公倍数和最小公倍数-练习题

公倍数和最小公倍数-练习题公倍数与最小公倍数是数论中的基础概念，在分数运算、日程安排、周期问题等诸多领域都有着广泛的应用。掌握它们的性质和求解方法，对于提升数学思维和解决实际问题至关重要。本文将通过一系列精心设计的练习题，帮助你巩固对公倍数和最小公倍数的理解与应用能力。一、概念回顾与要点提示在开始练习之前，我们先简要回顾一下核心概念和要点，这将帮助我们更顺利地解题：1.公倍数：如果一个整数同时是几个整数的倍数，那么这个整数就叫做这几个整数的公倍数。例如，12是2和3的公倍数，因为12能被2整除，也能被3整除。2.最小公倍数：在几个整数的所有公倍数中，最小的那个正整数，叫做这几个整数的最小公倍数，通常用符号[a,b]表示a和b的最小公倍数。例如，[2,3]=6。3.求解最小公倍数的常用方法：*列举法：分别列出各数的倍数，找出它们共有的倍数，其中最小的就是最小公倍数。*分解质因数法：将每个数分解成质因数的乘积，最小公倍数等于它们所有质因数的最高次幂的乘积。*短除法：用这几个数的公有质因数连续去除，直到所得的商互质为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。4.重要性质：*如果两个数是互质数（即它们的最大公因数是1），那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。*如果一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。二、练习题（一）基础巩固1.求出下列每组数的最小公倍数：*（1）6和8*（2）9和12*（3）5和7*（4）14和212.判断下列说法是否正确，并简述理由：*（1）两个数的公倍数一定比这两个数都大。*（2）两个数的最小公倍数是它们所有公倍数的因数。（二）知识应用3.有两根彩带，一根长24分米，另一根长36分米。现在要把它们剪成同样长的小段，且没有剩余，每小段彩带最长可以是多少分米？一共可以剪成多少段？（提示：此题虽以“最长”设问，实则先求最大公因数，但后续可思考如果是问“可能的长度”，则与公倍数有关。此处主要为对比理解）4.某公共汽车站有两路公交车。A路车每6分钟发一班车，B路车每8分钟发一班车。两路车在早上8:00同时发车后，下一次同时发车是在什么时候？5.小明、小红和小刚定期去图书馆。小明每4天去一次，小红每6天去一次，小刚每8天去一次。如果他们三人在7月1日同时去了图书馆，那么下一次三人同时去图书馆是几月几日？6.一个数，除以3余2，除以4也余2，这个数最小是多少？（三）拓展提升7.有一筐苹果，无论是平均分给6个人，还是平均分给8个人，都正好余2个。这筐苹果至少有多少个？8.某校组织学生参加社会实践活动，若每5人一组，则多3人；若每7人一组，则也多3人。参加社会实践活动的学生至少有多少人？9.两个数的最大公因数是4，最小公倍数是24。已知其中一个数是8，另一个数是多少？10.思考：如何求三个数的最小公倍数？例如求4、6和8的最小公倍数。三、参考答案与解析（一）基础巩固1.（1）[6,8]=24。解析：6的倍数有6,12,18,24,...；8的倍数有8,16,24,...，公有最小倍数为24。（2）[9,12]=36。解析：9=3²，12=2²×3，最小公倍数为2²×3²=36。（3）[5,7]=35。解析：5和7互质，最小公倍数为5×7=35。（4）[14,21]=42。解析：14=2×7，21=3×7，最小公倍数为2×3×7=42。2.（1）错误。解析：如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大的那个数，并不比其中一个数（较大数）大。例如，[3,6]=6。（2）正确。解析：两个数的最小公倍数是它们所有公倍数中最小的一个，其他公倍数都是最小公倍数的倍数，所以最小公倍数是所有公倍数的因数。（二）知识应用3.每小段最长12分米，一共可以剪成5段。（此题核心是求最大公因数(24,36)=12，段数为24÷12+36÷12=2+3=5段。若题目改为“剪成若干段同样长的彩带，每段长度是整分米数，且不少于10分米，有几种可能？”则是求24和36大于等于10的公倍数：12,36。即两种可能。）4.下一次同时发车是在8:24。解析：求6和8的最小公倍数，[6,8]=24。8:00加上24分钟是8:24。5.下一次三人同时去图书馆是7月25日。解析：求4、6、8的最小公倍数。[4,6]=12，[12,8]=24。7月1日加上24天是7月25日。6.这个数最小是14。解析：这个数减去2之后，就是3和4的公倍数。要求这个数最小，即求3和4的最小公倍数再加2。[3,4]=12，12+2=14。（三）拓展提升7.这筐苹果至少有26个。解析：与题6思路类似。苹果数减去2是6和8的公倍数。[6,8]=24，24+2=26。8.参加社会实践活动的学生至少有38人。解析：学生人数减去3是5和7的公倍数。[5,7]=35，35+3=38。9.另一个数是12。解析：方法一：设另一个数为x。因为两个数的积等于它们的最大公因数与最小公倍数的积，即8×x=4×24，解得x=(4×24)/8=12。方法二：最小公倍数24的因数中，是4的倍数且与8的最大公因数为4的数。24的因数有1,2,3,4,6,8,12,24。其中4的倍数有4,8,12,24。8与8的最大公因数是8，排除；4与8的最大公因数是4，但[4,8]=8≠24，排除；24与8的最大公因数是8，排除；12与8的最大公因数是4，[12,8]=24，符合。10.[4,6,8]=24。解析：可以先求其中两个数的最小公倍数，再用这个结果与第三个数求最小公倍数。如[4,6]=12，再求[12,8]=24。也可使用短除法同时对三个数进行分解质因数，取各质因数的最高次幂相乘。四、总结与建议公倍数和最小公倍数的概念看似简单，但在实际应用中却非常灵活。通过以上练习，希望你能进一步理解它们的内涵，并熟练掌握其求解方法。在解决问题时，关键在于准确判断题目是否涉及公倍数或