MATLAB数学建模与仿真（第2版·微课视频版）课件第8章 MATLAB在高等数学中的应用

8.1极限8.2导数及其应用8.3不定积分8.4定积分8.5二重积分8.6无穷级数8.7方程值的求解方法8.8常微分方程的求解第8章MATLAB在高等数学应用8.1.1数列的极限极限的定义极限的几何解释极限的唯一性收敛数列的有界性收敛数列的保号性收敛数列与其子数列间的关系设数列有界，又，则。8.1极限8.1.2函数的极限自变量趋于有限数时函数的极限函数f(x)当x→a时极限为A的几何解释自变量趋于无穷大时函数的极限函数f(x)当x→∞时的极限为A的几何解释8.1极限8.1.2函数的极限（续上）函数极限的唯一性函数极限的局部有界性函数极限的局部保号性函数极限与数列极限的关系8.1极限8.1.3函数的极限计算的重要结论1.若limf(x)=A,limg(x)=B则2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小。3.4.

8.1极限8.1.3函数的极限计算的重要结论5.6.若函数f(x)在x=a处连续，则。7.等价无穷小替换8.洛必达法则8.1极限8.1.4有关函数极限计算的MATLAB命令在MATLAB中计算极限的函数limit()，用法如下：limit(F,x,a)，执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限。limit(F,x,a,’left’)，执行后返回函数F在符号变量x趋于a的左极限。limit(F,x,a,’right’)，执行后返回函数F在符号变量x趋于a的右极限。8.1极限8.2.1函数导数定义及性质1.函数f(x)在x=a处的导数定义：2.导数的几何意义：若函数f(x)在x=a处可导，则函数图形在x=a处切线存在，且f’(a)是该切线的斜率。8.2导数及其应用8.2.1函数导数定义及性质3.导数的应用：若函数f(x)在定义域内一阶二阶可导，则在定义域内下面结论等价。8.2导数及其应用（1）（2）如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且

（3）若在点x可导，且y=f(u)在相应的点可导，则复合函数在点x处可导，且8.2.2函数导数计算的重要结论8.2导数及其应用8.2.3有关函数导数计算的MATLAB命令diff(F,x)，表示表达式F对符号变量x求一阶导数diff(F,x,n)，表示表达式F对符号变量x求n阶导数。8.2导数及其应用在MATLAB中函数fminbnd()和函数fminsearch()求函数极值问题x=fminbnd(fun,x1,x2)返回一个值x，该值是fun中描述的标量值函数在区间x1<x<x2中的局部最小值。x=fminsearch(fun,x0)在点x0处开始并尝试求fun中描述的函数的局部最小值x。8.2.4极值问题8.2导数及其应用8.3.1不定积分定义和性质1.在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记作

。2.基本积分表。3.分部积分。在MATLAB中函数int()用于计算不定积分，用法如下：int(f,v)%求函数f关于变量v的不定积分。8.3不定积分8.3.2有关计算函数不定积分的MATLAB命令在MATLAB中函数int()用于计算不定积分，用法如下：int(f)%求函数f关于默认变量的不定积分；int(f,v)%求函数f关于变量v的不定积分。8.3不定积分8.4.1不定积分定义和性质定积分定义定积分的几何意义定积分的计算方法8.4定积分8.4.2有关计算函数定积分的MATLAB命令在MATLAB中函数int()用于计算不定积分，用法如下：int(f,a,b)，求函数f关于默认变量从a到b的定积分；int(f,v,a,b)，求函数f关于变量v从a到b的定积分。8.4定积分8.4.3数值积分及软件实现当被积函数很难求出它的原函数或根本无法用初等函数表示它的原函数时，数值积分法就是最常用的计算定积分近似值的方法。其中包括矩形数值积分公式，梯形数值积分方式，抛物线形数值积分公式（也称辛甫生积分公式），近似函数法等。在MATLAB中求数值积分的函数包括integral()、trapz()、taylor()。8.4定积分二重积分的计算在科学计算中起着重要的作用，关于矩形区域上的二重积分的计算一般可化重积分为累次积分，然后借助定积分已有的数值积分计算公式。但是往往我们建模得到的二重积分的积分区域都不是矩形区域，对于一般的非矩形区域的二重积分，直接用MATLAB是无法计算的。又当被积函数比较复杂，无法用初等函数表示或求其原函数很困难时，就只能求积分的数值解。8.5二重积分8.6.1常数项级数的概念给定一个无穷数列，表达式称为（常数项）无穷级数，记为，其中n项称为级数的一般项或通项。8.6无穷级数8.6.2常数项级数的收敛性判别方法1.等比级数2.p-级数3.如果，则级数发散。4.正项级数的判别：比较收敛法、比值审敛法8.6无穷级数8.6.3用MATLAB实现级数求和MATLAB级数求和命令：symsum(s,k)：k为求和变量,求出k由0到k-1的级数有限项的和。symsum(f,k,a,b)等价于symsum(f,k,[ab])：函数f，变量k，求出k由a到b的级数有限项的和。8.6无穷级数8.6.4幂级数1．幂级数定义2．函数展开成幂级数3．初等函数展成幂级数4.在MATLAB中，利用函数taylor()完成泰勒展开8.6无穷级数编写程序求方程的近似解，可分两步来做：第一步是确定根的大致范围。先较精确地画出y=f(x)的图形，然后从图上定出它与x轴交点的大概位置。第二步是以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似解。常用的方法有二分法和切线法。8.7方程数值的求解方法8.8.1基本概念1.一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程。2.如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。8.8常微分方程的求解8.8.2常微分方程的解法可分离变量的微分方程齐次方程一阶线性微分方程贝努力方程全微分方程可将阶的高阶微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程8.8常微分方程的求解8.8.3MATLAB求解微分方程的命令

在MATLAB中，利用函数dsolve()解微