2026年八年级数学人教版 第05讲 三角形全等的判定(暑假预习讲义)

05预习航标→析目标·教材全解→建框架·题型突破→析考点·1SAS2ASA(AAS)证明三角形全等3SSS4HL5678910证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题11121314过关检测→练考点·SSS、SAS、ASA、AAS专属判定定理HL。1/PAGEPAGE10/01边边边几何语言：在△ABC和△DEFABBCACACDCABDB，则可得△ABC≌△DBC．其判定依据是（ 【详解】解：在VABC和△DBCACDC，ABDB，BCBC

知识点 边角边几何语言：在△ABC和△DEFABBBC即时即练已知：如图，A、DCFABDE，ABDE，AFCD．求证：△ABC≌△DEFACDF，根据平行线的性质求出BACEDFCDAFCDADAFADACDF∵AB∥DEBACEDF，ABDE，AB＝AB，∠A＝A，ACA'C，则△ABCAB'C知识点 角边角几何语言：在△ABC和△DEFAABB即时即练如图，DABDFACEDEFEFCABAECE【分析】首先，根据平行线的性质得AACF

ADECFEAASAECEFCAB∴AACF在ADE和CFEAACF，AEDCEF，DEFE∴ADE≌CFEAAS∴AECE知识点 角角边推导依据：结合三角形内角和，AASASA几何语言：在△ABC和△DEFABBC即时即练如图，在△AOC和BODAOB三点共线，C,ODACBDCDAOC≌BODAOBC,OD∴AOC与BOD∴AOCBOD．在△AOC和BOD中，CAOCAC∴△AOC≌△BODAAS知识点 直角三角形全等专属判定几何语言：在△ABC和△DEFABDE(斜边ACDF(直角边SSS、SAS、ASA、AAS即时即练如图，在VABC和DEFAD90ACDE，若要用“斜边直角边HL”RtABC≌RtDFE，则还需补充条件（A．AB

B．B

C．ACB

D．BEBEFCBCEF，在Rt△ABC和Rt△DFE中，ACBCFE

DFEHL．1用SAS1】B，DAFACFEACFEADFB(1)△ABC≌△FDE(2)BCDE【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得AFADFBABFD，然后根据SAS证明△ABC≌△FDE；【详解】（1）证明：（1）ACFE∴AF∵ADFBADDBFBDBABFD，在VABC和VFDE中，ACAFAB∴△ABC≌△FDESAS∴BCDE2】如图，点CABADBEADBCBEACDCEC求证：△ADC≌△BCE若A45ADC15，求ECD【分析】（1）根据平行线的性质得AB，再根据SAS（2）根据三角形外角的定义及性质得DCFAADC60BCEADC15【详解】（1）ADBE∴AB在△ADC和BCEADABAC∴ADC≌BCESAS（2）A45ADC15∴DCFAADC451560∵△ADC≌△BCE∴BCEADC禁止套用SSA。ECDDCFBCE601575，即禁止套用SSA。1-1】E在边CDBCAEF,ABCBBEBD,1(2)AE8,CE5ED(2)ED根据12，得ABECBDABCBBEBD，证明ABECBD由（1）得ABECBD，故CDAE8，又结合CE5ED3【详解】（1）解：121CBE2即ABECBD，在ABE和△CBD中，ABABEBEABE≌CBDSAS（2）解：由（1）得ABECBDCDAE8，又QCE5，EDCDCE8531-2】BDBCDBECBEAB平分DACVDBA≌VCBADBACBA，利用SAS即可证明VDBA≌VCBA，得DAECAEAB平分DAC．DBECBE∴180DBE180CBE，即DBACBA，在DBA与△CBADBDBACBAAB∴VDBA≌VCBA(SAS)∴DAECAE2用ASA(AAS全一样的三角形，小明画图的依据是（） 2E，C，F，B在一条直线上，ABDEAC，DF，ACDF△ABC≌△DEF，则需要添加的条件可以是（）A．AB

B．EC=

C．D

D．DABDE∴BEABDEACDFABDEBE，不能证明△ABC≌△DEFEC=BFECCFBFCFEFBCACDFEFBCBE，不能证明△ABC≌△DEF当添加DADABEACDF，满足AAS∴可证△ABC≌△DEF∴C当添加DEFD，不能证明△ABC≌△DEF∴需要添加的条件可以是DA，2-1】H是VABCADBEADBDBHAC相等的角，从而构造全等三角形．先根据高的定义得出ADBADC90，再由直角三角形两锐角互余推出HBDDACADBD，证明BDHBHACADBE是ABC∴ADBADCBEC90RtHDBBHDHBD90，RtAHEAHEDAC90，BHDAHEHBDDAC，在BDH和ADC中，BDHHBDBD

PAGEPAGE12/∴BDHADC∴BHAC2-2】ABCDABAC，D90，BEACF，交CDEEA平分DEF△ABF≌△ACD若CE4，DE3BE根据AAS证出AEDAEF证明RtABF≌RtACDHLBFCD7，由RtAEF≌RtAEDHLEF3BEBFFE【详解】（1）BE∴AFE∵ÐD=∴AFED90EA平分DEFAEDAEF，在VADE和△AFE中，ADEAEDAE∴ADE≌AFE（2）解：∵ADE≌AFE∴AFAD在RtABF和Rt△ACDABAFAD

∴BFCD∵CE4，DE3∴CD7∴BF7在RtAEF和Rt△AEDAFAEAE∴Rt∴FEDE∵DE3∴FE3

∴BEBFFE73103用SSS对于上述的两个结论，下列说法正确的是（ ∴B1C1CAB

A1B1A1C1CAB

A2B2A2C2B2C2

SSA不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误.C．2】AEDFCEBFABCD(1)求证：ACE≌DBF(2ACE35，求BHC【分析】（1）利用SSS【详解】（1）ABCDABBCCDBC，ACBD，在△ACE与DBFAECEBFAC∴

（2）解：∵ACE

DBF，ACE∴DBFACE35∴BHC180ACEDBF3-1】D是VABCADCD，已知B45，ÐD在VABCM，使得AMC≌ADC（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹在（1）的条件下，求BAMBCM根据全等三角形的性质可得AMCD90，从而得到MACMCA90，再由B45，可得BACBCA135，即可求解．BAMBCMBACBCAMACMCA AMC≌ADC，ÐD=AMCD90\ÐMAC+ÐMCA=B45BACBCA18045135BAMBCMBACBCAMACMCA453-2】BECFABDEACDF,BECF(1)△ABC≌△DEF(2)若A85，B=60，求F(2)FBECFBCEFABDEACDF，即可证明△ABC≌△DEFSSS先根据三角形内角和性质进行计算，得ACB180AB35，结合全等三角形的对应角相等，【详解】（1）BECF∴BECECFCEBCEFABDEACDFACB180BA35；由（1）得△ABC≌△DEF，∴FACB354全等的性质与HL1】如图，在VABC和DEFAD90ABDE．若用“斜边、直角边（HL）”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充的条件是（）BC

AC

C．B

D．ACBAD90ABDE∴用“斜边、直角边（HL）”能直接证明Rt△ABC≌Rt△DEFBCEF2】B、F、C、EAD90ABDEHL判定△ABC≌△DEF的是（AC

B．B

ACB

BFAD90ABDEACDF，利用SAS定理可判定△ABC≌△DEF添加BE，利用ASA定理判定△ABC≌△DEF添加ACBDFE，利用AAS定理判定△ABC≌△DEFBFECBFCFECCFBCEF，能用HL可判定△ABC≌△DEFHL专用于直角三角形，只需找斜边+HL证全等，再用全等性质求线段、角度。易错提醒：普通三角形不能使用HL，做题先标注直角。4-1】ABBCAMBNAMBNMCN^BNN，求证MNAMCNAMBN、CN^BNABBCAMBN，证【详解】解：AMBNMCN^BNNAMBBNC90

ABM≌

BCNBMNCAM在RtABM和RtBCNABBCRtABM≌RtBCNHLBMNCMNBNBMAMCN4-2】已知：如图，在ABCABACDEABDDED，CEDEEADCE(1)BCDE的同侧（如图①）BAAC(2ABAC【分析】（1）HL易证得ABDCAE，可得DABACE，再根据三（2）与（1）HL易证得ABDCAE【详解】（1）证明：BDDEDCEDEADBCEA90，RtADBRtCEA中，ABADCERtABD≌RtCAEHLDABACE又ACECAEDABCAEBAC90，ABAC；（2）ABACBDDEDCEDEADBCEA90，RtADBRtCEA中，ABADCERtABD≌RtCAEHLDABACE又ACECAEDABCAEBAC90，ABAC．5添加条件使三角形全等1】如图，已知EACBADACADABAEBCEDCD④BD．其中能使△ABC≌△AED的条件 EACBADEACBAEBADBAE，即BACEADABAE在VABC和△AEDACBACEADAB∴

AEDSASBCED时，不能判断△ABC≌③当CD在VABC和△AEDBACAC C∴△ABC≌△AED④当BDACAD，所以B与D不是对应角，所以不能判断△ABC≌AED．综上所述，能使△ABC≌AED的条件有①③． A．B

ACB

AB

AD【分析】根据垂直定义得出BACACD90AC是公共直角边，根据直角三角形全等的判定HL得出需要添加的条件是斜边相等．ABAC，CDAC∴BACACD90∵ACACADCB

CDAHL．5-1】PABABCABD△APC≌△APD的是（AC

BC

CAB【详解】解：AACAD，不能推出

BCBD，先证出

ABD，后能推出

补充ACBADB，先证出

ABD，后能推出

补充CABDAB，先证出

ABD，后能推出

5-2】如图，在VADE和VCBFADCBAFCE ，使VADE≌VCBF若VADE≌VCBF，且B70A25，求DEC【答案】(1DEBF（答案不唯一【分析】（1）DEBFAECF，最后利用SSS即可证明VADE≌VCBF（2）由全等三角形的性质可得DB70【详解】（1）DEBF∵AFCEAFEFCEEFAECF，在VADE和VCBF中，ADAECFDE∴△ADE≌△CBF（2）解：∵VADE≌VCBF∴DB70∵A∴DECAD956灵活选择判定方法证全等AC的另一侧测得ACDACBCDCBADAB 【详解】解：已知条件是ACDACBCDCBACAC∴

ABAD． 角边角/【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）→已知两边+→SAS（必看是否为夹角→ASA、→HL的C处．此实验得到的结论是：的两个三角形不一定全等．ABC和△ABC中，AB为公共边，ACAC，ABCABC，锐角三角形ABC与钝角△ABC不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确【详解】解：在ABC和△ABCABACACABC而ABC与△ABC6-2】ABADBCDE，ABCADE90BCDEF，连接CDEB(2)你认为线段CFEF【答案】(1△ABC≌△ADE；△ADC≌△ABE(2CFEFSSS利用△CDF≌△EBF得到CFEF【详解】（1）解：在VABC和VADEABABCADE90BC∴

∴CABEAD，ACAE，ACBAED∴CABDABEADDAB∴CADEAB在ACD与AEBACCADAD

∴CDEB，ACDAEB∴∠ACB∠ACD∠AED∠AEB，即DCFBEF，在VCDF与△EBF中，DCFCD CFD

综上，全等三角形有△ABC≌△ADE；（2）CF

∴CFEF7倍长中线模型【例1】如图，在VABC中，AD是VABC的中线，AB12，AD8，则AC的取值范围 【答案】4AC2828ACADEADDEBE，证明VADC≌VEDBACBE，根据三角形的三边关BE的范围即可．ADEADDEBEAE2AD16AD是VABC∴BDCDADCBDE∴

∴ACBE∵AB12,AE16AEABBEAEAB4BE28∴4AC284AC28【例2】如图，在VABC中，AD是BC边上的中线，AC4，AD5，AB的长度为偶数，则AB的所有可 ADEDEAD5，连接CE

ECDSASABEC，在△ACEADEDEAD5，连接CEADBCBDCD∵在△ABD和ECD ADADB BD

ABECAC4，AEADDE10AEACECACAE6EC∴6AB14ABAB8，10，12．7-1】1AD是VABCABAC，DACBAD．所涉及的DAC和BAD并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由AD是VABC的中线”2ADEDEADBE，得到VBDE，易证△ACD≌△BDE，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系．请根据小强同学的思路写出证明DACBAD的完整过程．ADEDEADBEAD是中线得到CDBD

ACBEBEADACABBE“大边对大角”得到BEABADDACBADAD∴CDBD在ACD和△EBD ADADCBDE CDACD≌EBDSASACBE,BEADACABACABBEBEABADBEADACDACBAD7-2】AD为VABC(1)ABAC2AD(2)AB5，AC3AD(2)1ADADEDEADBESAS证明VADC≌VEDBACEB，再在ABAC2AD由（1）BEACABBEAEABBEAE2AD及边AD的取值范围．【详解】（1）ADEDEADBEAD为ABCBD在ADC和EDBCDADCAD≌△ED（SASAC在ABEABEBAEABAC（2）解：由（1）ABBE2ADAB所以532AD53，即1AD48旋转模型1】ABCDAC平分BADADACACAEABDEBE延长BE交CD于点F给出下列结论：①BAC≌EAD；②ABEADEBCD；③BCCFDEEF其 【答案】ABEACDFEFC∴BACEAD∵ABAE，ACAD

EAD∴BACEADSAS∴ACBADE，BCDE∵ABAE，ACAD∴ABEAEB，ACDADC∴BAE2ABE180，CAD2ACD180∵BAECAD∴ABEACDABEADEACDACBBCD∵CEFAEB，ABEAEB，ABEACD∴EFCFBCCFDEEF，故③正确，．2】ABCDEBE90CAD1BAEABAE，且CD3AE4ABCDE的面积为（ 将VABCA逆时针旋转至△AEFD，E，F三点共线，证明△ACD≌△AFD(SASCDDF3S△ACDS△AFD，再将所求面积转化为2S△AFD【详解】如图，将VABCA逆时针旋转至△AEFAB=AE，BE90AFACBAEDAEF90DEF180D，E，FCAD1BAE即FADCAD，在ACD和△AFD ACCADFAD ADCDDF，S△ACDS△AFDCD3，DF3ABCDES四边形ACDESABCSACDESSACDSAFD2SAFD21DFAE21312+口诀：图形旋转边角不变，公共角作夹角，SAS直接用。8-1】在ABCABACDBC上一点（B、C重合），E是ABC外一点，连AD、AEADAEDAEBAC，连接CE，DE如图1，点D在线段BC上，如果BAC90，则ACE 2DBC上，试判断ADE与ACE(2ADEACE(3)（2）D在CBADEACE180证BADCAE证BADCAE证BADCAE【详解】（1）DAEBACDAEDACBACDAC，CAEBAD，∵ABAC，ADAE∴BAD≌ADE∵BAC90，ABACACEABDADEACEABAC,ADAE,ABCACB,ADEDAEBAC又ABC1180BACADE1180DAE ABCADEBACBACDACDAEBADCAEAB在BAD和CAEBADCAEADABCADEACE解：（2）D在CBADEACE180．理由如下：DAEBACDAEBAEBACBAE，DABEAC，AB在BAD和CAEBADCAEADABDABAC,ADABCACB,ADEDAE又ABC1180BACADE1180DAE ABCABDABCADEACE1801ABCDEAF45EBCF在CDBEDF2，ABCD是正方形，EAF45EBC的延长线上，F在CDBEDFEF【答案】（1）EFBEDF，证明见解析（2）EFBEDFEFBEDF．将△ADFAADAB重合，得到ABFEAFEAF45，利用“边角边”证明△AEF和△AEFEFEFEFBEDF，证明方法同法【详解】解：（1）EFBEDF1，将△ADFAADAB重合，得到ABFFABDAFABFD90AFAFBFDFABFABC180FBEEAF45∴DAFBAE90EAF∴BAFBAE45EAFEAF45，在△AEF和△AEF中， AFAFEAFEAF AEEFEFEFBEBFEFBEDF（2）EFBEDF2，将△ADFAADAB重合，得到ABFBFDFAFAF)EFEFEFBEBFBEDFEFBEDF9垂线模型1】已知：VABCABACBAC90DBCBBGAD于点G，过点C作CFADF．如图1，若BG7,CF2，则GF 当点D在直线BC上运动时，FG10，BG6，则CF 16或4/4或

BGAAASBGAF7CFAG2，可得GFAFAG5

【详解】解：（1）BGADCFAD∴AFCBGA90∵BAC∴ABGCAF90BAG∵AB∴

∴BGAF7,CFAG2GFAFAG725，5；BGADCFAD∴AFCBGA90∵BAC∴ABGCAF90BAG∵AB∴

AFBG6AGCFFGAF1064；DBC上时，BGADCFAD∴AFCBGA90∵BAC∴ABGCAF90BAG∵AB∴

AFBG6AGCFFGAF10616；D线段CB延长线上时，BGADCFAD∴AFCBGA90∵BAC∴ABGCAF90BAG∵AB∴

∴AFBG6，AGCFFGAF1064ABC平行线，再过点CH∵ABAC,BAC90，AH∥BC∴ACBCAH45∴CAF45,ACF45∴CFAFD线段CB延长线上不成立，舍，CF16或CF4，故答案为：162】如图，在VABC中，ABAC，ADBCD，CEABEADF．若BAC45AF

，则CD的长 ADBCBDCD1BCAECEEAFECB△AEF≌△CEBASA得到BCAF ABCADBC∴ADBC，BDCD1BC∴BADB90AECBEC90，又BAC45∴ACE90BAC45EAC，ECBB∴AECE，EAFECB∴BCAF∵AF ∴BD1BC1AF 9-1VABC中，ABC90，ABBC，DBCADAAEAD，AEADECABFBD3.3BF2.5AB的长度为（） EEGAB于点GAGEEGB90△AEG≌△DABEGAB，AGBD3.3，EGBC，进而推出EFG≌CFB，得到GFBF2.5，再利用线段的和差即可求解．EEGAB于点G则AGEEGB90∴EAGAEG90∵AEAD∴EAD90∴EAGDAB90∴AEGDABAGEDBA90AEAD∴AEG≌DABAAS∴EGAB，AGBD3.3∵ABBC∴EGBCEGFCBF90EFGCFB∴EFG≌CFBAAS∴GFBF2.5ABAGGFBF3.32.52.58.3．如图：在VABCABC90ABCB；在DEFDEF90EDF30，并提出了相应的1BDFAAMDF，垂足MC作CNDFN．1AM3,CN8MNABC90ABMCBN90∵AMDF，CNDFAMB90，CNB90ABMBAM90BAMCBN，2BDEAEFC作CPDE，PAEPECP之间的数量关系，并说明理由．3ADEBEFAE8BE2，连接CE，请求出△ACE的面积．PEPCAE根据两个三角形全等的判定定理得到ABMBCN(AASAMBN3BMCN8，即可得到MNMBBN11BECPBEBPPEFE，过点C作CPFEP，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到△ABE≌△BCP，PCBE2PBAE8PEAE，过点C作CFAEF，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得CFPE6SACE，即可得到答案．【详解】（1）解：ABC90ABMCBN90∵AMDF，CNDFAMB90，CNB90ABMBAM90BAMCBN∵BAMCBN，ÐAMB=ÐCNB=90°，ABBC∴ABM≌BCN(AAS)AMBN,BMCN∵AM3，CN8∴MNMBBNCNAM11PEPCAEABC90ABECBECPBECPB90BCPCBPABEBCPAEB90AEBCPB90∵ABBCAEBP，BECPBEBPPE，PEBEBPPCAEFE，过点C作CPFEPABEEBC90，ABEBAE90EBCBAEQAEBCPB90，ABBC∴

PCBE2，PBAE8PEPBBE826AE，过点C作CFAEFAFPE，CPPEAF∥CPAFPE，CFAFPE∥CF由平行线间的平行线段相等可得CFPE6SV

1AECF18624 10证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题1】如图，在VABC中，A60，ABC和ACBBD、CEO，BDACCEABE，若已知VABC20BC7AE:AD54AE长为（

BCFBFBE，连接OF，根据角平分线的定义得到OBEOBF1ABCOCDOCF1ACB，进而得到CODBOEOBCOCB60，先证明OBF≌OBEBOFBOE60，再证明OCFOCDBCBFCFBECD，再利用三角形的周长公式求AE的长，即可得出答案．BCFBFBE，连接OF∵A∴ABCACB180AABC和ACBBD、CE∴OBEOBF1ABC，OCDOCF1∴OBCOCB1ABC1ACB1120 ∴CODBOEOBCOCB60∵BFBE，OBFOBE，OBOB

∴OBF≌OBESAS∴COF180606060∴∠COF∠CODOCFOCDOCOC∴OCF≌OCDASA∴CFCD∴BCBFCFBECD∵AE:AD5:4AE5xAD4x∵VABC20BC7ABACBCAEBECDADBCAEAD2BC20，即5x4x1420，x2∴AE5210 2】如图，在等边VABCEABDBCEDEC．若V的边长为1，AE3，则CD EEFCDFBE2，ABC60直角三角形的性质得出BEF30，根据含30BF1BE1此题考查了含30角的直角三角形的性质，熟记含30∵VABC1AE3∴BEAEAB2，ABC60∴EFB∴BEF906030∴BF1BE1，∴CFBFBC2∵EDEC，EFCD∴DFCF2CDDFCF4．10-1如图，D为VABC内一点，ADCD，AD平分CABDCBBAC6，CD2，AB的长．线构造全等三角形是解题的关键．延长CDABE，利用全等三角形的ASA判定定理证出△ADE≌△ADCAEAC6EDCD2，由DCBBBECE【详解】解：如图，延长CDABEADCDADEADC90AD平分CABDAEDAC在VADE和△ADCADEAD DAEADE≌ADCASAAEAC6，EDCD2CEEDCD4DCBBBECE4ABAEBE641010-2】VABCACB90，直线lAA在VABC所在平面BDlCEl,D,E为垂足．(1)DADB2DE在lAFBD，连接CDCF，利用全等三角形SAS判定△CBD≌△CAF，得出CDCF用HL判定得到Rt△CED≌Rt△CEFDEEF在lAFBD，连接CDCF，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出【详解】（1）证明：如图，在lAFBD，连接CDCFABCACB90BDlACBC,BDA90CBDCAD360BDAACB3609090180CAFCAD180CBDCAF，在△CBD和VCAF中，CBCBDCAFBDCBD≌CAFSASCDCF又CElCECE

DEEF1DF1DAAF1DADB DADB2DEDADB2DE；DBDA2DEAFBD，连接CDCFABCACB90BDlACBC,BDA90CBDBAD45，CAFBAD45CBDCAF，在△CBD和VCAF中，CBCBDCAFBDCBD≌CAFSASCDCF又CElCECE

DEEF1DF1DAAF1DADB DADB2DEAFBD，连接CDCFDBDA2DE11尺规作图-作三角形1Rt△ABC（1）RtABC，使得Rt△ABC≌Rt△ABC．小宏同学先画出MBN902所示．这种画图方法的依据是（） 【详解】BCBC，第二步为作线段CACA在RtABC与Rt△ABCBCCACARtABC≌RtABC∴这种画图方法的依据是HL2】a，直角和锐角ABC，使CABCa则VABCVABCSSS、SAS、ASA/截取线段，保留作图痕迹，最后标注字母。11-1】如图，已知线段a和(2)在（1）的条件下，若a5cm(2)BC

先作AA为圆心，以线段a的长为半径画圆，交AB，再作B2，交BCAC即可．由作法可知：ABC290，由此求出C904545，得出VABC是等腰直角三角形，由【详解】（1）VABC∴ABC290∴VABCC904545，即CA∴BCAB∵ABa5cm∴BCAB5cm【分析】此题考查了尺规作三角形的方法．利用尺规作图，根据SSS全等判定定理作图，通过已知三角形的三边长度，构造一个与之全等的三角形，依据是三边对应相等的两个三角形全等（SSS定理）．AACBBC长为半径画弧，两弧交于点C，BCAC，ABCABC，SSS全等判定定理．12尺规作一个角等于已知角1(2)设AOCxx表示BODCOD120(2)BODx；②见解析；AODBOC240（2）①根据（1）BODAOCxBOC120oxo，再利用角的和差即可证明结论；③先说明AOD120x，BOC120oxo，再利用角的和差即可解答．（2）解：①由（1）BODAOCBODAOCxBOC120oxo∴CODBOCBOD120xx120CODAOD与BOC的和等于240，理由如下：AODAOBBOD120xBOC120o∴AODBOC120oxo120oxo240o

【例2】小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到OCD与OCD全 【答案】【分析】利用作图痕迹得到OCODOCODCDCD【详解】解：由作图痕迹得OCODOCODCDCDOCD≌SSS“画射线→截等线段→画等弧→确定另一边”四步操作，全程保证半径不变。12-1】尺规作图：作一个角等于已知角．已知：AOB．AOB，使AOBAOB．步骤一：如图1，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA、OB于点CD；步骤二：如图2，作射线OA，以点O为圆心，以▲长为半径画弧，交OA于点C；步骤三：以点C为圆心，以■D¢；D¢画射线OB，则AOBAOB则▲，■所表示的内容为（ B．OC， D．OC，1，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA、OB于点CD；步骤二：如图2，作射线OA，以点O为圆心，以OC长为半径画弧，交OA于点C；步骤三：以点C为圆心，以CDD¢；D¢画射线OB，则AOBAOB．则▲，■所表示的内容为OCCD12-2】如图，点C在AOB的边OB上，用尺规作出了CNOAFG是（A．以点C为圆心，OD长为半径的 B．以点C为圆心，DM长为半径的CEDM长为半径的弧DEOD【详解】解：要作CNOA，需要构造同位角相等，即NCBAOB，如图，点C在AOB的边OB上，首先以O为圆心，任意长为半径画弧，交OBD，交OA于M，然后以COD长为半径画弧，交OBE，EDMFGN，连接CN即可得到CNOAFGEDM131】P是直线lP作与直线l平行的直线．（要求：用直尺1：（1）P作直线b与直线l相交得1（2）P为顶点作21，得直线al2P作直线blP作直线ab，得直线al【分析】作ACDAOB则直线CD“作等角”尺规方法完成。13-1】（1）尺规作图：已知VABC，过点CBC上方作射线CD，使CDAB（要求：尺规（2）在（1）的作图中，在射线CD上截取CEABAEAE作ACDA

BAC

ECASAS得出BCAEACAEBC【详解】解：（1）如图所示，CD（2）如图，在射线CD上截取CE由（1）BACABCEAC∴BAC

BCAEACAEBC13-2】尺规作图：如图，已知VABCAMNMNBC．（不写作法，保留作图【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的平行线，根据题意作BAMABCAMMN14全等三角形综合问题1】如图，在△OAB和OCDOAOBOCODOAOCAOBCOD30ACBDMAC与ODEBD与OAF，连接OM．则下列结论中：①ACBDAMB30；④OEMOFM．正确的个数有（A．4 B．3 C．2 D．1

BODSAS证明AOCBODACBDOACOBD由三角形的外角性质得AMBOACAOBOBD，得出AMBAOB30OGMC于GOHMBH，则OGCOHD90，由AAS证明OCGODH，得出OGOHMO平分BMC，假设OEMOFM，证明RtEOG≌RtFOHHLDMOAMOASA，从而得到OCOA，与OAOC【详解】解：AOBCOD30AOBAODCODAOD，即BODAOC，在△AOC和BOD中，AOCBODOCAOCBODSASACBD，OACOBDOCAODBAMBOACOFDAOBOBDAMBAOB30如图，作OGMC于GOHMBH，则OGCOHD在OCG和ODHOCGOGCOHD90OCOCG≌ODHAASOGOH，GOMHOMMO平分BMC，即CMOBMOCMDBMADMOAMO，假设OEMOFM，OEOF在Rt△EOG和Rt△FOH∵OEOF,OGOH

∴EOGFOH∴EOGGOMFOH在△DMO和AMO

，即EOMFOM∵DMOAMO，OMOM，EOMFOM∴

ODOA，即OCOA，与OAOC矛盾，【例2】如图，已知长方形ABCD的边长AB20cm，BC16cm，点E在边AB上，AE6cm，如果点P s，BPE与VCQP全等．【答案】1P运动的时间为ts，由条件分两种情况，当△BPE≌△CQPBEPC，由条件可得到关于tBPECPQBPPC，同样可得出t的方程，可求出t的值．P运动的时间为tsEBPCBPQC△BPE≌△CQPQAB20cm，AE6cmEB14cmPC14cmQBC16cmBP2cmPBBC上以2cm/s的速度向点Ct221(s)BPCPBEQCVBEP≌VCQP，2t162t，t4(s综上，经过1s或4s，BPE与VCQP14-1】Rt△ABCACB90VABCADBEPBC△BAPBP折叠与△BFPPFACH①APB135PFADAPH≌FPD；④AHBDAB，其中正确的有 【分析】①利用直角三角形两锐角和为90，结合角平分线定义，得PABPBA45内角和定理，推出APB135．②由折叠性质得BAP≌BFP，故FPBAPB135APFP算得APF90PFADPFAD的基础上，利用同角的余角相等得PAHFAPFP、APHFPD90，由ASA证得△APH≌△FPDHPAB于Q，先由ASAAPH≌APQAHAQ，再证BPD≌BPQBDBQAHBDAQBQAB【详解】解：Rt△ABCACB90CABCBA90ABCADBEPPABPAC1CAB，PBAPBC1CBA BPDPABPBA1CABCBA45APB180BPD135，∵△BAPBP折叠与△BFPPFAC∴FPBAPB135，APFP∴∠APF360∠FPB∠APB90PFAD，APHFPD90PAHADC90，FADC90PAHF在VAPH和△FPDAPHAP PAH

FPD(ASA)HPAB于点Q，则APHAPQDPQ90BPQDPQBPD45BPDBPQ在VAPH和△APQPAHAPAPHAPH≌APQ(ASA)AHAQ在△BPD和VBPQPBDBPBPDBPD≌BPQ(ASA)BDBQAHBDAQBQAB，14-2】如图，ABCBAC90AB22AC28P以每秒1BAC径运动，点Q以每秒2个单位的速度按CABPPFlF，点QQGl于点G，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动t秒时PFA≌AGQ，则t的值是 ．【答案】6PBA上，点QACPACQABP、QAB上PAAQ，再分别用tPAAQPABQAC上时，如图PBtCQ2tAP22tAQ282t∴APABPB22t,AQACCQ282t∵PFA≌AGQ∴APAQ∴22t282t∴t6P点运动6PACQAB上时，如图2∴AQ2t28,APt22∵

AGQAQAP2t28t22t6P、QAB上重合时，如图3AP22tAQ2tAPAQ，即22t2tt50t6或t50CF，下列条件中，不能判定△ACB与△DFE全等的是（AD，ABC．ABDE，BC

ACDF，BCD．BCEF，B【详解】解：A、根据AAS可判断△ACB与△DFE根据SAS可判断△ACB与△DFEAB、BC的夹角是BDE、EF的夹角是E，已知条件为CF，因此不符合SAS△ACB与△DFE根据ASA可判断△ACB与△DFEABBCADDC，下列根据HL”定理，添加一个条件可以使得RtABCRtADC成立的是（）ABC．BAC

ABD．AC“ABBCADDC∴BD90∵在Rt△ABC和RtADCACAC∴要利用HL”判定RtABCRtADCBCDCABAD，B．3×3的小正方形网格中，A，B，C，D均为格点，设ABCBCDBAD的值为（ 【分析】根据全等三角形的判定与性质可得ECBGBA，从而可得ABC=90=，再根据三角形外角的性质可得45，即可求解．BEAGBECAGB90ECGB∴

∴ECB=GBA∵ECBEBC90∴GBAEBC=90∴ABC=90∵CBD=90，CBDABD90∴ABD∵ADF=ABDBAD=45∴45∴=9045=45VABC中，ABAC，D、EAB，AC的是（

AD

BD

BE

ABE【分析】在ABE和ACDABACA为公共角，已经具备一边一角对应相等，然后根据全等【详解】解：ABAC，AAADAE时，则根据SAS”可判断ABE≌ACDABDCEABBDACCEADAE，则根据SAS”可判断ABE≌ACDB选项不BECD时，不能判断ABE≌ACDC当ABEACD时，则根据ASA”可判断ABE≌ACDD在VABCAB6，AC4BCAD的取值范围是【答案】1ADADEADDEBE，证明VADC≌VEDBACBE4，在ABE中，ABBEAEABBE，代入求解即可．ADEADDEBEADBC∴BDCD在△ADC和△EDBADADCEDBDC∴ACBE4在ABEABBEAEABBE∴642AD64∴1AD5如图三角形ABC中，BD平分ABC，ADBD若AB:BC4:7，S△ADC5则S△ABD ADBCE，证明ABD≌EBDASAABBESABDSEBDADDEBEEC43S△EBDS△ECD43SECDSADC5，据ADBCBD平分ABCAD∴ABDEBD，ADBEDBBDBD∴ABD≌EBDASA∴ABBE，SABDSEBD，ADDE∵AB:BC4:∴BE:BC4:∴BE:EC4:3∵ADDE，SADC5∴SECDSADC5∴SABDS

4

20AE是VABCADBCDFBC的中点，若BAC104C40

1

2△ 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线及高线的性质，根据角平分线的定义可判定；根据角平分线的定义及垂直的定义求得CAE52，CAD50，再由DAECAECAD即可判定；根据三【详解】解：∵AE是VABCBAC104BAECAE1BAC52，故∵ADBC，C40∴CAD904050DAECAECAD2，故FBC 1

，故 2△∵△AEFVADE∴△AEF与VADE∴不能够判定正确；．VABCBCABAxBy轴上，点Cx轴上如图1所示，点A的坐标是3,0，点B的坐标是0,1，过点C作CHy轴于H，则