裂项相消题目及答案简单

裂项相消题目及答案简单考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：__________

试标题是:“裂项相消题目及答案简单”

一、选择题

1.下列哪个表达式可以通过裂项相消法简化计算？

A.$\frac{1}{n(n+1)}$

B.$\frac{1}{n^2}$

C.$\frac{1}{n(n-1)}$

D.$\frac{1}{n+1}$

2.计算$\sum_{n=1}^{10}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$的结果是？

A.1

B.$\frac{1}{11}$

C.$\frac{10}{11}$

D.$\frac{1}{10}$

3.下列哪个表达式不能通过裂项相消法简化计算？

A.$\frac{1}{a(a+b)}$

B.$\frac{1}{a^2-b^2}$

C.$\frac{1}{a(a-b)}$

D.$\frac{1}{a+b}$

4.计算$\sum_{n=1}^{5}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$的结果是？

A.1

B.$\frac{5}{6}$

C.$\frac{1}{6}$

D.$\frac{1}{12}$

5.下列哪个表达式可以通过裂项相消法简化计算？

A.$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

B.$\frac{1}{n^2+1}$

C.$\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

D.$\frac{1}{n+1}$

6.计算$\sum_{n=1}^{8}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$的结果是？

A.1

B.$\frac{1}{9}$

C.$\frac{8}{9}$

D.$\frac{1}{8}$

7.下列哪个表达式不能通过裂项相消法简化计算？

A.$\frac{1}{a(a+1)}$

B.$\frac{1}{a^2-1}$

C.$\frac{1}{a(a-1)}$

D.$\frac{1}{a-1}$

8.计算$\sum_{n=1}^{6}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$的结果是？

A.1

B.$\frac{3}{4}$

C.$\frac{1}{4}$

D.$\frac{1}{12}$

9.下列哪个表达式可以通过裂项相消法简化计算？

A.$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

B.$\frac{1}{n^2+n}$

C.$\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

D.$\frac{1}{n+2}$

10.计算$\sum_{n=1}^{7}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$的结果是？

A.1

B.$\frac{1}{8}$

C.$\frac{7}{8}$

D.$\frac{1}{7}$

二、填空题

1.将$\frac{1}{n(n+1)}$裂项为________和________的和。

2.计算$\sum_{n=1}^{5}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$的结果是________。

3.将$\frac{1}{a(a+b)}$裂项为________和________的差。

4.计算$\sum_{n=1}^{4}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$的结果是________。

5.将$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$裂项为________、________和________的和。

6.计算$\sum_{n=1}^{9}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$的结果是________。

7.将$\frac{1}{a(a-1)}$裂项为________和________的和。

8.计算$\sum_{n=1}^{3}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$的结果是________。

9.将$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$裂项为________、________和________的和。

10.计算$\sum_{n=1}^{10}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$的结果是________。

三、多选题

1.下列哪些表达式可以通过裂项相消法简化计算？

A.$\frac{1}{n(n+1)}$

B.$\frac{1}{n^2}$

C.$\frac{1}{n(n-1)}$

D.$\frac{1}{n+1}$

2.下列哪些表达式可以通过裂项相消法简化计算？

A.$\frac{1}{a(a+b)}$

B.$\frac{1}{a^2-b^2}$

C.$\frac{1}{a(a-b)}$

D.$\frac{1}{a+b}$

3.下列哪些表达式可以通过裂项相消法简化计算？

A.$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

B.$\frac{1}{n^2+1}$

C.$\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

D.$\frac{1}{n+1}$

4.下列哪些表达式可以通过裂项相消法简化计算？

A.$\frac{1}{a(a+1)}$

B.$\frac{1}{a^2-1}$

C.$\frac{1}{a(a-1)}$

D.$\frac{1}{a-1}$

5.下列哪些表达式可以通过裂项相消法简化计算？

A.$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

B.$\frac{1}{n^2+n}$

C.$\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

D.$\frac{1}{n+2}$

四、判断题

1.裂项相消法可以将所有形式的分式求和都简化计算。

2.$\frac{1}{n(n+1)}$可以通过裂项相消法简化计算。

3.$\frac{1}{n^2}$可以通过裂项相消法简化计算。

4.$\sum_{n=1}^{5}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$的结果是$\frac{1}{6}$。

5.$\frac{1}{a(a+b)}$可以通过裂项相消法简化计算。

6.$\sum_{n=1}^{4}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$的结果是1。

7.$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$可以通过裂项相消法简化计算。

8.$\sum_{n=1}^{9}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$的结果是1。

9.$\frac{1}{a(a-1)}$可以通过裂项相消法简化计算。

10.$\sum_{n=1}^{3}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$的结果是$\frac{5}{6}$。

五、问答题

1.请简述裂项相消法的原理。

2.请将$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$裂项为三个分式的和。

3.请计算$\sum_{n=1}^{6}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$的结果。

试卷答案

一、选择题

1.A.$\frac{1}{n(n+1)}$解析：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，可以通过裂项相消法简化计算。

2.C.$\frac{10}{11}$解析：$\sum_{n=1}^{10}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\ldots+(\frac{1}{10}-\frac{1}{11})=1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}$。

3.B.$\frac{1}{n^2}$解析：$\frac{1}{n^2}$无法通过裂项相消法简化计算。

4.B.$\frac{5}{6}$解析：$\sum_{n=1}^{5}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3})+(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4})+\ldots+(\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7})=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{6\cdot7}=\frac{5}{6}$。

5.A.$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$解析：$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$可以通过裂项相消法简化计算。

6.C.$\frac{8}{9}$解析：$\sum_{n=1}^{8}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\ldots+(\frac{1}{8}-\frac{1}{9})=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$。

7.D.$\frac{1}{a-1}$解析：$\frac{1}{a-1}$无法通过裂项相消法简化计算。

8.B.$\frac{3}{4}$解析：$\sum_{n=1}^{6}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3})+(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4})+\ldots+(\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8})=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{7\cdot8}=\frac{3}{4}$。

9.A.$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$解析：$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$可以通过裂项相消法简化计算。

10.B.$\frac{1}{8}$解析：$\sum_{n=1}^{7}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\ldots+(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})=1-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$。

二、填空题

1.$\frac{1}{n}$，$-\frac{1}{n+1}$解析：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。

2.1解析：$\sum_{n=1}^{5}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})=1-\frac{1}{6}=1$。

3.$\frac{1}{a}$，$-\frac{1}{a+b}$解析：$\frac{1}{a(a+b)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}$。

4.$\frac{5}{6}$解析：$\sum_{n=1}^{4}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3})+(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4})+(\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5})+(\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6})=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{5\cdot6}=\frac{5}{6}$。

5.$\frac{1}{2n(n+1)}$，$-\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$，$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$解析：$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$。

6.1解析：$\sum_{n=1}^{9}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\ldots+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})=1-\frac{1}{10}=1$。

7.$\frac{1}{a-1}$，$-\frac{1}{a}$解析：$\frac{1}{a(a-1)}=\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a}$。

8.$\frac{5}{6}$解析：$\sum_{n=1}^{3}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3})+(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4})+(\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5})=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{4\cdot5}=\frac{5}{6}$。

9.$\frac{1}{2n(n+1)}$，$-\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$，$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$解析：$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$。

10.1解析：$\sum_{n=1}^{10}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\ldots+(\frac{1}{10}-\frac{1}{11})=1-\frac{1}{11}=1$。

三、多选题

1.A.$\frac{1}{n(n+1)}$，C.$\frac{1}{n(n-1)}$解析：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，都可以通过裂项相消法简化计算。

2.A.$\frac{1}{a(a+b)}$，C.$\frac{1}{a(a-b)}$解析：$\frac{1}{a(a+b)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}$，$\frac{1}{a(a-b)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a-b}$，都可以通过裂项相消法简化计算。

3.A.$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$，C.$\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$解析：$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$，$\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，都可以通过裂项相消法简化计算。

4.A.$\frac{1}{a(a+1)}$，C.$\frac{1}{a(a-1)}$解析：$\frac{1}{a(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$，$\frac{1}{a(a-1)}=\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a}$，都可以通过裂项相消法简化计算。

5.A.$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$，C.$\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$解析：$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$，$\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，都可以通过裂项相消法简化计算。

四、判断题

1.错误解析：并非所有形式的分式求和都可以通过裂项相消法简化计算，例如$\frac{1}{n^2}$。

2.正确解析：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，可以通过裂项相消法简化计算。

3.错误解析：$\frac{1}{n^2}$无法通过裂项相消法简化计算。

4.正确解析：$\sum_{n=1}^{5}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。

5.正确解析：$\frac{1}{a(a+b)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}$，可以通过裂项相消法简化计算。

6.正确解析：$\sum_{n=1}^{4}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3})+(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4})+(\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5})+(\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6})=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{5\cdot6}=\frac{5}{6}$。

7.正确解析：$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$，可以通过裂项相消法简化计算。

8.正确解析：$\sum_{n=1}^{9}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\ldots+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})=1-\frac{1}{10}=1$。

9.正确解析：$\frac{1}{a(a-1)}=\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a}$，可以通过裂项相消法简化计算。

10.正确解析：$\sum_{n=1}^{3}\left(\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3})+(\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4})+(\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5})=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{4\cdot