26.1 二次函数的概念 教学课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

26.1二次函数的概念1．理解并掌握二次函数的概念和一般形式．2．会利用二次函数的概念解决问题（重点）．3．能根据实际问题列二次函数解析式（难点）．1．什么叫函数?一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．3．一元二次方程的一般形式是什么？一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数叫作一次函数．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，是正比例函数．2．什么是一次函数？正比例函数呢？ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．问题1

正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为_______．此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数．

y＝6x2

问题2n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？分析：每个球队要与其他______个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为__________．答：此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数．n－1问题3某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？分析：这种产品的年产量是20件，一年后的产量是_________件，再经过一年的产量是__________件，即两年后的产量y＝__________．答：y＝20x2＋40x＋20．此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数．20(1＋x)20(1＋x)220(1＋x)2思考：函数y＝6x2，m＝n2－

n，

y＝20x2＋40x＋20有什么共同点？y＝6x2自变量函数函数解析式yymxxn分析：认真观察以上三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数．这些函数有什么共同点？这些函数自变量的最高次项都是二次！温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式．（2）a，b，c为常数，且a≠0．（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项．（4）x的取值范围是任意实数．一般地，形如y＝ax²＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．例1下列函数中，哪些是二次函数？方法总结二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式是整式．（2）化简后自变量的最高次数是2．（3）二次项系数不为0．

例2若y＝(m－2)xm²－2＋4是二次函数，求m的值和函数解析式．∴m＝－2，

y＝－4x2＋4．

二次项系数不为0自变量的最高次数是2方法总结要确定二次函数中待定字母的值，需根据二次函数自变量的最高次数是2,二次项系数不为0,列出关于所求字母的方程或不等式(组),解方程或不等式(组),即可确定字母的值.【例3】(1)一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式.解：(1)圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S=2πr²+2πr·r,即S=4πr².【例3】(2)一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x.写出两年后产品的年销售量y(单位：万件)关于x的函数解析式.解：(2)一年后产品的年销售量为8(1-x)万件，两年后的年销售量为8(1－x)(1－x)万件，所以y=8(1－x)²,即y=8x²－16x+8.方法总结列二次函数解析式的一般步骤（1）审：找出已知量和未知量，分析它们之间的关系；（2）找：找到两个未知量之间的关系，用等式表示；（3）列：根据等量关系列出函数解析式，注意自变量的取值范围.解析：当x＝2时，y＝22＋3×2－5＝4＋6－5＝10－5＝5．1．已知二次函数y＝x2＋3x－5，当x＝2时，y＝_____．

52．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y＝

．

解析：∵一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴二月份研发资金为a×(1＋x)，∴三月份的研发资金y＝a×(1＋x)×(1＋x)＝a(1＋x)2．a(1＋x)23．正方形的边长为5cm，若正方形的边长增加xcm时，其面积增加ycm2．（1）写出y与x的函数关系式；（2）当正方形的边长分别增加2cm，3cm时，正方形的面积分别增加多少？解：（1）y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x．（2）当x＝2时，y＝22＋10×2＝24；当x＝3时，y＝32＋10×3＝39．所以当正方形的边长分别增加2cm，3cm时，正方形的面积分别增加24cm2，39cm2．4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元．（1）求y与x之间的函数关系式；解：（1）设篮球售价为x元，则销量减少了10(x－50)个．根据题意，得10(x－50)＜500，即x＜100．所以y＝[500－10(x－50)](x－40)＝－10x2＋1400x－40000（50＜x＜100）．4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元．（2）超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，则这种篮球的售价应定为多少元？解：

（2）当y＝8000时，

即－10x2＋1400x－40000＝8000，解方程，得x＝60或80．结合题意要吸引更