《有理数的乘法》初中数学六年级上册教学设计

《有理数的乘法》初中数学六年级上册教学设计

一、前端分析与设计理念

（一）课标要求与内容定位

本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域“数与运算”主题。课标明确指出，学生应“掌握有理数的乘法运算，理解运算的算理；能够感悟运算的一致性，发展运算能力和推理能力”。有理数的乘法是继有理数的加法和减法之后，有理数运算体系的又一次核心扩充。它不仅是对小学阶段非负数乘法的自然延伸，更是构建完整有理数运算体系、通向代数思维的关键桥梁。其算理中蕴含的“负负得正”规则，是学生数学认知发展中的一个重要节点，对发展学生的抽象思维、符号意识、归纳推理能力以及数学建模能力具有奠基性作用。

（二）教材分析（基于鲁教版五四制）

在本套教材体系中，有理数的乘法被安排在六年级上册，处于有理数运算学习的中间环节。教材通常采用“实际问题情境引入—探究规律归纳法则—例题讲解巩固—运算律拓展”的编排逻辑。五四制六年级的学生相当于传统六三学制的初中一年级学生，正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。教材内容注重从学生已有的正数乘法经验出发，借助数轴、生活实例等直观载体，通过观察、比较、归纳等一系列数学活动，引导学生自主发现有理数乘法的运算法则，特别是符号法则。本节内容的学习质量直接关系到后续有理数的除法、乘方乃至整个代数式的运算学习。

（三）学情分析

认知基础：学生已经熟练掌握了非负数（正数和0）的乘法运算，理解了乘法的意义（如“求几个相同加数的和”）。初步认识了有理数，掌握了用数轴表示有理数，并学习了有理数的加法和减法及其运算法则，具备了初步的分类讨论思想和符号意识。

认知障碍与发展空间：

1.从“运算对象”的扩充带来的认知冲突：小学的乘法运算对象都是非负数，结果也非负。引入负数后，乘法运算的结果符号成为全新的、与学生已有经验相悖的认知点，尤其是“负数乘以负数得正数”这一规则，学生理解其合理性存在困难。

2.从“运算意义”的拓展带来的理解挑战：在有理数范围内，乘法“相同加数求和”的原始定义对于“负数乘正数”尚可解释（如(-3)×2可理解为2个(-3)相加），但对于“正数乘负数”和“负数乘负数”则难以直观理解。需要引导学生从“运算的延续性与一致性”、“模型现实情境”等更高观点来理解运算的意义。

3.符号处理与算理分离的困难：学生容易机械记忆“同号得正，异号得负，再把绝对值相乘”的口诀，而忽略对算理本质的探究，导致在复杂运算或解决实际问题时出现混淆。

教学对策：基于以上分析，本设计将不满足于法则的记忆与应用，而是致力于引导学生经历法则的“再发现”过程。通过创设富有启发性的、连贯的问题情境链，搭建从直观到抽象、从特殊到一般的认知阶梯，让学生在主动探究中感悟符号确定的内在逻辑与合理性，实现算理与算法的统一，从而达成深度学习。

（四）设计理念与特色

1.大单元视角，强调整体建构：将有理数的乘法置于整个有理数运算乃至实数运算的宏观体系下审视，强调运算的一致性与通性通法，为后续学习铺垫。

2.跨学科情境，促进意义理解：引入物理学中的运动（速度与时间）、经济学中的收支变化等情境，使抽象的数学规则具象化，帮助学生建立数学模型，理解运算的现实意义。

3.探究式学习，发展核心素养：以“问题驱动”贯穿始终，设计层层递进的探究活动，让学生像数学家一样去观察、猜想、验证、归纳，着重培养数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养。

4.技术深度融合，化解认知难点：运用动态几何软件（如GeoGebra）或交互式动画，动态演示数轴上点的运动与乘法算式的对应关系，使“符号法则”可视化、动态化，直观揭示“负负得正”的几何意义。

二、教学目标

依据课程标准、教材内容和学情分析，制定以下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则，能准确、熟练地进行有理数的乘法运算。

2.理解有理数乘法法则的推导过程，特别是符号规则的合理性。

3.了解互为倒数的概念，并会求一个有理数的倒数（0除外）。

（二）过程与方法

1.经历从实际问题抽象出数学问题，并通过观察、比较、归纳形成有理数乘法法则的过程，体会从特殊到一般、数形结合、分类讨论的数学思想方法。

2.通过探索有理数乘法法则的几何解释（数轴模型），发展几何直观和空间想象能力。

3.在运用法则解决实际问题和数学问题的过程中，发展运算能力和分析问题、解决问题的能力。

（三）情感态度与价值观

1.在探究活动中体验数学知识的产生和发展过程，感受数学的严谨性与逻辑美，激发求知欲和学习兴趣。

2.通过克服对“负负得正”的理解困难，培养勇于探索、坚持不懈的科学精神。

3.认识到有理数乘法与现实世界的广泛联系，体会数学的应用价值。

三、教学重点与难点

1.教学重点：有理数乘法法则的理解与运用。

2.教学难点：有理数乘法法则的生成过程，特别是“负数乘负数得正数”这一规则的算理理解。

四、教学策略与准备

1.教学方法：情境创设法、探究发现法、问题驱动法、讲练结合法、讨论法。

2.教学手段：多媒体课件（含关键动画演示）、GeoGebra动态数学软件、实物投影、导学案。

3.课时安排：2课时（第一课时：法则探究与形成；第二课时：法则应用、运算律及倒数）。

五、教学过程设计（第一课时：法则的探究与生成）

第一环节：创设情境，孕伏问题（预计时间：8分钟）

教师活动1：温故知新，激活经验

1.快速回顾：计算3×4=?

，0×5=?

。提问：这些算式的意义是什么？（求几个相同加数的和）

2.情境迁移：如果我们把“存入”记为正，“取出”记为负；把“明天”记为正，“昨天”记为负。那么“每天存入100元，存了3天”可用(+100)×(+3)=+300

表示。这个模型能否帮助我们思考新的问题？

教师活动2：呈现核心情境，引发认知冲突

展示动画或连环画情境：

情境一（速度-时间模型）：一辆玩具小车在一条东西向的笔直轨道上做匀速直线运动。我们规定向东为正方向，现在时刻为0时。

问题1：如果小车以每秒2个单位长度的速度向东（正方向）行驶，那么3秒后它在什么位置？（引导列出算式：(+2)×(+3)=+6

，表示在原点东侧6个单位）

问题2：如果小车仍以每秒2个单位长度的速度向东行驶，那么3秒前它在什么位置？（引导学生理解“3秒前”即“-3秒后”，尝试列出算式：(+2)×(-3)=?

位置在西侧6个单位，即-6

）

问题3：如果小车以每秒2个单位长度的速度向西（负方向）行驶，那么3秒后它在什么位置？（引导列出算式：(-2)×(+3)=?

位置在西侧6个单位，即-6

）

关键问题：如果小车以每秒2个单位长度的速度向西行驶，那么3秒前它在什么位置？请先猜想，再用算式表示。（(-2)×(-3)=?

）

学生活动：观察动画，思考问题，尝试回答。对于前三个问题，学生能较顺利地从实际意义得到结果。对于关键问题，学生可能会产生多种猜想（-6？+6？），认知冲突自然形成。

设计意图：通过赋予时间、速度以正负意义，构建一个连贯的、富有逻辑的问题链。将抽象的乘法运算与直观的、可操作的“运动与位置”模型相结合，为探究所有类型的有理数乘法提供了统一的、意义丰富的现实原型。关键问题直指本课难点，激发学生的探究欲望。

第二环节：合作探究，构建法则（预计时间：22分钟）

探究活动一：归纳“正负”与“负正”相乘的规律

1.特例探究：教师引导学生将情境中的四个算式及结果并列展示：

1.2.(+2)×(+3)=+6

2.3.(+2)×(-3)=-6

3.4.(-2)×(+3)=-6

4.5.(-2)×(-3)=?

提问：观察前三个算式，因数与积的符号和绝对值之间有什么关系？

6.小组讨论：学生以4人小组为单位进行讨论。教师巡视指导，引导学生关注两个维度：①积的符号如何由因数的符号决定？②积的绝对值与因数的绝对值有何关系？

7.初步归纳（符号法则）：各小组汇报发现。教师引导总结：

1.8.正数乘正数，积为正（同号得正）；

2.9.正数乘负数，积为负（异号得负）；

3.10.负数乘正数，积为负（异号得负）。

4.11.绝对值关系：积的绝对值等于两个因数绝对值的积。

12.形成猜想：根据发现的规律，请猜想(-2)×(-3)

的结果。大多数学生会依据“同号得正”的线索，猜想到结果应为+6

。教师追问：这个猜想合理吗？能否用我们的小车模型来解释？

探究活动二：几何直观验证“负负得正”

1.动态演示：教师利用GeoGebra软件，重现“小车以每秒2个单位速度向西（-2）行驶”的动态过程。在时间轴上，将“3秒后”（+3）和“3秒前”（-3）的位置用不同颜色标记。

1.2.演示(-2)×(+3)

：小车从原点出发向西行，3秒后到达-6点。

2.3.关键演示(-2)×(-3)

：逆向思考。“3秒前”的位置，可以理解为：如果小车现在在原点，那么它要经过怎样的运动才能在3秒后到达原点？动画逆向播放或逻辑分析显示，小车在3秒前必须从东侧的某个点出发向西行驶。计算可知，这个点必须是+6点。因为从+6点出发，以每秒2单位向西行，3秒后刚好到达0点。

4.模型解释：引导学生用语言描述：(-2)×(-3)=+6

可以解释为：以向西（负方向）的速度运动，回溯到过去（负时间）的位置，实际上是在出发点的东侧（正方向）。

5.规律完善：将第四条规律补充完整：负数乘负数，积为正（同号得正）。

探究活动三：抽象概括，形成法则

1.推广一般化：提问：将例子中的数字2和3换成任意有理数a和b（a≠0,b≠0），我们的发现还成立吗？鼓励学生再举几组例子进行验证（如(+5)×(-4)

,(-1.5)×(+2)

,(-0.5)×(-2)

等）。

2.归纳完整法则：师生共同用精炼的数学语言总结有理数乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘，积仍为0。

3.理解升华：教师强调，法则的核心是两步：一定符号，二算绝对值。并指出，这个法则确保了有理数乘法运算的封闭性、一致性和简洁性。

设计意图：本环节是突破难点的核心。通过“观察特例—发现模式—提出猜想—验证解释（几何模型）—概括法则”的完整探究路径，让学生亲历知识的形成过程。动态几何演示将抽象的“负负得正”转化为可视的几何事实，极大地增强了理解的直观性和可信度，有效化解了认知障碍。小组合作促进了思维碰撞。

第三环节：例题精析，掌握算法（预计时间：8分钟）

例1：基础运算，规范步骤

计算：

(1)(-3)×9

(2)8×(-1)

(3)(-2/3)×(-3/4)

教师示范(1)：

解：(-3)×9

∵两数异号（-3为负，9为正），

∴积为负。

又∵|-3|=3

，|9|=9

，3×9=27

，

∴(-3)×9=-27

。

学生板演(2)(3)：要求严格按照“判号、算绝对值、得结果”的步骤书写，强调过程的规范性。对于(3)，复习分数乘法运算。

例2：理解意义，活用法则

用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化约为-6°C。攀登3km后，气温有什么变化？

引导分析：将“每登高1km变化-6°C”看作单位变化，“攀登3km”即为变化3次。算式：(-6)×3=-18(°C)

。结果-18°C表示气温下降了18°C。

设计意图：通过例题，将探究得到的法则转化为可操作的计算程序。例1注重格式规范，巩固算法；例2回归实际意义，加深对乘法意义的理解，体现数学的应用性。

第四环节：变式练习，巩固内化（预计时间：5分钟）

课堂练习（导学案）：

1.口答（判断符号）：

(-7)×4

;5×(-8)

;(-9)×(-6)

;0×(-5.2)

;(-1.2)×(-5)

。

2.计算：

(1)(-6)×0.25

(2)(-2/5)×(+5/8)

(3)(+2.8)×(-10)

(4)(-100)×(-0.001)

3.思考：a×b

的积是正数，那么a和b的符号可能是什么情况？积是负数呢？

处理方式：学生独立完成，教师巡视，收集典型错误（如符号错误、绝对值计算错误）。通过投影展示正误对比，组织学生互评纠错。思考题为下节课引入倒数做铺垫。

设计意图：阶梯式练习设计，从符号判断到完整计算，从整数到小数、分数，逐步提高要求，巩固当堂所学。及时反馈与纠错，确保基础知识的落实。

第五环节：课堂小结，反思提升（预计时间：2分钟）

教师引导学生从以下方面总结：

1.知识：今天我们学习了什么运算？它的法则是什么？（学生复述）

2.方法：我们是怎样得到这个法则的？（从实际问题出发，观察归纳，用数轴模型验证）

3.思想：在这个过程中用了哪些数学思想？（分类讨论、数形结合、从特殊到一般）

4.疑问：你还有什么不明白的地方？关于有理数的乘法，你还想研究什么？（如：多个有理数相乘的符号怎么定？乘法有没有像加法那样的交换律、结合律？）

设计意图：引导学生从多维度进行课堂反思，将零散的知识点系统化，将探究经验方法化，实现认知结构的优化。以问题结尾，为下一课时埋下伏笔。

六、教学过程设计（第二课时：法则的应用、运算律与倒数）

第一环节：复习导入，衔接旧知（预计时间：5分钟）

1.法则速记：师生齐声复述有理数乘法法则。

2.计算热身：快速计算：

1.3.(-1)×5=

;(-1)×(-5)=

;

2.4.2×(-1)=

;(-2)×(-1)=

。

引导学生观察与-1

相乘的结果特点：一个数乘以-1

，得到它的相反数。

5.问题引入：上节课最后有同学提出，多个有理数相乘，符号如何确定？乘法的运算律还成立吗？今天我们就来深入探讨这些问题。

第二环节：深化探究，拓展延伸（预计时间：25分钟）

探究活动一：多个有理数相乘的积的符号法则

1.问题串驱动：

1.2.计算：2×3×4=?

（正，易得）

2.3.计算：(-2)×3×4=?

（先算前两个得-6，再乘4得-24；负）

3.4.计算：(-2)×(-3)×4=?

（先算前两个得+6，再乘4得+24；正）

4.5.计算：(-2)×(-3)×(-4)=?

（……得-24；负）

5.6.猜想：(-2)×(-3)×(-4)×(-5)

的积的符号？（正）

7.归纳规律：观察以上算式，积的符号与式子中负因数的个数有什么关系？组织学生讨论。

8.抽象概括：师生共同总结：

几个不是0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

积的绝对值等于各个因数绝对值的积。

几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。

9.例题示范：

计算：(-3)×5/6×(-1又4/5)×(-1/4)

解：①确定符号：负因数有3个（奇数个），积为负。

②计算绝对值：3×5/6×9/5×1/4=(3×5×9×1)/(6×5×4)=135/120=9/8

。

③∴原式=-9/8

。

强调：带分数需化为假分数；可先确定符号，将绝对值部分约分计算。

探究活动二：有理数的乘法运算律

1.回顾猜想：在小学，我们学过乘法的交换律、结合律和分配律。在有理数范围内，这些运算律还成立吗？

2.举例验证：学生分组，每组选择一条运算律，用不同的有理数（包括正数、负数）举例验证。

1.3.交换律：a×b=b×a

。例：(-5)×3=3×(-5)=-15

。

2.4.结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

。例：[(-2)×3]×(-4)=(-6)×(-4)=24

;(-2)×[3×(-4)]=(-2)×(-12)=24

。

3.5.分配律：a×(b+c)=a×b+a×c

。例：(-3)×[4+(-5)]=(-3)×(-1)=3

;(-3)×4+(-3)×(-5)=-12+15=3

。

6.得出结论：有理数乘法同样满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律。这些运算律可以简化运算。

7.典例应用：

计算：(-85)×(-25)×(-4)

。

引导：观察发现(-25)

与(-4)

相乘可得100

。运用结合律：[(-25)×(-4)]=100

，原式=(-85)×100=-8500

。

探究活动三：倒数的概念

1.观察发现：计算下列各式：

2×(1/2)=?

;(-3)×(-1/3)=?

;(-1/5)×(-5)=?

;1×5=?

;(-1)×(-1)=?

。

提问：这些算式有什么共同特点？（乘积都是1）

2.定义生成：给出互为倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数。即如果a×b=1

，那么a是b的倒数，b也是a的倒数。

3.深入理解：

1.4.强调：0没有倒数（因为任何数乘以0都得0，不可能为1）。

2.5.求一个数（0除外）的倒数，就是求1

除以这个数所得的商。对于分数，将其分子分母颠倒位置即得其倒数（带分数先化假分数）。

3.6.负数的倒数也是负数。例：-2

的倒数是-1/2

。

7.快速练习：说出下列各数的倒数：5

,-1/7

,-0.2

,1

,-1

。

设计意图：本课时是在掌握基本法则基础上的自然深化和系统化。通过问题链引导学生自主发现多个数相乘的符号规律；通过“猜想-验证”的方式确认运算律的延续性，培养理性精神；从一组特殊乘积中抽象出倒数概念，完善有理数的乘法知识结构。三个探究活动逻辑连贯，层层递进。

第三环节：综合应用，能力提升（预计时间：12分钟）

例3：运算律的灵活运用

用简便方法计算：

(1)(-8)×(-12)×(-0.125)×(-1/3)×(-0.1)

(2)(5/12-7/9-2/3)×36

分析与解答：

(1)引导学生先确定符号（5个负因数，奇数个，积为负）。再将绝对值部分易约分或凑整的数结合：原式=-[8×0.125×12×(1/3)×0.1]=-[(8×0.125)×(12×1/3)×0.1]=-[1×4×0.1]=-0.4

。

(2)直接按顺序计算括号内分数通分较繁，引导学生观察数字特征，运用分配律：原式=5/12×36-7/9×36-2/3×36=15-28-24=-37

。

例4：实际应用与建模

某食品加工厂冷库的室温是-4°C。现有一批食品需要在-28°C下冷藏，如果冷库的制冷设备每小时能使室温下降2°C，那么需要多少小时才能达到所需的低温？

引导分析：

1.建立模型：将室温变化过程抽象为数学问题。初始温度：-4°C，目标温度：-28°C，每小时变化量：-2°C/小时。设需要x小时。

2.寻找等量关系：初始温度+温度变化总量=目标温度。

即：(-4)+(-2)×x=-28

。

3.转化问题：这本质上是一个方程，但现阶段可用算术思路。温度总共需要下降：(-28)-(-4)=-24°C

。

（注意：这里用到了有理数减法，可复习“减去一个数等于加上它的相反数”，-28-(-4)=-28+4=-24

）。

需要的时间=总下降温度÷每小时下降温度=(-24)÷(-2)

。

这是下一节要学的除法，但可以用乘法逆运算（倒数）或实际意义理解：负数除以负数得正数，需要12小时。

也可从乘法角度思考：(-2)×?=-24

，因(-2)×12=-24

，所以需要12小时。

设计意图：例3旨在训练学生综合运用符号法则和运算律进行简便计算的能力，提升运算素养。例4是一个综合性较强的实际问题，涉及负数的理解、减法运算和乘法意义的应用，并自然渗透了方程思想和除法运算，起到了承上启下的作用，培养学生数学建模和解决实际问题的能力。

第四环节：课堂总结，体系构建（预计时间：3分钟）

引导学生以思维导图或知识结构图的形式，总结两节课所学关于有理数乘法的全部内容。核心节点包括：

1.法则（基本法则、多个数相乘法则）

2.运算律（交换、结合、分配）

3.倒数（定义、求法）

4.思想方法（模型思想、分类讨论、数形结合等）

5.应用（计算、实际问题）

设计意图：通过构建知识网络，将零散的知识点系统化、结构化，促进学生形成良好的认知图式，提升元认知能力。

七、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在探究活动中的参与度、发言质量、合作意识。

2.3.问答反馈：通过提问检查学生对算理的理解程度。

3.4.练习反馈：通过课堂练习的完成情况与板演，及时评价学生对算法的掌握程度。

4.5.导学案：检查学生的探究过程记录和课后反思。

6.终结性评价（作业设计）：

设计分层作业，满足不同学生的学习需求。

A层（基础巩固，全体必做）：

(1)教材课后练习题（覆盖所有基本类型）。

(2)填空：一个数的倒数是它本身，这个数是____；一个数的相反数是它本身，这个数是____；一个数的绝对值是它本身，这个数是____。

B层（能力提升，大部分学生选做）：

(1)计算：(-1)×2×(-3)×4×…×(-19)×