上海市南汇中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页上海市南汇中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知为虚数单位，则__________．2．函数的最小正周期是_____________.3．已知点、，若点满足，则点的坐标为__________．4．已知两点，则向量的单位向量的坐标为__________．5．设，且为奇函数，则__________.6．已知均为非零向量，且，则向量与的夹角为____________．7．若直线x=π6是函数的一条对称轴，则__________．8．函数，的值域是___________．9．已知非零向量，，满足，．若为在上的投影向量，则向量，夹角的大小为______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________．11．已知函数．若存在，使得，则的最大值为__________．12．已知函数，、、为三个不同的平面向量，且．若，则的取值范围是__________．二、单选题13．设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．15．已知，，则下列结论中正确的是（

）A．函数的最小正周期为2πB．函数的最大值为1C．将fx的图象向左平移单位后得的图象D．将fx的图象向左平移单位后得的图象16．如图所示，O为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用a,b表示，其结果为（

）A． B． C． D．三、解答题17．已知为实数，向量，．(1)若，求的值；(2)若a⊥b，求18．已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位．(1)求复数；(2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．19．某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成，已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形；喷泉观景区的形状为△CDP．要求端点、均在直径上，端点、均在圆弧上．设．

(1)试用分别表示矩形和△CDP的面积；(2)若在矩形两侧线段、的位置架起两座观景桥，已知建造荷花池的总费用为10万元，建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元．问：当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．20．如图，在中，为线段上一点（包含端点），且．(1)若，求、的值；(2)若，，，且与的夹角为，求的值；(3)若，，，且与的夹角为90°，求的取值范围．21．设向量，函数，则称函数为向量n的友好函数，称向量n为函数的友好向量．(1)设，且函数的友好向量为，求的单调增区间；(2)设，函数的友好向量为，且的最小正周期为，若在上恰有5个零点，求实数的取值范围；(3)如果函数的定义域为，若对于任意，，，，，分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”．现已知，且函数的友好向量为，记，当定义域为时，为“三角形函数”，求实数的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《上海市南汇中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷》参考答案题号13141516答案BADD1．2．3．4．5．/0.56．/7．8．9．10．11．12．17【详解】（1）由题意可得，化简得，解得，或.（2）由题意可得，解得k=1，故，因此，故.18．【详解】（1）设复数，由是实数知b+1=0，即，所以．又因为是纯虚数，则为纯虚数，即且，所以，所以．（2）由（1）知，则，所以，，因为向量与的夹角为钝角，所以，且与不共线，即，且解得且.19．【详解】（1）由题可得，则；如图连接与交于E，因为此圆弧中点，由圆弧对称性，可得，，从而，；（2）由（1）及题设可得：建造该景区总费用为：，.令，则.又，则.从而，因在(]上单调递减，则，则建造该景区总费用最低费用为（万元），此时.

20．【详解】（1）若，则，整理得，即，又，所以；（2）若，则，整理得，即，所以，因为，，且夹角为，所以，代入得；（3）因为与的夹角为，以O为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则，A4,0，，所以，由，得，所以，则，，所以，因为为线段AB上一点，所以，当时，取得最小值−5，当或时，取得最大值，所以的取值范围为.21．【详解】（1）由题意得，且函数的友好向量为，则，令−π2+2k可得的单调增区间为−π6（2）由题意得函数的友好向量为，则，而的最小正周期为，得到，解得，则，令2x+π3解得x=kπ2当时，得到，当时，得到，当时，得到，当时，得到，当时，得到，当时，得到，而在上恰有5个零点，可得.（3）由题意得，且函数的友好向量为，可得，而，得到h