2027届新高考数学精准突破复习+导数的概念及其意义、导数的运算

2027届新高考数学精准突破复习导数的概念及其意义、导数的运算目录索引

考前自测

知识梳理

考点突破

课标解读

考前自测

B

4.(人教B版选择性必修第三册6.1.3节练习B第4题改编)已知函数f(x)=x2,若直线l经过点(3,5)且与曲线f(x)=x2相切,则直线l的方程为

.

2x-y-1=0或10x-y-25=0

知识梳理

1.导数的概念(1)平均变化率:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为

,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为

.

微思考

函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的几何意义是什么?

提示

函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率是指其图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.

f'(x0)

2.导数的运算(1)基本初等函数的导数公式原函数导数f(x)=c(c为常数)f'(x)=

f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=

f(x)=sinxf'(x)=

f(x)=cosxf'(x)=

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=exf'(x)=

f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=

0

αxα-1

cosx-sinxaxlnaex

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

cf'(x)

y'u·u'x3.导数的意义(1)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,即k0=

.

即在点(x0,f(x0))处微思考

已知函数y=f(x),给定一个点P(x0,y0),那么f'(x0)就是经过点P的切线的斜率吗?f'(x0)提示

不一定,如果点P在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就是曲线在点P处的切线的斜率,如果点P不在函数y=f(x)的图象上,那么f'(x0)就不是曲线在点P处的切线的斜率.(2)物理意义:导数的物理意义是描述物理量随时间或其他变量变化的

变化率.其本质是通过极限概念捕捉物理量在某一瞬间的变化趋势.如位移对时间的导数表示

,速度对时间的导数表示

.

瞬时瞬时速度瞬时加速度考点突破

考点一导数的概念

B

-4sin1+24

考点二导数的运算及其应用

B

(2)(2025·天津滨海新区模拟)已知(2+3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1-2a2+3a3-4a4+5a5=

.(用数字作答)

15解析

因为(2+3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,两边求导可得15(2+3x)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=-1,得到15(2-3)4=a1-2a2+3a3-4a4+5a5,即a1-2a2+3a3-4a4+5a5=15.规律方法

函数求导运算的基本原则(1)熟记常见函数的导数公式和四则运算法则,切勿记错记混;(2)求导前,应利用代数、三角恒等变换对函数解析式进行化简,以便减少运算量,减少差错;(3)复合函数求导,要正确分析函数的复合过程,分清内外层函数,按照法则进行求导;(4)求函数在某一点处的导数且解析式未知时,应先根据条件求出该点所在区间的解析式再求导;(5)当函数解析式中含有待定系数(如f'(x0)等)时,应将待定系数看成常数进行求解.

C

考向2

导函数与原函数的性质关系及其应用例3

(多选题)f(x)是定义在R上的连续可导函数,其导函数为f'(x),下列说法中正确的有(

)A.若f(x)=f(-x),则f'(x)=-f'(-x)B.若f'(x)=f'(x+T)(T≠0),则f(x)=f(x+T)C.若f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,则f'(x)的图象关于直线x=a对称D.若f(-1+x)+f(-1-x)=2,f'(x+2)的图象关于原点对称,则f(-1)+f'(2)=1ACD解析

对于A,由f(x)=f(-x),根据导数的运算法则,可得f'(x)=-f'(-x),故A正确;对于B,例如函数f(x)=x,可得f'(x)=1,此时满足f'(x)=f'(x+T)(T≠0),但f(x)≠f(x+T),故B错误;对于C,由f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,可得f(a+x)+f(a-x)=2b,两边同时取导数,可得f'(a+x)-f'(a-x)=0,即f'(a+x)=f'(a-x),所以f'(x)的图象关于直线x=a对称,故C正确;对于D,由f(-1+x)+f(-1-x)=2,令x=0,可得f(-1)+f(-1)=2,即f(-1)=1.又由f'(x+2)的图象关于原点对称,令x=0,可得f'(2)=0,所以f(-1)+f'(2)=1,故D正确.故选ACD.规律总结

导函数与原函数的性质关系

性质原函数f(x)导函数f'(x)奇偶性奇函数偶函数偶函数奇函数周期性周期为t的函数周期为t的函数对称性f(x)的图象关于直线x=a对称f'(x)的图象关于点(a,0)对称f(x)的图象关于点(a,b)对称f'(x)的图象关于直线x=a对称

ACD

考点三导数的几何意义及其应用

C

教考链接(人教A版选择性必修第二册习题5.2第7题)设函数f(x)=1-ex的图象与x轴相交于点P,求曲线在点P处的切线方程.解

令1-ex=0,解得x=0,所以函数f(x)=1-ex的图象与x轴相交于点P(0,0).由f'(x)=-ex,知f'(0)=-1,所以曲线在点P(0,0)处的切线方程为x+y=0.

D

规律方法

利用导数几何意义求切线方程的方法

[对点训练4](1)(2025·安徽江南十校联盟)曲线y=xex在点(1,e)处的切线方程为

.

y=2ex-e解析

因为y'=(x+1)ex,所以曲线在点(1,e)处切线的斜率为2e,则切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.(2)(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)=lnx+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切线的方程为

.

考向2

求参数的值或取值范围例5

(1)(2025·安徽合肥高三检测)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax-b,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+2=0,则a=

,b=

.

1

1

(2)[一题多变](2022·新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

(-∞,-4)∪(0,+∞)

变式[变式](变条件)若曲线y=(x+a)ex有两条过点(1,0)的切线,则实数a的取值范围是

.

(-∞,-5)∪(-1,+∞)

规律方法

利用导数几何意义求参数值或范围的方法技巧求解与切线有关的参数问题