b+2026((2)已知M=e2024+1e2025+1，N=e2025+1e【跟踪训练】1(1)已知c>1，且x=c+1-c，y=c-c−1，则x，A.x>yB.x=yC.x<yD.x，y的大小关系随c的值而定(2)(多选)(2025·平顶山模拟)若a>b>0，则下列不等式一定成立的是()A.ba<b+1a+1 B.a+1C.a+ab>b+ba D.2题型二不等式的基本性质例2(1)(多选)如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是()A.a+d<b+c B.ac>bdC.ac2>bc2 D.da<(2)(多选)已知a，b∈R，则下列结论正确的是()A.若a>b，且1a>1b，则B.若a>b，且a≠-b，则ba−C.若a<b<0，则ab<-a-bD.若a<b<0，则ab>【跟踪训练】2(1)(多选)(2025·温州模拟)已知a，b，c∈R，下列选项中是“a>b”的充分条件的是()A.a+c>b+c B.1b>1C.ac2>bc2 D.a(2)(多选)(2026·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是()A.a2>abB.aa+1C.a+b+ln(ab)>2D.a-1a>b-题型三不等式性质的综合应用例3(1)(多选)已知-1<a<5，-3<b<1，则下列结论正确的是()A.-15<ab<5 B.-4<a+b<6C.-2<a-b<8 D.-53<a(2)购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则策略购物比较经济.

【跟踪训练】3(1)(2026·汕头模拟)已知a，b∈R，且满足1≤a+b≤3,−1≤(2)(2025·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为am2，绿化面积为bm2(0<b<a)，现对该公园再扩建2xm2，其中绿化面积为xm2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比()A.变大 B.变小C.不变 D.不确定【限时训练】（30分钟）一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知P=a2+3a+3，Q=a+1，则P与Q的大小关系为()A.P<Q B.P=QC.P>Q D.P≤Q2.(2026·聊城模拟)“a+b<-2，且ab>1”是“a<-1，且b<-1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是()A.若a>b>0，则ac2>bc2B.若a>b>0，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a<b<0，则1a<4.已知-3<a<-2，3<b<4，则a2A.(1，3) B.4C.23，34 D.12，15.A，B，C，D四名同学的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，A.B>C>A>D B.B>C>D>AC.C>B>A>D D.C>B>D>A6.已知实数a，b，c满足a+b+c=0且a>b>c，则下列选项错误的是()A.bc>acB.a2>c2C.2ac-2bc<a2-b2D.(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知c>b>a，则下列结论正确的是()A.c+b>2a B.1c−C.bc−b>ac−8.(2025·洛阳模拟)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤ab≤A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2026·九江模拟)已知a=2，b=7-3，c=6-2，则a，b，c的大小关系为.(用“>”连接)

10.若a，b同时满足下列两个条件：①a+b>ab；②1a+b请写出一组a，b的值：.

四、解答题(共28分)11.(13分)证明下列不等式：(1)已知a>b>1，d<c<-2.求证：(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0；(6分)(2)已知a>b>0，c<d<0，e<0.求证：ea−c12.(15分)(1)已知-1<x<4，2<y<3，求x-y的取值范围；(6分)(2)已知-1≤x+y≤2，0≤2x-y≤3，求5x+2y的取值范围.(9分)[每小题5分，共10分]13.(2025·莆田模拟)a克不饱和糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为ba，这个质量比决定了